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MATEMÁTICA FINANCEIRA
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
1. EMENTA
Serão abordados, os modelos de capitalização simples e composta, seus conceitos e aplicações,
operações de descontos simples e compostos, taxas efetivas, nominal, real e aparente,
equivalência financeira, os modelos de séries financeiras, sistemas de amortizações, seus
conceitos e aplicações.
2. OBJETIVO
Proporcionar aos alunos uma visão prática e objetiva da utilização dos recursos da Matemática
Financeira no dia-a-dia da empresa, oferecendo, através de bases conceituais e desenvolvimento
de formulas, os principais modelos de aplicação e captação de recursos financeiros no mercado,
entendendo assim, as relações formais que ligam quantidades monetárias que são trocadas em
distintos pontos do tempo.
3. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
I. CONCEITOS FUNDAMENTAIS NA MATEMÁTICA FINANCEIRA
a) Objetivos da Matemática Financeira
b) Conceitos fundamentais: juros, taxas de juros, capital, montante, prazo, fluxo de caixa,
regime de capitalização.
II. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
a) Conceito
b) Cálculo dos juros simples e montante
c) Taxa proporcional e equivalente
d) Juros exatos e comerciais
e) Homogeneização entre taxa e prazo
f) Método Hamburguês – cheque especial
III. OPERAÇÕES DE DESCONTO SIMPLES
a) Conceitos básicos
b) Desconto Simples Racional e Comercial
c) Cálculo da taxa efetiva ou implícita no desconto comercial
d) Equivalência de títulos no desconto comercial
IV. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
a) Conceito de capitalização composta
b) Cálculo do montante e dos juros compostos
V. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS
a) Taxa efetiva e taxa nominal
b) Equivalência entre taxa efetiva e nominal
c) Taxa real e taxa aparente
VI. OPERAÇÃO DE DESCONTO COMPOSTO
a) Conceito
b) Desconto Composto Racional e Comercial
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VII. RENDAS CERTAS, SÉRIE FINANCEIRAS
a) Conceituação
b) Tipos de Série Financeira
i. Antecipadas
ii. Postecipadas
iii. Diferidas
c) Cálculo do valor atual de uma série Financeira
i. Antecipada, postecipada e diferida.
d) Cálculo do montante de uma série financeira
i. Antecipada, postecipada e diferida
VIII. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Operações com potências:
+ × =
2
2
8 + 4 × 3
9
36
44
2
× + ÷ =
16
48 2
50
Cálculo numérico com parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }
{[( 3 + 4 )× 2 ]× ( 2 + 3 )÷ 7 }= 10
7 5
14
70
10
{[(1 + 8) ÷ (8 − 5) × 2] ÷ 6} + 4 − (6 − 1) = 0
9 3 5
3
6
1
5
0
Propriedades da multiplicação e divisão
Multiplicação Divisão
Comutativa
a × b = b × a
4 × 8 = 8 × 4
Comutativa
a ÷ b ≠ b ÷ a
4 ÷8 ≠ 8 ÷ 4
Associativa
( a × b )× c = a × ( b × c )
(2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)
6 x 4 = 2 x 12 = 24
Associativa
( a ÷ b )÷ c ≠ a ÷( b ÷ c )
( 8 ÷ 4 )÷ 2 ≠ 8 ÷ ( 4 ÷ 2 )
2 2
Distributiva
a ×( b + c ) = a × b + a × c
3 ×( 4 + 5 ) = 3 × 4 + 3 × 5
Distributiva
a ÷ ( b + c ) ≠ a ÷ b + a ÷ c
2 ÷ ( 4 + 6 ) ≠ 2 ÷ 4 + 2 ÷ 6
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Elemento neutro da multiplicação ( um )
a × 1 = 1 × a
5 × 1 = 1 × 5
Elemento neutro da divisão
a ÷ 1 ≠ 1 ÷ a
5 ÷ 1 ≠ 1 ÷ 5
Propriedades da Potenciação
Potência de mesma base
3
a × a × a = a
3
× × = =
Multiplicação de potência de mesma base
a a a
n m n m
× =
2 3 5
× = =
Divisão de potências de mesma base
5 n
(^2) 5 2 3
a (^) − n p −
= 2 2 8
a
= = = p 2
a
2
Potência de potência
( )
n m
2 3 = = =
a ( 2 ) 2 2 64
3 2 6
×
Expoente zero
0
0
a = 12 1
1
Sendo a ≠ 0
Expoente um
1 12 12
1
a = a
Potência de um produto
n n n
a × b = a × b
2 2 2
× = × = × =
Potência de uma fração
n n
a ⎟ =
a
⎜ ⎝⎛
⎞ n b b ⎠ 2
2
8
8
64
Adição e subtração
nm a
b
b n
×
b n
×
× +
a
×
m
n a b m
× + ×
b
n
=
b n
b n
×
×
Multiplicação
a
m
a m
×
× =
b
n
b n
×
Divisão
a
a
m
m
b
÷ =
b
n
n
a
n
a n
×
× =
b
m
b m
×
Estruturas algébricas
Adição e subtração
x
x
x
Potenciação
3
x
Multiplicação e divisão
x
x
= 5 5 x = 6
Radiciação
3 1
( ) 3 3 3
3 6 x x
= → =
64 2 3
6
3 2 x x x
= → = ⇒ =
2 2 4
5 x = 3 5 5
( ) 3 243 5 5
x = 243
x x
= ⇒ = 5
Exponencial e Logaritmo
Log x Log
8 3
= ⋅ x
0,
8 2
=
8 = 3
x
x
Log 8 = Log 3
1,
x = =
Log
8
x
=
0, 3 = → = x
2 2 3
x
Log
3
Bases iguais, os expoentes são
iguais.
