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Apostila de Sistemas de Controle I
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“REVISÃO MATEMÁTICA”
2.1- INTRODUÇÃO
Este capítulo tem por objetivo revisar alguns fundamentos matemáticos necessários para o estudo da teoria de controle. Inicialmente, defini-se o que vem a ser uma variável complexa e uma função complexa. Após, revisa-se os teoremas de Euler. Por fim revisa-se os conceitos relativos a Transformação de Laplace. O domínio da Transformação de Laplace é fundamental para o entendimento da teoria de Controle Clássico.
2.2- DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL COMPLEXA E FUNÇÃO COMPLEXA
- Variável Complexa
É um número complexo, cujas partes real e ou imaginária são variáveis. A variável complexa “S” é expressa em coordenadas retangulares, como mostrado a seguir:
S 1 = τ 1 +jω 1 Onde :^ τ =^ Re( )s ω = Im( )s
- Função Complexa
Uma função complexa F(s) (^) , é uma função de “S” com parte real e imaginária; podendo ser expressa como:
F(s) = Fx + jFy Onde : Fx e Fy são reais
Ex: VARIÁVEL COMPLEXA FUNÇÃO COMPLEXA
Plano “S” Plano F(s)
F s F F
tg
Fy F
X Y
X
1
θ= −
O conjugado da função Complexa F(s) é :
2.3- FUNÇÕES ANALÍTICAS
F s( ) = Fx −jFy
Apostila de Sistemas de Controle I
Uma função é dita Analítica, quando ela e suas derivadas são definidas para um dado valor de “S” ou um dado ponto no plano “S”. Quando a função F(s) ou suas derivadas tendem ao infinito para um dado valor de “S”, diz-se que a função não é analítica para aquele ponto. Seja a seguinte função F(s): F s( ) = (^) (S +^11 )
A derivada desta função em relação a “S”, é dada por:
d dS F s( )^ =^ (S )
Tanto a função F(s), como sua derivada, são definidas para todos os pontos do plano “S”, exceto para o ponto S = −1. Neste ponto, F(s) e sua derivada se aproximam do infinito. Portanto, a função F(s) é Analítica em todo o Plano “S”, exceto no Ponto S = −1. Os pontos no plano “S”, onde a função F(s) é analítica são chamados PONTOS ORDINÁRIOS, enquanto que os pontos onde F(s) não é analítica, são chamados P ONTOS S INGULARES. Os pontos singulares são também chamados de P ÓLOS DA FUNÇÃO (S = −1 é um pólo da função F(s)). Seja uma função F(s) qualquer. Se F(s) tende a infinito quando S = −p e se a função F s( ).( s + p )nonde n = 1, 2, 3..., é um valor finito não nulo para o ponto S = −p, então: S = −p é chamado de PÓLO DE ORDEM “n”.
- Se n = 1 ⇒ Pólo simples;
- Se n = 2 ⇒ Pólo de 2a^ ordem;
- Se n = 3 ⇒ Pólo de 3a^ ordem.
Os valores de “S” em que a função F(s) é igual a zero, são chamados de Z EROS DA FUNÇÃO.
Ex: F(s) K(S^ )(S^ ) S(S )(S )(S )
= +^ +
Esta função tem zeros em S = −2 e S = −10 e pólos simples em: S = 0, S = −1 e S = −5 e um pólo de 2a^ ordem em S = −15.
Caso S → ∞, G s K S →∞( )=^ s^3
e G s S
→∞
= 0. Portanto, se forem considerados pontos no infinito, a
função passa a ter 5 zeros sendo um de 3 a^ ordem, em S = ∞.
2.4- TEOREMA DE EULER
O teorema de Euler, é definido por:
e jθ^ = cosθ +jsenθ
Pelo uso deste teorema, podemos expressar funções em seno e co-seno, na forma de uma função exponencial. Se e-jθ^ = cosθ - j senθ então, e-jθ^ é o conjugado complexo de e jθ^.
Apostila de Sistemas de Controle I
/ { f t( ) } = /{ A e. −^ t^ } = e - st^ .dt A e.. -^ t^ =A e - (^ S^ +)t.dt
∞ ∞ α (^) ∫ 0 α (^) ∫ 0 α
/ { A e } (^) ( A ) (^ ) ( ) ( (^ )^ (^ ) ) S
e A S
. -^ t^ =. -^ S^ +^ t^ .e -^ S^ +^ e-^ S+ - + - +
α α (^) = α (^) - α α α
∞ (^) ∞ ∞ 0
b) Função Degrau
para t < 0 para t ≥ 0
/ { A.μ } μ (^ )
μ ( ). ( ).
t A t e dt..^.
