Aprender a aprender e ensinar a aprender Trigonometria, Trabalhos de Cultura

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Lidia Eliane Canuto de Souza

Aprender a Aprender e Ensinar a Aprender: Trigonometria

Ribeirão Pires 2010

Lidia Eliane Canuto de Souza

Aprender a Aprender e Ensinar a Aprender: Trigonometria

Trabalho de Conclusão do Curso de Licenciatura Plena em Matemática, apresentado como exigência parcial para a obtenção do titulo de Licenciada em Matemática, nas Faculdades Integradas de Ribeirão Pires, sob a orientação do Professor Mestre Marcelo Dias Pereira.

Ribeirão Pires 2010

Dedico este trabalho à minha família, meu porto seguro. Às minhas irmãs Raquel, Noemi, Vera e Maria as quais dedico o meu mais puro amor e são a razão de nunca ter desistido das lutas que se apresentaram. À D. Jovelina Maria, minha mãe, pela ajuda e amor incondicional. Ao Senhor Antonio Canuto, meu pai, por ter me ensinado a ser uma pessoa integra. Ao meu irmão Naor, meu conselheiro. E aos meus irmãos Natanael e Neemias. Às minhas cunhadas Marta, Sonia e Rafaela, por estarem sempre na torcida pela minha vitória. E aos meus sobrinhos queridos.

Dedico também a todos os professores do Curso de Matemática, em especial ao Professor Walter, que mesmo percebendo minha dificuldade na matéria em que ele lecionava nunca deixou de acreditar em mim. À Professora Luiza, por seus ensinamentos, sua doçura e palavras de ânimo. Ao Professor Francinildo por nos ensinar a ter orgulho de nossa profissão. Ao Professor Gerson, por nos contagiar com sua paixão pela Matemática. E à Professora Roseli, que foi em quem me inspirei no decorrer do curso: a mulher mais encantadoramente inteligente que conheci.

Agradecimentos

Em primeiro lugar, a Deus por ter me dado este presente, me ajudado em tudo e preparado todo o necessário para que eu pudesse ver este sonho concretizado. Agradeço à minha amiga e companheira de aventura Maria Célia de Souza por ter acreditado em mim quando eu mesmo não acreditava. Pelos incontáveis finais de semana que me aturou em sua casa no decorrer deste curso, quando por muitas vezes, nem precisando estudar, ficava por horas me ensinando. Por todos os seus valiosos conselhos que me deu entre um teorema e a descoberta de uma forma para resolver algum exercício complicado. Ao Professor Mestre Marcelo Dias Pereira, por ouvir minhas reclamações e opiniões, mesmo quando fundamentadas em nada. Pelas vezes que conversávamos e eu não conseguia achar as palavras certas e, mesmo assim, ele me entendia. Por me olhar nos olhos, pelo respeito que demonstrou ter por mim. Pela paciência e profissionalismo com o qual me orientou. E por me ensinar a gostar de Geometria. A todos os funcionários e alunos da EMEF Desembargador Amorim Lima por terem me recebido de forma tão generosa. Em especial a aluna Letícia, por sua franqueza e amizade. E também a Professora Vilma Cristiane e Professora Solange Maria, por me permitirem aprender grandes lições de humildade e amor ao magistério no pouco tempo em que tive oportunidade de visitar a escola. Ao Professor José Francisco de Almeida Pacheco, pelas palavras de animo quando solicitei ajuda no encaminhamento deste trabalho e pelos textos que me enviou os quais foram bastante elucidativos na minha pesquisa. Ao Professor Cristiano Silva, coordenador da Escola da Ponte e ao Professor André Pacheco, ex- aluno desta escola, que me deram a chance de vislumbrar a educação sobre outro prisma além do que estava acostumada. A todos os colegas que estiveram comigo durante o curso, os quais fizeram desses anos a mais rica experiência da minha vida.

Resumo

Iniciando com um breve passeio pela História da Trigonometria e depois abordando alguns elementos que compõem a Trigonometria na Circunferência, o objetivo deste trabalho foi criar e apresentar um ensaio de planejamento para o ensino deste conteúdo, utilizando o conceito de autonomia e a linguagem natural para o desenvolvimento da emancipação discente. Após participar como estagiária do Projeto Amorim Lima, na Escola Municipal de Ensino Fundamental Desembargador Amorim Lima, baseado no Projeto Escola da Ponte, de Portugal, da qual também obtive respostas a alguma perguntas encaminhadas com relação a ensino e aprendizagem, abordo um pouco do que aprendi com estas experiências, bases para que eu pudesse escrever e apresentar uma sequência didática sobre Trigonometria na Circunferência, que tem como objetivo principal a construção do conhecimento por meio da “descoberta”, através da linguagem natural, inserindo-o em uma forma independente de estudo.