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O ponto e a vírgula
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No Brasil a parte inteira de uma expressão numérica é separada da parte fracionária por uma vírgula, servindo o
ponto, apenas, como elemento de separação de milhares da parte inteira, tendo, portanto, função estética na
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Preservação da expressão Matemática
Consiste em se manter a expressão que deu origem a um determinado resultado. Por exemplo: o
=por
pessoa. Por aproximação,
capital de R$ 400,00 foi dividido igualmente para seis pessoas 66,
6
cada pessoa receberá R$ 66,67. Mas, se o resultado apresentado for utilizado pra qualquer outro cálculo, aconselha
se o uso do maior número de casas decimais possível ou o uso de fração
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Utilizaremos seis casas decimais nos cálculos para resolução dos problemas.
Porcentagem ou percentagem
É o valor que representa a quantidade de unidades tomadas de uma outra.
É um resultado de uma fração onde o numerador é uma parte do todo e o denominador representa o
todo
Exemplo: Uma pizza cortado em oito pedaços, cada pedaço dessa pizza representa 1/8 do todo (a pizza). 1 pedaço
de pizza
81 , onde
1 Pedaço 8
Caso a pizza fosse dividida em 6 pedaços, cada pedaço seria representado por 1/6, agora qual o
pedaço Pizza inteira
de pizza maior? 1/8 ou 1/6? Como reduzir essas medidas para padrões uniformes de comparação? A solução
consiste em apresentá-las em uma base de valor 100, (olha o por que: cem por cento).
= → × = × X → X = =
X , ou seja, cada pedaço representa 12,5/100, ou 12,5% de
100 1 100 8
Assim temos: 12,
toda pizza.
8
= → × = × X → X = =
X , ou seja, cada pedaço representa
Para a pizza de seis pedaços, 16,
6 100
6
16,67/100, ou 16,67% de toda pizza.
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ÍNDICE
1. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES .......................................................................................15 1.
Juros Simples ........................................................................................................................ 15 1.
Homogeneização entre Taxa de Juro e Prazo de Capitalização............................................ 18 1.
Taxa de Juro Proporcional .................................................................................................... 18 1.
Taxas Equivalentes na Capitalização Simples....................................................................... 19 1.
Juros Comerciais e Juros Exatos ........................................................................................... 19 1.
Equivalência de Capitais na Capitalização Simples............................................................... 21 1.
Taxa Média e Prazo Médio ................................................................................................... 22
2. OPERAÇÕES DE DESCONTO SIMPLES ........................................................................................37 2.
Desconto Simples Racional ou Por Dentro ........................................................................... 37 2.
Desconto Simples Comercial ou Por Fora............................................................................. 38 2.
Desconto Bancário................................................................................................................ 39 2.
Cálculo da Taxa Efetiva no Desconto Comercial................................................................... 39 2.
Desconto Simples Comercial X Desconto Simples Racional................................................ 40 2.
Cálculo da Taxa Efetiva no Desconto Bancário..................................................................... 41 2.
Taxa média e prazo médio para operações de Desconto Simples Comercial ...................... 41 2.
Equivalência de Títulos no Desconto Simples Comercial ..................................................... 42
3. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA...................................................................................49 3.
