Árvores AVL
Estrutura de Dados II
Jairo Francisco de Souza
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Árvores AVL: Uma árvore altamente balanceada, Manuais, Projetos, Pesquisas de Direito
Árvores avl, ou adelson-velskii e landis, são árvores binárias altamente balanceadas, onde as alturas das sub-árvores esquerda e direita de cada nó diferem no máximo por uma unidade. Saiba mais sobre as propriedades, exemplos e processos de balanceamento de árvores avl.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
2022
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Árvores AVL
Estrutura de Dados II
Jairo Francisco de Souza
Introdução
As árvores binárias de pesquisa são projetadas para um acesso rápido à informação. Idealmente a árvore deve ser razoavelmente equilibrada e a sua altura será dada (no caso de estar completa) por h=log 2 (n+1) O tempo de pesquisa tende a O(log 2
N)
Porém, com sucessivas inserções de dados principalmente ordenados, ela pode se degenerar para O(n)
Conceito de balanceamento
Exemplo: Suponha a inclusão da chave 0 (zero). 4 12 8 2 6 10 14 1 3 5 7 9 11 13
Conceito de balanceamento
Exemplo: 4 12 8 2 6 10 14 1 3 5 7 9 11 13 0
Conceito de balanceamento
Para reorganizar a árvore anterior, foi utilizada uma abordagem O(n), no pior caso. Naturalmente, essa é uma péssima solução, uma vez que operações como inserção e remoção geralmente são efetuados em O(logn) passos. Por esse motivo, árvores completas não são recomendadas para aplicações que requeiram estruturas dinâmicas.
Conceito de balanceamento
Alternativa: utilizar um determinado tipo de árvore binária cujo pior caso para a busca não seja necessariamente tão pequeno quanto o mínimo 1 + lower_bound(logn) passos pela árvore completa. Contudo, a altura dessa árvore deve ser da mesma ordem de grandeza que a altura de uma árvore completa com o mesmo número de nós. Ou seja, deve possuir altura O(logn) para todas as suas subárvores.
Exemplo
- Nível - Nível - Nível
- Nível
- Nível
Árvore AVL
Em uma árvore AVL, para todo nó, seja hd a altura de uma subárvore direita e he a altura de uma subárvore esquerda de um nó: hd – he є {0, 1, -1} Se o fator de balanceamento de qualquer nó ficar menor do que -1 ou maior do que 1 então a árvore tem que ser balanceada.
Rotações simples
k2 é nó mais profundo onde falha o equilíbrio sub-árvore esquerda está 2 níveis abaixo da direita
Rotações dupla
Rotação simples não resolve o desequilíbrio! sub-árvore Q está a 2 níveis de diferença de R sub-árvore Q passa a estar a 2 níveis de diferença de P
Rotações em AVL
Na inserção utiliza-se um processo de balanceamento que pode ser de 4 tipos específicos: RR → caso Right-Right (rotação a esquerda) LL → caso Left-Left (rotação a direita) LR → caso Left-Right (rotação esquerda-direita) RL → caso Right-Left (rotação direita-esquerda)