A t S e^
A
S e^ e = St^ = St^ S^ S − = − − ∫∞ −^ −^ ∞ −^ ∞^ − (^00)
0
/ {A (^). μ( ) t }=AS
c) Função Rampa
para t < 0 para t ≥ 0
/ {^ A.t} = −
∞ A. ∫ 0 t e. Stdt
Utilizando a definição de Integração por partes tem-se: 0 μ ϑ μϑ 0 0 ϑ μ
t t^ t ∫. d = −∫ .d
Seja: μ = t → dμ =dt e d ϑ = e −^ Stdt ⇒ ϑ = e S
−St −
A t e Stdt A t eS eS dt
St St
.. −....
∞ −^ ∞^ ∞ − = (^) − − (^) −
∫ 0 0 ∫ 0
/ {^ A t} A S
e S
A
S S
St
. =.. −
− ∞ 0
(^1) / {A t } A S
d) Função Senoidal
para t < 0 para t ≥ 0
Utilizando o teorema de Euler, tem-se:
sen θ = 1. (^ θ^ − −^ θ^ )^ ∴ senω = (^ ω^ − −ω) 2
j e^ e^ t^ j 2 e^ e
j j j t j t
/ { A e }
A
S
. -^ t = +
α α
f t f t A t
μ
f t f t A t
f t f t A t
( ) .sen
ω
0 1
0
0 1
Apostila de Sistemas de Controle I
/ { f t( ) } = A .sen t e. Stdt
∞ (^) − ∫ 0 ω
/ {f t } A( )
j
( ) = e j^ t^ −e j^ t^ .e St.dt
∞ (^) − − ∫ (^0 )
ω ω
/ (^) {f t } A (^ )^ (^ ) j
e dt A j
( ) =^. S^ j^ t^. − .e S^ j^ t.dt
∞ (^) − − ∞ (^) − + ∫ 0 2 ∫ (^02)
ω ω
{ }
( ) ( )
( )
/ f t A j
e S j
e S j
S j t S j t ( ) =. − −
− − ∞^ − + ∞ (^2 0 )
ω ω ω ω
/ (^) {f t }
A
j S j S j
A
j
j S
^
ω ω^2
ω ω
/ (^) {A sen t}
A
S
. ω .ω ω
e) Função Co-senoidal
para t < 0 para t ≥ 0
/ {f t } ( )
( ) = ∞^ A e j^ t^ + e −j^ t^. e −St.dt ∫ (^0 )
ω ω
/ (^) {f t } (^ )^ (^ ) ( ) = ∞^ A e −^ S^ −j^ t^. dt + ∞^ Ae −^ S^ +j^ t.dt ∫ 0 2 ∫ (^02)
ω ω
{ }
( ) ( )
( ) ( )
/ f t A^ e S j
e S j
S j t S j t ( ) = − −
− − ∞ − + ∞ (^2 0 )
ω ω ω ω
/ {f t } A S j S j
A S
S
^
ω ω 2 ω^2
/ (^) {A t} A S S
.cos ω. ω
Embora o procedimento para a obtenção da transformada de laplace de funções temporais seja simples, existem tabelas prontas para as funções que freqüentemente aparecem na análise de sistemas de controle.
Ex : Dada a função f(t) abaixo, obtenha a T.L. da mesma.
f t f t A t
( ) .cos
ω cosω^ (^ )
t = 1 e jω^ t^ + e−jω^ t 2
Apostila de Sistemas de Controle I
/ (^) { f (^) ( ) τ. μ( ) τ (^) } = e −^ sα^ f (^) ( )τ. e s^ τ^. d τ=e sα. F s( )
∞ (^) − − ∫ 0
/ (^) { f t ( − α (^) ). μ( t − α (^) )}= e −sα. F s( )
Caso particular: α = 0 ⇒ / {f t ( ). μ ( )t } =F s( )
Comparando-se as expressões acima, concluí-se que transladar no tempo uma função f(t) qualquer, significa multiplicar a transformada de laplace de f(t), F(s), por e -Sα^ onde α, significa a translação sofrida por f(t).