Palavras chaves: Trigonometria na Circunferência. Aprender a aprender. Linguagem natural. Autonomia discente.

INDICE DAS FIGURAS:

SUMÁRIO

Introdução ....................................................................................................................................

Capítulo 1: Um pouco de história da Trigonometria 1.1. O estudo das relações existentes nos triângulos .............................................................. 15 1.2. Ângulos ........................................................................................................................... 15 1.3. Bases para uma nova ciência .......................................................................................... (^16) 1.4. Medida angular ................................................................................................................. (^17) 1.5. Importantes descobertas pré-trigonométricas ................................................................. (^17) 1.6 O uso sistemático da Trigonometria ........................................................................ (^21) Capítulo 2: Um pouco de Trigonometria 2.1. O que é Trigonometria? .......................................................................................... 29 2.2. Qual Trigonometria? ............................................................................................. 29 2..2.1. Circunferência, centro e raio ................................................................................... (^29) 2.2.2. Corda e Diâmetro ...................................................................................................... (^30) 2.2.3. Arco de Circunferência e semicircunferência ......................................................... (^31) 2.2.4. Medida (ou perímetro) de uma Circunferência ........................................................ (^32) 2.2.5. Sistema Cartesiano Ortogonal .................................................................................. 33 2.2.6 Ciclo trigonométrico e medidas de Arcos ................................................................. 34 2.2.7.Como converter graus em radianos e radianos em graus? ................................. (^35) 2..2.8. Seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante no Ciclo Trigonométrico. ........................................................................................................ ....................

Capitulo 3: Aprender a aprender e ensinar a aprender................................................. (^41) 3.1.Heteronomia ...................................................................................................................... (^42) 3.2.Autonomia ......................................................................................................................... 44 3.3.O processo de passagem da heteronomia para a autonomia ........................................... 45 3.4.Considerações sobre a linguagem das grandezas ............................................................. (^50) 3.5. Aprender a aprender Matemática: a importância da aquisição da linguagem das grandezas para a autonomia discente............................................................................. (^52) Capitulo 4: Autonomia: Como ela pode funcionar na prática? 4.1. Lembranças ..................................................................................................................... 56 4.2 As escolas nos dias atuais ................................................................................................ 56 4.3. Vivência de uma professora ............................................................................................. 58 4.5. E a emancipação? ................................................................................................... (^59)

Capitulo 5: Linguagem Natural: Como utilizá-la nas

• Figura 1: Distância Terra-Lua e distância Terra-Sol
• Figura 2: Revolução da Lua
• Figura 3: Eclipse Lunar
• Figura 4: Ângulos de visão da Lua na Terra......................................................................
• Figura 5: Função corda
• Figura 6: Função de meia corda ou seno...........................................................................
• Figura 7: Triângulo esférico
• Figura 8: Seqt
• Figura 9: Sombra de um gnômom..............................................................................
• Figura 10: Circunferência e alguns elementos
• Figura 11: Corda e Diâmetro da Circunferência
• Figura 12: Arcos de Circunferência
• Figura 13: Semicircunferências
• Figura 14: Arco nulo e Arco de uma volta
• Figura 15: Sistema Cartesiano Ortogonal
• Figura 16: Ciclo Trigonométrico: arco com medida negativa......................................
• Figura 17: Ciclo Trigonométrico: arco com medida positiva......................................
• Figura 18: Arco de medida um radiano
• radianos Figura 19: Arcos notáveis do ciclo trigonométrico e seus múltiplos: em graus e em
• Figura 20: Esboço dos eixos trigonométricos
• Figura 21: Seno, cosseno, tangente e cotangente.......................................................
• Figura 22: Secante e cossecante
• Figura 23: Foto da área externa da escola
• Figura 24: Foto da Oca construída na área externa da escola
• Figura 25: Pátio da escola
• Figura 26: Realização de trabalhos manuais
• Figura 27: Painel da festa da cultura realizada em
• Figura 28: Signos
• Figura 29: A importância dos signos
• Figura 30: Materiais necessários
• Figura 31: Medindo a largura da garrafa
• Fonte 32: Mostrador de horas
• Figura 33: Colando o mostrador de horas
• Figura 34: Furando a garrafa
• Figura 35: Criando o ponteiro
• Figura 36: Ponteiro
• Figura 37: Triângulo retângulo
• Figura 38: Retângulo
• Figura 39: Suporte
• Figura 40: Suporte
• Figura 41: Suporte
• Figura 42: Representação do relógio solar
• Figura 43: Primeiras civilizações
• Figura 44: Perímetro da Terra
• Figura 45: Circunferências circuncêntricas
• Figura 46: Eixos cartesianos
• Figura 47: Semirreta OP
• Figura 48: Retas v e z
• Figura 49: Pontos de intercecção
• Figura 50: Triângulos OBC e OPD
• Figura 51: Modelo de Ciclo Trigonométrico
• 4.6. Escola da Ponte
• 4.7. EMEF Desembargador Amorim Lima
• aulas de Matemática em prol da autonomia discente?........................................................
• 5.1. Sequência Didática sobre Trigonometria na Circunferência
• Considerações finais
• Referências Bibliográficas
• Anexos

