Baixe Aula 11 O logaritmo natural e outras Notas de aula em PDF para Ética, somente na Docsity!
Aula 11
O logaritmo natural
Objetivos
- Estudar o logaritmo natural.
- Fazer aplica¸c˜oes da derivada da fun¸c˜ao logar´ıtmica.
- Fazer aplica¸c˜oes da primitiva da fun¸c˜ao logar´ıtmica.
Na aula passada vimos a conhecida f´ormula para o c´alculo da primitiva da fun¸c˜ao y = xr, que ´e dada por ∫ xrdx = xr+ r + 1
Resta-nos saber o que acontece quando r = −1, ou seja, o que devemos
fazer para encontrar a primitiva ou antiderivada de y =
x = x−^1. Esta
aula ´e dedicada a definir e a estudar as propriedades dessa importante fun¸c˜ao chamada logaritmo natural (ou neperiano) e indicada por y = ln x.
1 O logaritmo natural
O gr´afico de y = (^1) t , para t > 0, ´e conhecido do leitor
Fig. 11.
231
232 C´alculo - aula 11 UFPA
e est´a esbo¸cado na figura 11.1, sendo um ramo de uma hip´erbole equil´atera.
Para x > 1 a integral (^) ∫ x 1
t dt
representa a ´area sob a curva y = (^1) t e acima do eixo ot, entre os valores t = 1 e t = x. Veja figura 11.2.
Fig. 11.
Para 0 < x < 1 a integral acima pode ser escrita como ∫ (^) x
1
t dt = −
x
t dt,
e assim, neste caso, esta ´ultima integral representa a ´area sob a curva, limitada inferiormente pelo eixo ot, entre t = 1 e t = x, precedida do sinal negativo. Veja a figura 11.3. Se x = 1, a integral d´a zero.
Fig. 11.
Podemos, ent˜ao, definir a fun¸c˜ao logaritmo natural da seguinte maneira.
Defini¸c˜ao 2. Definimos a fun¸c˜ao logaritmo natural,
ln : (0, +∞) → R
por
ln x =
∫ (^) x
1
t dt, para t > 0.
234 C´alculo - aula 11 UFPA
Se x < 0, temos que |x| = −x e da´ı d dx (ln |x|) = d dx (ln(−x)).
Fazendo u = −x > 0, e usando a regra da cadeia, obtemos d dx
(ln(−x)) = d du
(ln u) · du dx
u
−u
x
Propriedade 5 ln uv = ln u + ln v
Inicialmente, observemos que d dx
(ln(ax)) =
ax
d dx
(ax),
em virtude da regra da cadeia. Dessa forma, d dx (ln(ax)) =
ax a =
x
Isto nos diz que as fun¸c˜oes ln x e ln(ax) possuem derivadas iguais. Conseq¨uentemente, ln(ax) = ln x + K, para alguma constante K. Da´ı, quando x = 1, obteremos
ln a = ln 1 + K = 0 + K = K.
Conseq¨uentemente,
ln(ax) = ln a + ln x.
Fazendo a = u e x = v, obtemos a f´ormula pretendida.
Propriedade 6. ln
(u v
= ln u − ln v Esta propriedade segue-se da anterior da seguinte maneira:
ln u = ln
(u v · v
= ln
(u v
donde ln
(u v
= ln u − ln v.
Propriedade 7. ln
v
= − ln v
Na propriedade anterior, fa¸camos u = 1 para obter
ln
v
= ln 1 − ln v = − ln v.
UFPA C´alculo - aula 11 235
Propriedade 8. Se r for um n´umero racional e x um n´umero positivo, ent˜ao ln(xr) = r ln x. Pela regra da cadeia d dx (ln(xr)) =
xr^ (rxr−^1 ) = r x
d dx (r ln x).
Deste modo, como as fun¸c˜oes ln xr^ e r ln x possuem derivadas iguais, elas diferem por uma constante, ou seja, existe uma constante K tal que ln(xr) = r ln x + K. Fazendo x = 1, obt´em-se ln 1 = r ln 1 + K e desde que ln 1 = 0, conclu´ımos que K = 0 e ent˜ao ln(xr) = r ln x.