b) Função Pulso
f(t) = A 0 < t < t (^0)
f(t) = 0 t < 0 e t > t (^0)
f(t) = A.μ(t) - A. μ(t - t 0 )
μ(t) = 1(t) e μ(t - t 0 ) = 1(t - t 0 )
/ (^) {f t ( ) (^) } = / (^) (A. .( ) 1 t (^) ) − /( A.. (^1) ( t −t (^0) ))
/ (^) ( A t (^) )
A
S
. ( ) 1 = e / (^) ( A (^) ( t t (^) )) A S .. 1 − 0 = .e −S t^.^0 ’
/ (^) { f t (^) } (^) ( )
A
S
( ) = 1 − e −S t.^0
c) Função Impulso
A Função Impulso é um caso especial da função pulso, onde o período de duração do impul-
so tende a zero(t 0 ), e a amplitude tende a infinito At 0 . Se f(t) é a função impulso, a sua transformada
será:
/ (^) {f t ( ) (^) } OtLPt SA ( e S t) .
− 0 0 0 1
0
{ }
( ( )) / f t OLP
d d t
A e d d t
t S
A S
S
t A
S t ( ).. .
.
.
→ =^ =
−
0 0
0
0
0
Esta função é chamada de FUNÇÃO I MPULSO UNITÁRIO ou FUNÇÃO DELTA DE DIRAC , se A =
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d) Multiplicação de f(t) por e -^ αα t
/ (^) {e −^ t^ f t (^) } e −t^ f t e st^ dt f t e (^ S^ )tdt
∞ (^) − ∞ − + α (^). ( ) = (^) ∫ 0 α (^). ( ).. =∫ 0 ( ). α.
/ (^) {e −^ t^ f t (^) } t e (^ S^ )^ t dt F S( )
∞ (^) − + α (^). ( ) = (^) ∫ 0 f( ). α^. = +α
Ex : Seja: f(t) = sen ωt F s (^) ( ) S
ω (^2) ω 2 Portanto:
f 1 (t) = e −αt^ .sen ωt F S(^ )^ ( )
S
α
ω α 2 ω^2
e) Mudança de escala de tempo
Se o tempo t é modificado para (^) αt , a função f(t) é alterada para f ( (^) αt ). Seja a seguinte trans-
formação de Laplace.
/ (^) { f (^) ( ) αt^ } = (^) ( )αt^ e Stdt
∞ (^) − ∫ 0 f.^.
Seja (^) α t^ = t 1 e αS = S 1 , onde α é uma constante. Desta forma:
/ (^) {f ( ) αt^ }= t e S^ t d αt
∞ (^) − ∫ 0 f(^1 ).^1 1.^ (^.^1 )
.
/ (^) { f (^) ( ) αt^ } = α (^) ( t (^) )e S^ t dt =αF S
∞ (^) − ∫ 0 f^1.^1 1.^1.^ (^1 )
.
/ (^) { f (^) ( ) αt } = α .F( α S)
Ex :
Seja f(t) = e-t^ e f (^) ( 5 t^ ) = e−0 2^ ,t
/ (^) { f t( ) (^) } = (^) S + ; /{f ( )t} .S
f) Demonstração do teorema da diferenciação
Seja a T.L. da derivada primeira da função f(t):
δ(t) ou δ(t-t 0 )
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/ d dt
f t S F s S f f
2 2
g) Teorema do Valor Final
Este teorema, permite que se conheça o valor da função f(t) no tempo t = ∞, através da fun- ção F(s), isto é, o comportamento de f(t) em regime permanente é igual ao comportamento de S.F(s) na vizinhança de S = 0. Entretanto, este teorema só é aplicável se e somente se: “OtL →∞Pf t ( ) ” existir. O (^) OtL →∞Pf t ( ) existe, se todos os pólos de S.F(s) estiverem no semi-plano esquerdo do plano S. Se “S.F(s)” tiver pólos no eixo imaginário ou no semi-plano direto, a função f(t) será oscila- tória ou crescerá exponencialmente. Portanto o (^) OLP t →∞f t^ ( )^
não existirá. Um exemplo, bastante elucidativo deste fato, são as funções sen (^) ωt e cos (^) ωt, onde S.F(s) apresenta pólos em S (^) = ± jω.