Com a Matemática isto não ocorre. Ela possui uma linguagem própria, rica em símbolos, os quais, geralmente, não usamos ao escrever em nossa língua materna no dia a dia. O Professor, ao ensinar a Matemática, tem uma grande responsabilidade: ensinar os conceitos, os procedimentos e as atitudes dos conteúdos mínimos sugeridos pelos documentos que regem a Educação que, às vezes, pela dificuldade da turma, mal cabem na sua carga horária. Mesmo que o aluno sinta vontade de aprender mais sobre Matemática e peça explicação sobre outro conteúdo, alguns professores podem protelar a resposta, por estarem despreparados para sanar a dúvida do aluno, por falta de tempo, pela indisciplina na sala de aula ou, talvez, por não considerar importante ensinar nada além do que está no plano de ensino. Fato é que, se este aluno não conseguir que alguém o ensine, mesmo que ele tenha acesso aos meios de obter este conteúdo, como internet ou livros de Matemática, não conseguirá estudar sozinho, simplesmente porque não sabe ler Matemática. Uma coisa é alguém ler um livro e ensinar uma criança o que está escrito nele. Outra coisa é alguém ensinar a criança a ler este livro. Quando o assunto é Matemática, não se tem usado ensinar as crianças a lerem os livros. Será justo que um aluno tenha o seu conhecimento matemático reduzido a fatores como a disponibilidade de um professor, ou ao desenvolvimento médio da sua classe, ou ao que foi estipulado por qualquer instituição, seja ela estadual municipal ou iniciativa privada, de acordo com interesses que nem sempre são os mesmos deste aluno? Esta é uma questão discutida por Hogben (1970, p.20):

Três séculos já são passados desde que os livros eram escritos em latim e se abriram escolas a fim de que o povo pudesse ler diretamente a bíblia como um livro aberto. Já é tempo de uma nova reforma. O povo precisa aprender a ler e escrever a linguagem das medições, para que consiga compreender a Bíblia aberta da ciência moderna. A grande maioria da população dos países civilizados não sabe nem ler, nem escrever desembaraçadamente a linguagem das grandezas, do mesmo modo que a maioria dos contemporâneos de Wycliff e Lutéro ignorava latim, língua em que se tratavam as controvérsias religiosas. Mas o Diderot moderno precisa aprender a linguagem das grandezas como medida de

autodefesa, porque nenhuma sociedade estará em segurança se confiada inteiramente aos mais sabidos.

Apresentadas as reflexões acima, o presente Trabalho de Conclusão de Curso tem como objetivo pesquisar sobre as barreiras enfrentadas pelas novas gerações para compreender os conceitos matemáticos e, através do estudo da Trigonometria, área da Matemática que exige uma grande abstração e capacidade de assimilar novas linguagens e códigos, pesquisar formas possíveis de estimular o aluno a adquirir autonomia na busca pelo conhecimento. Entendo que o mundo atualmente está em constante estado de transformação e a Educação Matemática é uma ferramenta importante para que o cidadão possa viver com dignidade essas mudanças e se posicionar de forma crítica diante delas. Portanto, anseio, com o auxilio do estudo da Trigonometria, área da matemática que exige uma grande abstração e capacidade de assimilar novas linguagens e códigos, através deste trabalho, buscar e propor formas de auxiliar o aluno a aprender a aprender, para que possa estar apto a adquirir novos conhecimentos e lidar com os recursos tecnológicos existentes e que possam a surgir. Para ir ao encontro desse anseio e atingir o objetivo exposto acima, este Trabalho de Conclusão está estruturado da seguinte forma: um capítulo que trata um pouco da História da Trigonometria, o capítulo 1; o capítulo 2 que aborda alguns elementos que compõem a Trigonometria na Circunferência; o capítulo 3 que trata da autonomia e a importância do uso da linguagem natural para auxiliar os alunos na aprendizagem; o capítulo 4, que aborda duas experiências de aplicação de projetos pedagógicos visando o estímulo e a emancipação discente: o Projeto Escola da Ponte, em Portugal, e o Projeto Amorim Lima, no Brasil; e o capítulo 5, que apresenta um ensaio de programa de ensino e aprendizagem de Trigonometria na Circunferência, estruturado em prol da autonomia discente.