Propriedade 9. A fun¸c˜ao ln x ´e crescente.
Basta observar que d dx
(ln x) =
x
desde que x > 0. A propriedade segue-se do fato de que, se a derivada de uma fun¸c˜ao for positiva, ent˜ao ela ser´a crescente.
Propriedade 10. O gr´afico da fun¸c˜ao ln ´e cˆoncavo para baixo.
Basta observar que d^2 dx^2 (ln x) = d dx
d dx (ln x) = d dx
x
x^2
Propriedade 11.
< ln 2 < 1 Observemos a figura 11.4 e conclua que a ´area sob o gr´afico de f (x) = 1 x , entre x = 1 e x = 2, e acima do eixo ox ´e maior do que a ´area
do retˆangulo com base [1, 2] e altura
, que ´e
que, por sua vez, ´e menor que a ´area do retˆangulo de base [1, 2] e altura 1, a qual ´e 1.
Fig. 11.
UFPA C´alculo - aula 11 237
Observemos que as propriedades do logaritmo listadas at´e agora nos fazem tirar algumas conclus˜oes importantes que ser˜ao utilizadas na aula 12 e verificar que o seu gr´afico ´e esbo¸cado na figura 11.5.
Fig. 11.
Na figura 11.6 encontra-se esbo¸cado o gr´afico da fun¸c˜ao ln |x|.
Fig. 11.
Antes de resolvermos alguns exerc´ıcios, introduziremos uma t´ecnica em que usamos a derivada do logaritmo, com algumas de suas propriedades, a fim de facilitar o c´alculo da derivada de fun¸c˜oes que, sem essa ajuda, tornaria o nosso trabalho bastante ´arduo. Tal t´ecnica ´e chamada deriva¸c˜ao logar´ıtmica.
2 Deriva¸c˜ao logar´ıtmica
Ilustremos esse m´etodo por meio de exemplos.
Exemplo 110. Derivemos a fun¸c˜ao
y = (1 − 3 x^2 )^3 (cos 2x)^4.
Calculando o logaritmo de ambos os membros da express˜ao acima, obt´em-se ln y = ln(1 − 3 x^2 )^3 + ln(cos 2x)^4.
Da´ı, ln y = 3 ln(1 − 3 x^2 ) + 4 ln(cos 2x)
238 C´alculo - aula 11 UFPA
e derivando ambos os seus membros
y′ y
1 − 3 x^2 · (− 6 x) +
cos 2x · (−sen 2x) · (2) = − 18 x 1 − 3 x^2 − 8tg2x.
Conseq¨uentemente
y′^ = −(1 − 3 x^2 )^3 (cos 2x)^4
18 x 1 − 3 x^2
Exemplo 111. Calcule a derivada de
y =
x(1 − x^2 )^2 (1 + x^2 )
Usando a deriva¸c˜ao logar´ıtmica, obtemos
ln y = ln x + 2 ln(1 − x^2 ) −
ln(1 + x^2 ).
logo,
y′ y
x
1 − x^2
(− 2 x) −
1 + x^2
(2x) =
x
4 x 1 − x^2
x 1 + x^2
e, ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, obt´em-se
y′^ = (1 − 5 x^2 − 4 x^4 )(1 − x^2 ) (1 + x^2 )^3 /^2
Com a introdu¸c˜ao da fun¸c˜ao logaritmo podemos considerar uma nova t´ecnica de integra¸c˜ao chamada integra¸c˜ao por fra¸c˜oes parciais.
3 Integra¸c˜ao por fra¸c˜oes parciais
A t´ecnica de integra¸c˜ao por fra¸c˜oes parciais consiste em determinar primitivas de fun¸c˜oes racionais decompondo tal tipo de fun¸c˜oes em soma de fun¸c˜oes racionais mais simples e cujas primitivas sejam calculadas facil- mente. Comecemos com um exemplo simples.
Exemplo 112. Calculemos a integral ∫ 1 x^2 − 1
dx.