O Teorema do Valor Final, diz que: se f(t) e dt df t( ) são transformáveis segundo Laplace, se
o “OtL →∞Pf t ( ) ” existe e F(s) é a T.L. de f(t), então:
OtL →∞P f t( ) =OSLP→ 0 S F s.^ ( )
PROVA: Seja a seguinte T.L. da função g t d ( ) = (^) dt f t( )
/ d dt
f t g t e dt d dt
. ( ) ( ). St (^). ( ) .f t e St.dt
∞ ∞ − ∫ 0 ∫ 0
Se “S” tender a zero, resulta:
OLSP d St OSLPSt dt → f t^ e^ − dt^ → e−
^
0 ∫ ^ →^0 =
- ( )^ onde:^.^1
Portanto: OLSP d St dt
f t e dt d dt → − f t^ dt^ f t
^
0 ∫^0. ( ) .^ =^1 ∫^0. ( ).^ = ( ) 0
OLSP d St dt → f t^ e^ − dt^ f^ f
^
0 ∫^0. ( ) .^ =^ (^ ∞ −)^ ( )^0 “^1 ”
Por outro lado: OLSP St OSLP { } d dt → f t^ e^ − dt^ S F s^ f
∞ →
^
0 ∫^0. ( ) .^ =^0.^ ( )^ − ( )^0
OLSP d St OSLP dt → f t^ e^ − dt^ S F s^ f
∞ →
^
0 ∫^0. ( ) .^ =^0.^ ( )^ − ( )^0 “^2 ”
Apostila de Sistemas de Controle I
“1” = “2” ∴ f^ (^ ∞)^ =^ OtL →P 0 f t( )^ =OSL→P 0. .S F s^ ( ) “ 3 ” Ex : Seja a seguinte T.L.: F(s) = 1 S S( + 1 ) Qual é o valor de (^) OLP t →∞^ f t( )^
A função S.F(s), apresenta um pólo no semi-plano esquerdo do plano “S” e portanto, OtL →∞P f t( ) existe. Então, utilizando a expressão “ 3 ” , acima resulta:
OtL →∞P = OLSP → = OSL→P
. ( )f t. .S F s ( ) = (^0 0) S
Este resultado, pode ser verificado aplicando-se transformação inversa de Laplace, onde:
h) Teorema do Valor Inicial
Ao contrário do teorema do valor final, este não apresenta limitações quanto a posição dos pólos de S.F(s). Através deste teorema, é possível que se conheça o valor de uma função f(t) no ins- tante t = 0 +, diretamente da T.L. de f(t). Se a função f(t) e df t dt
( ) são transformáveis por Laplace e se OsL →∞P S F s. ( ) existe, então:
f ( 0 +) =OsL→∞PS F s. ( )
PROVA:
Seja a função g(t) = d dt
. ( ) e:f t
/ (^) + { }
∞ (^) −
∞ (^) − g t = (^) ∫ + g t e dt =∫+ d dt
( ) 0 ( ). St^0. ( )f t e. Stdt
OLS P/ (^) {g t } OLSP d St OSLP{ } dt →∞ +^ →∞ f t^ e^ dt^ S F s^ f
∞ (^) − →∞
( ) (^) ∫ 0 +. ( )... ( ) ( 0 ) 0
OLS →∞P {S F s. ( ) − f( 0 +)}= 0 ∴ f^ (^0 +)^ =^ OSL→∞PS F s.^ ( )
2.6- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ⇒ (^) {/ −^1 }
É o processo inverso da transformação de Laplace, isto é, a partir de uma expressão no do- mínio “S” encontra-se a expressão no domínio de tempo correspondente.
/ − { } − ∞
(^1) F s = f t = (^21) j ∫c j F s e dS c j (^) St ( ) ( ) (^) π ( ).