O eixo de rotação da Terra possui uma ligeira inclinação em relação à elipse formada pela sua translação. Esta é a causa de algumas variações na posição aparente dos seres celestes e das quatro estações climáticas. Por este motivo a sombra mais curta produzida pelo gnômom, a sombra da metade do dia, não tinha seu comprimento constante: sofria uma pequena variação com o passar dos dias. Ficava mais curta nas épocas quentes e mais comprida em épocas frias. Ao observar o ângulo formado por esta sombra e o gnômom podia- se prever quanto tempo faltava para época das cheias, planejar a época propicia para a colheita e já preparar o plantio para quando as águas baixassem. De acordo com Hogben (1970, p.54), a medição de ângulos, provavelmente ocorreu antes da medição de comprimentos: “A necessidade de mediações exatas surgiu, naturalmente, da prática de registrar o tempo, pré-requisito essencial para a vida metropolitana. É quase certo que o homem aprendeu a medir ângulos muito antes de se dar ao trabalho de medir comprimentos.”

1.3. Bases para uma nova ciência A utilização da Trigonometria intensificou-se a partir do seu embasamento em conceitos geométricos. A relação existente entre a altura do gnômom e a sombra produzida por ele era também utilizada para medir alturas as quais não se tinha acesso. Utilizando-se do conhecimento geométrico sobre semelhança de triângulos podia-se medir as razões entre os comprimentos das sombras e comparar com as alturas do gnômom e do objeto a ser medido. No Papiro Ahmes, escrito, aproximadamente, em 1650 a.C. e encontrado no Egito, existem indicações dos primeiros indícios do uso das razões entre os lados de um triângulo retângulo. Nele há 84 problemas que se referem a estas razões. Sabe-se que Tales de Mileto (640-549 a.C.), um dos primeiros matemáticos a escrever sobre Geometria, se dedicava ao estudo das relações existentes entre os triângulos semelhantes. Ele se utilizou deste conhecimento para calcular o valor da altura da pirâmide Quéops. A Pitágoras (570-495 a.C), aluno de Tales, apesar de controvérsias, é atribuída a descoberta do teorema que afirma que a soma do quadrado das medidas dos lados menores de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da medida do seu maior lado, teorema do qual surgiu uma importante relação trigonométrica: sen^2 x + cos^2 x = 1, conhecida como Relação Trigonométrica Fundamental.

1.4. Medida angular As primeiras tentativas feitas pelos babilônicos para medir a duração de um ano, através das anotações feitas sobre as observações do comprimento das sombras do gnômom, os levaram a concluir que o solstício de verão e o solstício de inverno ocorriam, aproximadamente, a cada trezentos e sessenta dias. Segundo Hogben (1970, p.59) “não resta dúvida de que destas trezentas e sessentas divisões naturais do passeio do Sol pelo arco descrito em sua trajetória circular completa, se originou o grau”, utilizado como medida de ângulos e de arcos. Acredita-se que foi Hipceclis (180 a.C.) que escreveu a primeira obra considerando o uso do grau. Já a utilização do radiano^1 surgiu da necessidade de uma nova medida angular para simplificação de fórmulas matemáticas e físicas. Essa unidade de medida angular foi utilizada, primeira vez, pelo físico James T. Thomson, em 1873, e sua apresentação pública foi feita no livro Algebra Identified with Geometry (Álgebra identificada com Geometria), escrito em Londres, no ano de 1874 por Alexander J. Ellis.