A id´eia ´e decompor a fun¸c˜ao racional
x^2 − 1 na forma
1 x^2 − 1
A
x − 1
B
x + 1
240 C´alculo - aula 11 UFPA
Exemplo 114. Em alguns casos o polinˆomio que figura no denominador n˜ao pode ser decomposto em fatores de primeiro grau reais, pois as suas ra´ızes s˜ao complexas. Em virtude disso, devemos usar outra estrat´egia. Vejamos o que acontece com a integral ∫ 1 x^2 + 2x + 2 dx.
Observemos que o trinˆomio do segundo grau x^2 + 2x + 2 n˜ao possui ra´ızes reais pois o seu discriminante ´e negativo. Verifique isso. No entanto, ele pode ser escrito na forma
x^2 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)^2 + 1
e a integral em estudo se apresenta como ∫ 1 x^2 + 2x + 2
dx =
(x + 1)^2 + 1
dx.
Neste ponto o estudante deve recordar a integral ∫ 1 u^2 + 1 du = arctan u + C.
Portanto, fazendo u = x + 1 tem-se du = dx e assim ∫ 1 x^2 + 2x + 2 dx =
(x + 1)^2 + 1 dx =
u^2 + 1 du = arctan u + C = ∫ 1 u^2 + 1 du = arctan u + C = arctan(x + 1) + C.
Exemplo 115. Vejamos a integral ∫ x + 1 (x + 1)^2 + 1 dx.
O que fazer com essa integral? Observe que podemos fazer a mudan¸ca de vari´aveis u = x + 1 e obter ∫ x + 1 (x + 1)^2 + 1 dx =
u u^2 + 1 du =
2 u u^2 + 1 du.
Nesta ´ultima integral o numerador do integrando ´e exatamente a derivada da fun¸c˜ao que figura no denominador, de modo que ∫ x + 1 (x + 1)^2 + 1
dx =
2 u u^2 + 1
du =
ln(u^2 + 1) + C
=
ln(u^2 + 1) + C
=
ln(x^2 + 2x + 2) + C.
UFPA C´alculo - aula 11 241
4 Exerc´ıcios resolvidos
- Calcule a derivada de ln(5x + 3). Solu¸c˜ao. Usando a regra da cadeia d dx (ln(5x + 3)) = d dx (5x + 3) ·
5 x + 3
5 x + 3
- Calcule a derivada de
ln x. Solu¸c˜ao. Usando a regra da cadeia d dx
ln x) = d dx
(ln x) (^12)
(ln x)−^ 12 d dx (ln x)
=
(ln x)−^
x
2 x
ln x
- Calcule a integral (^) ∫ 2 x x^2 + 1 dx.
Solu¸c˜ao. Basta observar que fazendo g(x) = x^2 + 1 obtemos g′(x) = 2 x. Da´ı ∫ 2 x x^2 + 1 dx =
(x^2 + 1)′ x^2 + 1 dx = ln |x^2 + 1| + C = ln(x^2 + 1) + C.
- Calcule a integral (^) ∫ tg xdx.
Solu¸c˜ao. Observemos que ∫ tg xdx =
sen x cos x dx = −
−sen x cos x dx.
Fazendo g(x) = cos x tem-se g′(x) = −sen x e assim ∫ tg xdx = −
−sen x cos x dx =
cos′^ x cos x dx = − ln | cos x| + C.
- Calcule
4 x^7 3 x^8 − 2 dx. Solu¸c˜ao. Para calcular a integral acima basta acompanhar os c´alculos abaixo, justificando as passagens. ∫ 4 x^7 3 x^8 − 2 dx =
24 x^7 3 x^8 − 2 dx =
ln | 3 x^8 − 2 | + C.
UFPA C´alculo - aula 11 243
- Calcule a integral
x − 5 x^2 (x + 1) dx
Solu¸c˜ao. x − 5 x^2 (x + 1)
A
x
B
x^2
C
x + 1
. Assim, x − 5 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2 e da´ı A = 6, B = −5 e C = −6. Conseq¨uentemente, ∫ x − 5 x^2 (x + 1) dx =
x dx −
x^2 dx −
x + 1 dx
= 6 ln |x| +
x − 6 ln |x + 1| + C
= 6 ln
∣∣^ x x + 1
∣∣ +^5
x
+ C.
5 Exerc´ıcios propostos
- Encontre as derivadas das fun¸c˜oes. (a) y = ln(x + 3)^2 (b) y = (ln(x + 3))^2 (c) y = ln(sen 5x) (d) y = ln(x +
1 + x^2 ) (e) y = x ln x − x (f) y = ln
3 − x^2
- Calcule as seguintes primitivas.
(a)
7 x dx
(b)
x^8 x^9 − 1 dx
(c)
x ln x dx
(d)
sen 3x 1 − cos 3x
dx
(e)
2 x^4 − x^2 x^3 dx
(f)
ln x x dx
(g)
x(1 −
x)
dx
- Encontre a ´area sob a curva y =
x e acima do eixo ox, entre x = 2 e x = 4.
244 C´alculo - aula 11 UFPA
- Calcule a integral
x (2x + 3)^2 dx.
- Resolva a equa¸c˜ao 2 ln x = ln(2x).
- Calcule a integral
1
x 4 x^2 − 2 dx.
- Mostre que ln x <
x, para todo x > 0.
246 C´alculo - aula 11 UFPA
7 Apˆendice
Hist´oria dos logaritmos
Os logaritmos surgiram como um instrumento para simplificar c´alculos em que figuravam n´umeros muito grandes, principalmente aqueles oriun- dos de medi¸c˜oes astronˆomicas. As propriedades que simplificavam tais c´alculos eram aquelas que transformavam multiplica¸c˜oes em adi¸c˜oes e di- vis˜oes em subtra¸c˜oes.
Muito embora a formaliza¸c˜ao dos logaritmos tenha sido realizada por John Napier (1550-1617), um escocˆes propriet´ario de terras, que foi o primeiro a publicar, em 1614, uma t´abua de logaritmos, a sua essˆencia, ao que parece, foi levada em conta pelos antigos babilˆonios^1 que consideravam uma tabela em um tablete datado aproximadamente de 1888 a.C., dada por
Tabela 1 2 1 4 2 8 3 16 4 32 5 64 6
O leitor que analisar de maneira acurada esta tabela verificar´a que ela se estende obedecendo a uma regra geral, de modo que a tabela 2 a seguir ´e uma extens˜ao da tabela 1
Tabela 2 2 1 4 2 8 3 16 4 32 5 64 6 128 7 256 8 512 9 1024 10 2048 11 4096 12 (^1) Learn from the Masters, Editors Frank Swetz, John Fauvel, Otto Bekken, Bengt Johansson, Victor Katz, The Mathematical Association of America, 1995
UFPA C´alculo - aula 11 247
e assim, caso queiramos calcular o produto 32 × 64, basta observar que 32 corresponde ao 5 e 64 corresponde ao 6. Somam-se 5 + 6 = 11 e verifica-se a linha correspondente ao 11, na qual figura 2048. Assim, 32 × 64 = 2048.
Este foi, essencialmente, o procedimento usado por Napier, que usa progress˜oes aritm´eticas e progress˜oes geom´etricas, assuntos bem conheci- dos dos matem´aticos do s´eculo XVI. Vejamos como proceder. Conside- remos uma progress˜ao aritm´etica come¸cando com 0 e com raz˜ao a > 0 e uma progress˜ao geom´etrica come¸cando com 1 e com raz˜ao r > 0 e vejamos a tabela 3, a seguir,
Tabela 3 1 0 r a r^2 2 a r^3 3 a r^4 4 a r^5 5 a r^6 6 a r^7 7 a r^8 8 a r^9 9 a .. .
em que se exibe uma correspondˆencia biun´ıvoca entre os elementos das duas colunas dada por 0 ↔ 1 , a ↔ r, 2 a ↔ r^2 , · · · na ↔ rn^ para todo n = 0, 1 , 2 , · · · Assim, as fun¸c˜oes f e g definidas por
f (na) = rn^ e g(rn) = na
s˜ao fun¸c˜oes inversas uma da outra, de modo que
g(rn) + g(rm) = na + ma = (m + n)a = g(rnrm),
ou de maneira mais concisa
g(x) + g(y) = g(xy).
Tamb´em
g(rn) − g(rm) = na − ma = (n − m)a = g
rn rm
ou
g(x) − g(y) = g
x y