Cálculo do Montante Composto........................................................................................... 49 3.
Cálculo dos Juros Compostos ............................................................................................... 52
4. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA....................................................59 5.
TAXAS .....................................................................................................................................64 5.1 Taxa
Proporcional................................................................................................................. 65 5.2 Taxa Equivalente
na Capitalização Composta ...................................................................... 65 5.3 Taxa Efetiva e taxa Nominal
por sua vez está ligado à existência da taxa de juros.
Veja algumas definições dadas por diferentes autores.
“ A Matemática Financeira pode ser definida como uma ciência que procura aliar métodos
matemáticos aos fenômenos econômico-financeiros na construção de todo um instrumental de modelos
e processos, para fornecer respostas compatíveis a uma eficiente alocação de recursos escassos entre
atividades competitivas. ” (Roberto Gomes Ferreira, 1999).
“ Sob o enfoque teórico, poderemos defini-la como o estudo da evolução do dinheiro ao longo do
tempo, visando estabelecer relações formais entre quantias expressas em datas distintas. Sob uma visão
mais aplicada, iremos apresentá-la como o conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática,
com o objetivo específico de avaliar as operações de investimento e empréstimo .“ (Zentgraf).
“ O objeto da Matemática Financeira é o estudo das relações formais que ligam quantidades
monetárias que são trocadas em distintos pontos no tempo. Seu objetivo pode ser descrito como sendo o
estudo da evolução do dinheiro ao longo do tempo .” (Clóvis de Faro).
“ A Matemática Financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor do dinheiro no
tempo .” (Shinoda).
Além de modelos e processos, a Matemática Financeira se ocupa na interpretação e
representação das principais variáveis monetárias, financeiras e reais do sistema econômico.
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CONCEITOS FUNDAMENTAIS NA MATEMÁTICA FINANCEIRA
a) CAPITAL ( C ) ou VALOR PRESENTE ( PV )
Qualquer valor expresso em moeda disponível em determinada época é geralmente conhecido
como: CAPITAL, VALOR PRESENTE, VALOR INICIAL de uma operação.
CAPITAL é a quantidade monetária envolvida em uma transação, referenciada geralmente na
data inicial.
b) FLUXO DE CAIXA
Denominamos Fluxo de Caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro no caixa de uma
empresa, ao longo de um determinado período de tempo.
Podemos representar fluxo de caixa pelos diagramas abaixo.
Recebimentos 0 1 4 5 n Pagamentos
2 3
c) JUROS ( J )
A noção de juro decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere consumir seus bens no
presente e não no futuro, neste caso, tendo preferência para consumir hoje, as pessoas querem uma
compensação pelo fato de não usar o dinheiro no presente. Abaixo algumas definições de juros:
∙ É uma complementação financeira para uma aplicação de recursos monetários por certo
período de tempo;
∙ É a remuneração do capital empregado num determinado período de tempo; ∙ É o aluguel
recebido ou pago pelo uso do dinheiro durante um determinado período de tempo;
∙ Remuneração pelo direito do uso de determinado capital durante certo período de tempo; ∙ É a
remuneração aos serviços prestados pelo capital financeiro, proveniente de uma atividade
estritamente financeira.
Do ponto de vista do tomador de empréstimo, o juro é o preço do capital e do ponto de vista do
investidor é a renda do capital investido.
d) TAXA DE JURO ( i )
Na determinação do valor do juro, que é cobrado em qualquer transação financeira, é utilizado
um coeficiente denominado “taxa de juro”.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Então taxa de juro é:
✔ Um coeficiente monetário aplicado ao capital por um determinado período de tempo para
remunerar o capital;
✔ É o índice que determina a remuneração do capital financeiro num determinado tempo; ✔ É
a proporção existente entre o recurso financeiro aplicado e sua remuneração; ✔ É a razão entre
os juros recebidos (ou pagos) no final de certo período de tempo e o capital aplicado;
✔ É a relação percentual existente entre a remuneração do principal e o próprio capital.
Portanto, é o percentual que aplicado ao principal define o valor do juro a ser pago ou
recebido.
A taxa de juro se expressa de duas formas:
1. Forma percentual: Nesta forma a taxa é acompanhada do símbolo % e de um período de
aplicação.
Exemplo:
12 % ao mês ; 20 % ao ano ; 10 % ao dia ; 120 % ao semestre etc.