1.5. Importantes descobertas pré-trigonométricas O conhecimento a respeito da sombra do gnômom também produziu descobertas importantes, como o valor do comprimento da circunferência da Terra. Eratóstenes (276 - a.C.), um astrônomo que nasceu em Sirene e com 40 anos foi trabalhar como bibliotecário chefe na cidade de Alexandria, ao pesquisar nos livros, ficou sabendo que no dia 21 de junho, dia do solstício de verão na cidade de Sirene, ou seja, o dia mais longo do ano, a luz do Sol refletia, ao meio dia, no fundo de um poço. Isso significava que o Sol e o poço estavam alinhados e que a sombra de um gnômom, naquele horário, não existiria. Observou que, nesta mesma hora, em Alexandria, uma torre projetava uma sombra que, através de um equipamento chamado astrolábio, indicava um ângulo de 7,2o^ com relação à torre. Para Eratóstenes, este era um indicativo de que a Terra era esférica. Caso contrário, a sombra da torre não existiria também. Sabendo que a distância entre Siene e Alexandria era igual a 5. estádios e que 7,2º corresponde a 1/50 da medida total do arco de uma circunferência, ele chegou à conclusão que o perímetro da circunferência da Terra era igual a 250.000 estádios, ou seja, 50 vezes a distância entre Sirene a Alexandria.

(^1) As definições de grau e radiano como unidades de medida de um arco são apresentadas no próximo capítulo

( ) ( ) 8. 59 x^87

x^720.^57 57

8 x 59

360 x 720 7 dias

xgraus 29 dias

360 graus 21 81 592 578

Figura 2: Revolução da Lua Fonte: Silveira, s.d.

Os cálculos de Aristarco indicaram que a medida do ângulo LT ˆS era, aproximadamente, 87º. Sabendo ele que a soma das medidas dos ângulos internos de um

triângulo é igual 180º, concluiu que o ângulo LS ˆT media, aproximadamente 3º. Aristarco também sabia que quando dois triângulos possuem os três ângulos correspondentes congruentes, eles são semelhantes e, em triângulos semelhantes, as razões entre as medidas dos lados correspondentes são todas iguais. Sendo assim, ele construiu um

triângulo T’L’S’ de ângulos L' igual a 90º, T’ igual a 87º e S’ igual a 3º, com lados L 'T' e

S' T 'conhecidos. Calculou a razão existente entre os comprimentos destes lados, encontrando

LS''^ TT^ ' '=^20. Chegou, então, à conclusão de que ST = 20 .LT, pois se chamasse de k a razão

existente entre os pares de segmentos correspondentes L 'T' e LT e S' T'e ST , chegaria à

igualdade (^) LT^ ST^ = (^) LS''TT^ '', conforme segue:

Se (^) k LT

L 'T '= e (^) k ST

S' T '= , então (^) = ⇔ = ⇔ S'T'

.^1

ST

S'T '

LT

.L'T^ '

S'T '

ST

S'T '

LT

L'T '

ST

LT

S'T '

.LT L'T^ '

ST

LT

.L'T^ '

S'T '

LT.^1

ST

LT

.L'T^ '

S'T '

⇔^1 = ⇔ = ⇔ =

Atualmente sabe-se que a medida do ângulo LT ˆSé 89,85º, o que implica na medida

de 0,15º para o ângulo LS ˆT. Isso nos leva à conclusão de que a distância entre a Terra e o Sol é, aproximadamente, 380 vezes a distância entre a Terra e a Lua.

2ª informação: O comprimento do diâmetro da Lua é, aproximadamente, 31 do

comprimento do diâmetro da Terra.

Figura 3: Eclipse Lunar Fonte: www.ccvalg.pt/astronomia/sistema_solar/lua.htm

Aristarco percebeu esta relação, observando a sombra produzida pela Terra sobre a Lua, durante os eclipses lunares. Atualmente se sabe-se que o diâmetro da Lua é,

aproximadamente, 10027 do comprimento do diâmetro da Terra.

3ª informação: O triângulo formado por um ponto A aqui na Terra e pelas

extremidades B e C de um diâmetro da Lua possui os ângulos AB ˆC e AC ˆB medindo

( 89 + 41 )ºe o ângulo BA ˆCmedindo ( 21 )º.

Figura 4: Ângulos da visão da Lua na Terra Fonte: Silveira, s.d.

Outras informações registradas:

• O diâmetro da Lua é igual a 1/720 da órbita dela ao redor da Terra;
• O diâmetro da Terra é igual a 1/3 do diâmetro da Lua.