ω
f(t) = 1 - e-t^ e OtL →∞P f t( )^ = 1
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( ) ( ) ( )
F s a S P
a S P
a S P
n n
1 1
2 2
O coeficiente ai é chamado de resíduo do pólo S = −Pi.
a (^ S Pi) B s i (^) A s (^) S Pi
Ex 1 :
F s ( )( )
S
( ) = S S
F s
a S
a S
1 2 1 2
( ) (^ ) ( )( )
a S
S
S S
S
1 S 1 1 S S 1
=− = −
. a
( )
( ) a S (^) ( )( )
S
S S
S
22 S 2 2 S S 2
. =− a =− − = −
Portanto:
F s S S
/ ^1 1
S
e t
=^.^ − /^ ^1
S
e t
=^. −
f t( ) = 2. e −^ t^ −e−^2 t t ≥ 0
Ex 2 :
F s
S S S
( ) = (S )(S )
S
S S S S S
S S S S
S S
S S
3 2 2 3 2 2 2
− −^ −^ +
Com isto a função F(s), é escrita da seguinte forma:
Como o numerador apresenta um grau superior ao denominador, deve-se dividir os Polinômios.
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F s S
S
( ) = ( + ) + (S )(S )
Portanto:
/ −^ { } = / −^ { } + / −^ { }+ /− + + +
F s S S S S
/ −^1 { }S ⇒/−^1 {^ S. 1 }∴^ /^ {^ }
− (^1) S 1 =d^ t
. (^) dt
δ( )
/ −^1 { } 2 ⇒ / −^1 {2 1. (^) } = /−^1 {2 1. (^) } = 2. ( )δ t
/ −^ +
S
S S
Esta parcela é igual ao exemplo anterior.
b) Pólos Reais Múltiplos
Seja a seguinte função F s
B s A s
B s ( ) (^) S P S P
Então F(s), será expandido na seguinte forma:
F s a S P
a S P
a S P
a S P
13 1
3
12 1
2
11 1
2 2 Onde: a S P B s (^13 1) A s (^) S P
3 1
S P B s (^12 1) A s (^) S P
a ( )
d dS
S P
B s (^11) A s (^) S P
2 2 1
a (^) ( S P (^) )B s (^2 2) A s (^) S P 2
Ex : F s S^ S S
a S
a S
a S
= +^ +
2 3
13 3
12 2
a (^ S ) S^ S
13 S S
3 2 3 1
13
2 (^1 )
=−
f t t
d dt t^ e^ e ( ) = 2 δ ( ) + δ( ) + 2 −^ t^ − −^2 t t ≥ 0
diferenciação
impulso unitário
impulso unitário
CTE
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/ −^1 { F s( ) (^) } = 2 M e. −atcos( bt+θ)
2.7- SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, LINEARES E INVARIANTES
NO TEMPO ATRAVÉS DE T.L.
Nos métodos clássicos para obtenção de solução de equações diferenciais há a necessidade da determinação das constantes de integração através do uso das condições iniciais. O uso da T.L. na solução das equações diferenciais elimina esta dificuldade, uma vez que as condições iniciais são automaticamente incluídas. Para a obtenção da T.L. de um equação diferencial cujas condições iniciais são nulas, sim- plesmente substitui-se “ dt d” por “S”, “ d dt
2 2 ” por “S^
(^2) ” e assim sucessivamente.
Dada uma equação diferencial linear e invariante no tempo, acha-se inicialmente a T.L. de cada termo que a compõe, transformando-se uma equação diferencial em uma equação algébrica. Após, deve-se manipular a expressão algébrica resultante isolando-se a variável dependente. Uma vez solucionada esta expressão, através da aplicação da T.I.L obtém-se a solução da equação dife- rencial dada. Ex :
- Ache a solução para x(t) da equação diferencial, mostrada abaixo:
χ (^) (t) + 3 (t) + 2 (t)χ χ = 0 Onde: χ( ) 0 = a χ ( ) (^0) = b
X s
aS b a S S s^
aS b a ( ) = ( ) (^) ( S )( S )
+ + ∴^ =^
2 X 1 2
X s
A
S
B
( ) = + 1 + S+ 2
A aS^ b^ a S
a b a S
= +^ +
∴ = −^ +^ + ∴
=−
A A = b + 2 a
B
aS b a S
a b a S
∴^ =^
^
=− ^ ∴
2 B^1 B^ =^ −b^ −a
X s
a b S
a b ( ) (^) ( ) S
+ −^
χ( )t = ( 2 a + b). e −^ t^ − ( a +b ).e−^2 t
- Ache a solução para x(t) da equação diferencial:
χ (^) + 2 χ + 5 χ = 3 χ( ) 0 = 0 , χ ( ) (^0) = 0
Solução: x(t) = 3 5
−. e −^ t^. sen t −. e −t^ .cos 2 t.