2. Forma unitária : Nesta forma a taxa percentual é dividida por 100.
Exemplo:
a) 12% a.m. a taxa unitária correspondente (
12%
recurso financeiro aplicado.
a) Regime de Capitalização Simples : se os juros, nos vários períodos, forem calculados sempre
sobre o capital inicialmente empregado, dizemos que a capitalização é feita no regime de
juros simples. Neste tipo de capitalização somente o capital inicial rende juros.
b) Regime de Capitalização Composta : o juro de cada período de capitalização da operação
decorre da aplicação da taxa de juro sobre o último saldo (capital + juros) do período
anterior.
Em função do tempo de geração de rendimentos, a capitalização simples e composta, podem ocorrer
em processos continuo ou descontínuos.
a) Processo contínuo de capitalização: caracteriza-se por uma agregação dos juros ao capital
aplicado de uma forma instantânea ou sem interrupção. É quando o juro é formado a cada
instante e incorporado ao capital, sem interrupção.
Capital Capital
Tempo Tempo Capitalização Composta
Capitalização Simples
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Capitalização Continua Composta Capitalização Continua Simples
Dado o capital inicial, C 0 , a função
continua com crescimento exponencial,
fornece em qualquer tempo “t”, o
capital acumulado, Ct.
���� = �� 0 × ��
����
Dado o capital inicial, C 0 , a função
continua com crescimento linear,
fornece em qualquer tempo “t”, o
capital acumulado, Ct.
���� = �� 0 (1+ �� × ��)
b) Descontinuo : Foi convencionado que o
rendimento ou juro só será formado e agregado ao
capital no fim de cada período de tempo. Neste
processo o rendimento se dá no final de cada
período (poupança).
Capital
Tempo
Na data 1 o cálculo do juro simples J 1 = C x i 1
Na data 2 o cálculo do juro simples J 2 = C x i 2
Na data 3 o cálculo do juro simples J 3 = C x i 3
Na data n o cálculo do juro simples Jn = C x in
Denominando de “ J ” o rendimento total: J = J 1 + J 2 + J 3 + J 4 + J 5 + .......... + Jn
Substituindo J = C x i 1 + C x i 2 + C x i 3 + C x i 4 + C x i 5 + ........ + C x in
Colocando C em evidencia teremos a seguinte equação:
�� = ��(���� + ���� + ���� + ���� + … … ….
+����)
A expressão, acima, fornece o total de juros simples ao final de “ n ” períodos de aplicação, quando se
investe um único capital e taxas variáveis em cada período.
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Exemplo: Uma pessoa deposita em uma instituição financeira a quantia de R$ 2.000,00 para receber
durante um ano as seguintes taxas trimestrais de juros simples:
o
. trimestre: 10% ;
o
. trimestre: 12%;
o
. trimestre: 15%;
o
. trimestre: 18%.
Calcular os juros simples totais ao fim do prazo de aplicação.
Resolvendo:
J = 2.000(0,10 + 0,12 + 0,15 + 0,18)
J = 2.000 × 0,
b) Cálculo dos Juros Simples para taxas iguais
Admitindo que i 1 = i 2 = i 3 = i 4 = i 5 =...... = in = i, ou seja, as taxas de juros simples são iguais em
todos os períodos da aplicação, neste caso a expressão (1), acima, ficará: J = C (i + i + i + ... + i )
resultando na expressão:
�� = �� × �� × ��
Esta expressão permite calcular os juros simples totais de uma aplicação quando as taxas de juros forem
fixas, iguais em todos os períodos de aplicação.
Exemplo: Qual a remuneração obtida por um capital de R$ 2.000,00 aplicados durante dois anos à taxa
de juro simples igual a 10% ao mês?
Resolvendo:
J = 2.000 × 0,10 × 24
Calculando os Juros Simples para taxas iguais na HP 12 C
1. Digite o prazo em dias e pressione a tecla [ n ]
2. Digite a taxa anual e pressione a tecla [ i ]
3. Digite o valor aplicado e pressione [CHS] [PV]
4. Pressione [ f ] [INT] para calcular os juros bancários
No visor
Teclas Observações
24 [ENTER] 30 [ x ] [ n ] Prazo transformado em dias 10 [ENTER] 12 [ x ] [ i ] Taxa de juros anuais
2.000 [CHS] [PV] Capital inicial
[ f ] [INT] Juros
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II. Cálculo do montante
Montante é o soma do capital inicial mais os juros ganhos: M = C + J.
a) Montante Simples para taxas variáveis de juro simples
M = C + C ( i 1 + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 + ......... + in ), colocando C em evidência:
