Aula 11: Auto-Indutância e Indutância Mútua, Notas de estudo de Energia

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Aula 11: Indutância

Curso de Física Geral III

F-

o

semestre, 2014

F328 – 1S

Auto-Indutância e Indutância Mútua

Quando estudamos campo elétrico, relacionamos a quantidade de cargas em um

par de condutores com a diferença de potencial entre eles. A constante de

proporcionalidade, que é a capacitância, depende apenas das geometrias dos

condutores:

F328 – 1S

Q

livre

= ε

o

E ⋅

n dA

Δ V = −

E ⋅ d

l

⇒ Q

livre

= CV

Iremos agora fazer algo análogo ao relacionar as leis de Ampère e Gauss

(para campo magnético) e mostrar que poderemos escrever o fluxo magnético em

função das correntes elétricas geradoras de campo magnético. Novamente a

constante de proporcionalidade depende apenas da geometria dos condutores

envolvidos. A grande diferença é que a proporcionalidade é feita através de uma

relação matricial, dando origem a auto-indutância e indutâncias mútuas:

φ

B

B ⋅

n dA

i

env

B ⋅ d

l

⇒ φ

n

= L

n , m

i

m

L

n,n

= Auto-Indutância;

L

m,n

= Indutância Mútua;

Solenoide: Auto-Indutância

iii) i

1

= constante, i

2

=0 à fluxo produzido na bobina 1 :

B

1

= μ

0

N

1

l

i

1

z

φ

1 , ( 1 )

= N

1

B

1

n dA = N

1

B

1

A

1

A

1

1(1) 11 1

φ = L i

2

1

11 0 1

N

L A

l

iv) i

2

= constante, i

1

=0 à fluxo produzido na bobina 2 :

B

2

= μ

0

N

2

l

i

2

z

φ

2 , ( 2 )

= N

2

B

2

n dA = N

2

B

2

A

2

A 2

2(2) 22 2

φ = L i

2

2

22 0 2

N

L A

l

F328 – 1S

Solenoide

ideal:

(Indutância por unidade de comprimento)

2

2

0 0

L A

N L

l n A

l l

μ → μ

⎛

= =

⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Auto-Indutância e Indutância Mútua

Quando ambas os solenoides carregam correntes, o fluxo

total é então proporcional a estas correntes e às auto-

indutâncias e indutâncias mútuas. Pelo princípio de

superposição podemos escrever esta relação na forma

matricial como:

φ

1

φ

2

L

11

L

12

L

21

L

22

i

1

i

2

F328 – 1S

Observações:

1)As auto-indutâncias (que nomearemos apenas como

indutâncias a partir deste ponto) são constantes reais

positivas diferente de zero ;

2)A indutância mútua pode assumir qualquer valor real

(menor, maior ou igual a zero);

3)Ambas dependem apenas de fatores geométricos

( = fluxo concatenado)

Consideremos uma bobina de N voltas, chamada de indutor , percorrida por

uma corrente i que produz um fluxo magnético ϕ

B

através de todas as espiras da

bobina. Se i = i ( t ), pela lei de Faraday aparecerá nela uma fem dada por:

fem induzida em indutores

dt

d N

B

L

( φ )

ε =−

N Li

B

Na ausência de materiais magnéticos, é proporcional à corrente:

ou:

i

N

L

B

φ

=

Então:

dt

di

L

dt

d Li

L

= − =−

( )

ε

( fem auto-induzida)

( L: auto-indutância )

O sentido de é dado pela lei de Lenz:

ela deve se opor à variação da corrente que a

originou (figura).

i crescendo i decrescendo

B

N φ

B

N φ

L

F328 – 1S

Dois cilindros maciços paralelos de mesmo comprimento l e raio a

transportam correntes iguais em sentidos opostos. Sabendo-se que a

distância entre os eixos dos cilindros é d, mostre que a indutância por

unidade de comprimento desse sistema é:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

a

d a

l

L

ln

0

π

μ

Despreze o fluxo no interior dos cilindros.

Exemplo 01

O fluxo produzido pelas duas corrente na região entre

os dois fios é dado por:

0

0

1 1

)

2

ˆ ( ˆ

ln

a

E

d

T D

a

B ndA B ndA

r

i

B Ldr

d r

L d

i

a

a

μ

φ

π

μ

π

−

⎛ ⎞

= ⋅ = + ⋅ +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

−

−

=

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

ur r r

F328 – 1S

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

a

d a

l

L

ln

0

π

μ

Circuitos RL são aqueles que contêm resistores e indutores.

Neles, as correntes e os potenciais variam com o tempo. Apesar das

fontes ( fem ) que alimentam estes circuitos serem independentes do

tempo, a introdução de indutores provoca efeitos dependentes do

tempo. Estes efeitos são úteis para controle do funcionamento de

máquinas e motores.

Circuito básico para analisar

correntes em um indutor.

a) Fechando-se a chave S , no

instante t = 0, estabelece-se uma

corrente crescente no resistor.

Resolver (estudar) este circuito é

encontrar a expressão para a corrente

i ( t ) que satisfaça à equação:

dt

di

ε Ri L

i

L

ε

Circuito RL

t = 0 ⇒ i ( 0 ) = 0 → t ≠ 0 ⇒ i ( t )

F328 – 1S

Resolvendo esta equação diferencial

para i ( t ) , vamos ter :

( I : corrente máxima, assintótica)

L

i

L

R

dt

di ε

• =

Para t muito grande, a corrente atinge um valor máximo constante,

como se o indutor fosse um fio de ligação comum.

: voltagem no indutor

A equação anterior fica:

Circuito RL

R

I

R

L

e i t I e

R

i t

L

Rt L t

L

τ

− −

e

( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ), onde

/ /

( : constante de tempo indutiva )

L

τ

L

ε

a

b

F328 – 1S

Ao lado, temos gráficos das tensões

Em V

L

, V

R

e V

R

+ V

L

= ε para várias situações

a) e b).

b) Fechando-se a chave S

2

: neste caso, a

equação das quedas de potencial será:

A solução desta equação é:

Variações das voltagens com o tempo:

Circuito RL

• = 0

dt

di

Ri L

i

F328 – 2S

L

t Rt L

e I e

R

i t

τ

ε

/

0

/

− −

F328 – 1S

Os termos εi, Ri

2

e Lidi / dt são, respectivamente, a potência

fornecida pela bateria, a potência dissipada no resistor e a taxa com

que a energia U

B

é armazenada no campo magnético do indutor, isto

é:

Energia armazenada no campo magnético

dU Lidi

dt

di

Li

dt

dU

B

B

∫ ∫

U i

B

dU Lidi

B

0 0

2

U Li

B

Do circuito abaixo tem-se:

dt

di

i Ri Li

dt

di

= R i + L → = +

2

ε ε

a

b

F328 – 1S

Indutância mútua

Fluxos conectados: variação de fluxo da bobina 1 produz uma fem

na bobina 2 e vice-versa.

Indução mútua

21 21

L → M

1

2 21

21

i

N

M

φ

=

dt

di

M

dt

d

M i N ou N

1

21

21

21 1 2 21 2

= =

φ

φ

dt

di

M

1

2 21

ε =− A fem induzida na bobina 2:

A fem induzida na bobina 1:

dt

di

M

2

1 12

ε =−

dt

di

M

dt

di

M

1

2

2

1

= −

= −

ε

ε

A indução é de fato mútua

M = M = M

12 21

Pode-se provar que:

F328 – 2S

Os exercícios sobre Lei de Faraday estão na página da disciplina :

(http://www.ifi.unicamp.br).

Consultar : Graduação! Disciplinas! F 328-Física Geral III

Aula s gravadas:

http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)

ou

UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)

Lista de exercícios do Capítulo 30

F328 – 1S