Aplicações de Assintotas Obliquas e Funções, Notas de estudo de Crescimento

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Ass´ıntotas obl´ıquas Aplica¸c˜oes

Ass´ıntotas Obl´ıquas, Gr´aficos e Fun¸c˜oes como

modelos matem´aticos

Aula 26

22 de Junho de 2022 Primeiro Semestre de 2022

Ass´ıntotas obl´ıquas Aplica¸c˜oes

Ass´ıntotas obl´ıquas

Defini¸c˜ao

Seja f uma fun¸c˜ao. Se existir uma reta de equa¸c˜ao y = mx + n tal que x→^ lim+∞[f^ (x)^ −^ (mx^ +^ n)] = 0 ou lim x→−∞ [f (x) − (mx + n)] = 0,

ent˜ao tal reta ser´a dita uma ass´ıntota para f. Se m = 0, teremos uma ass´ıntota horizontal e, se m 6 = 0, teremos uma ass´ıntota obl´ıqua. Observa¸c˜ao: A distˆancia, na vertical, entre os g´aficos de y = f (x) e de y = mx + n, tende a 0 quando x tende a +∞ ou −∞.

Ass´ıntotas obl´ıquas Aplica¸c˜oes

Temos

f (x) x =^

|x|

√ 4+^1 x + x^12 x =

4 + (^) x^1 + (^) x^12 se x > 0 −

4 + (^1) x + (^) x^12 se x < 0.

Segue que lim x→+∞

f (x) x = 2 e^ x→−∞lim

f (x) x =^ −2.

Assim m = 2 para x → +∞ e m = −2 para x → −∞.

Determinemos agora o valor de n.

lim x→+∞

[

4 x^2 + x + 1 − 2 x] = lim x→+∞

x + 1 √ 4 x^2 + x + 1 + 2x

Logo, y = 2x + 14 ´e ass´ıntota para x → +∞.

Analogamente vemos que y = − 2 x − 14 ´e ass´ıntota para x → −∞.

Ass´ıntotas obl´ıquas Aplica¸c˜oes

Para esbo¸car o gr´afico calculamos as derivadas

f ′(x) = 8 x + 1 2

4 x^2 + x + 1

f ′′(x) =

4 x^2 + x + 1(4x^2 + x + 1)

O ´unico ponto cr´ıtico ´e x = −

que ´e um ponto de m´ınimo local.

Como f ′′^ > 0, f tem concavidade para cima para todo x.

Aplica¸c˜oes Fun¸c˜oes como modelos matem´aticos: M´aximos e M´ınimos

Exerc´ıcio:

(a) Mostre que

x→−∞lim

√ (^33) x (^3) − x (^2) − √ (^33) x +

(b) Conclua que a reta de equa¸c˜ao y = 3

3 x −

´e uma ass´ıntota de f.

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Exerc´ıcio: Esboce o gr´afico das seguintes fun¸c˜oes:

(a) f (x) =

2 x^2 x^2 − 1 ; (b) f (x) =

x^2 √ x + 1

(c) f (x) = xex^ ; (d) f (x) = ln(4 − x^2 );

(e) f (x) = x^4 + 1 x^2

; (f ) f (x) = 3

x^3 − x^2.

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Exemplo

Encontre as dimens˜oes do triˆangulo is´osceles de maior ´area que esteja inscrito na circunferˆencia de raio R.

Solu¸c˜ao: Sejam x = |AC | a altura do triˆangulo, y = 2|CD| a base e z = |AD| a medida de um dos lados congruentes.

A

b^ B

b

Eb b D

R

z

x−R y/ (^2) b y/ 2 C

Area do Triˆ^ ´ angulo ∆ADE A ( = 12 xy, x, y ∈ (0, 2 R) y 2 )^2 +(x −R) (^2) = R 2 y = 2√ 2 Rx −x^2 A(x) = x√ 2 Rx −x^2 , x ∈ (0, 2 R)

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Logo, nosso problema ´e maximizar a fun¸c˜ao

A(x) = x

2 Rx − x^2 x ∈ (0, 2 R).

Calculando a derivada

A′(x) = x^ √(3 2 RRx−−^2 xx 2 ) ,

temos que ou x = 32 R ´e o ´unico candidato a ponto de m´aximo no intervalo (0, 2 R).

Analisando o sinal da derivada primeira vemos que de fato x = 32 R ´e um ponto de m´aximo. Portanto as dimens˜oes s˜ao

altura x = 32 R, base y =

3 R e z^2 = 94 R^2 + 34 R^2 = 3R^2.

Logo o triˆangulo ´e equil´atero.

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Calculamos a derivada

S′(r ) = 4πr − (^2000) r 2 = 4(πr^

(^3) −500) r 2.

O ponto cr´ıtico ´e r = 3

500 π. Como^ S

′(r ) < 0 se r < 3

500 π e^ S

′(r ) > 0

se r > 3

500 π conclu´ımos que^ r^ =^

3

500 π ´e um ponto de m´ınimo de^ S.

Logo, as dimens˜oes que minimizam a quantidade de material s˜ao:

raio r = 3

500 π e altura^ h^ =

π

( (^) π 500

500 π = 2r^.

Assim, a altura deve ser igual ao diˆametro da lata.

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Exemplo

Os pontos A e B est˜ao em lados opostos de um rio reto com 3km de largura. O ponto C est´a na mesma margem que B, mas Mkm rio abaixo. Uma companhia telefˆonica deseja estender um cabo de A at´e C. Se o custo por km de cabo ´e 25% maior sob a ´agua do que em terra, como deve ser estendido o cabo, de forma que o custo seja menor para a companhia?

x

M-x

B b 3 km

√9+x 2

C b

b A

P b

Seja P um ponto na mesma margem que B e C e entre B e C , de tal forma que o cabo ser´a estendido de A para P e deste para C. Se x ´e a distˆancia de B a P, M − x ´e a distˆancia de P at´e C , x ∈ [0, M], k ´e o custo por km em terra e 54 k ´e o custo por km sob a ´agua. Ent˜ao, o custo total ´e C (x) = 54 k

√ 9+x^2 + k(M − x), 0 ≤ x ≤ M.