Apostila Matemática, Notas de estudo de Mecatrônica

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MATEMÁTICA PARA

CONCURSOS

O REI DAS APOSTILAS

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Sumário

Logaritmos ---------------------------------------------------

• Números Naturais -------------------------------------------
• Conjuntos numéricos: racionais e reais -------------------
• Divisibilidade -------------------------------------------------
• Números Primos ---------------------------------------------
• Máximo Divisor Comum (mdc mmc) ----------------------
• Números Racionais ------------------------------------------
• Números Fracionários ---------------------------------------
• Números Decimais -------------------------------------------
• Potenciação --------------------------------------------------
• Radiciação ----------------------------------------------------
• Média ---------------------------------------------------------- Razões e Proporções ---------------------------------------
• Produtos Notáveis -------------------------------------------
• Divisão Proporcional ----------------------------------------
• Regra de Três: Simples e Composta -----------------------
• Porcentagens -------------------------------------------------
• Juros Simples ------------------------------------------------
• Juros Compostos ---------------------------------------------
• Sistemas de Medidas ----------------------------------------
• Sistema Métrico Decimal ------------------------------------
• Equações do 1.º grau ----------------------------------------
• Equações do 2.º grau ---------------------------------------
• Sistemas ------------------------------------------------------
• Equações -----------------------------------------------------
• Progressão aritmética ---------------------------------------
• Progressão geométrica -------------------------------------
• Noções de trigonometria ------------------------------------
• Teorema de Pitágoras ---------------------------------------
• Funções exponenciais ---------------------------------------
• Geometria ---------------------------------------------------- Polinômios ----------------------------------------------------
• Noções de probabilidade ------------------------------------
• Noções de estatísticas --------------------------------------

Logo:

• 2 é oposto ou simétrico do + 2, + 20 é oposto ou simétrico do - 20, - 100 é oposto ou simétrico de + 100.

Adição e Subtração de Números Inteiros Exemplos: a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números) b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números) c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números) d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração) e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração)

Lembrete: Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito(número negativo) e crédito(número positivo), + 3 + 7 , tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10 , devo 15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8 , tenho uma divida de 5 reais faço mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13.

Multiplicação e Divisão de Números Inteiros Exemplos: a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +) b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +) c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -) d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -) e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +) f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -) g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +) h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)

Lembrete: Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal o resultado e sempre positivo, a multiplicação ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é sempre negativo.

Potenciação de Números Inteiros Exemplos: a) (+3)^2 = (+3) x (+3) = + 9^ b) (-2)^5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32

c) (-8)^0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) d) (+9)^0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo)

e) (18)^1 = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo)

Importante: (-2)^2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de - 2^2 = -(2) x (2) = - (4) = - 4 No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso apenas o número está elevado ao quadrado.

Radiciação de Números Inteiros Exemplos:

a) (lembre-se que 5 x 5 = 25)

b) (lembre-se que 7 x 7 = 49)

c) (lembre-se não existe raiz quadrada de número inteiro negativo)

d) (observe que neste caso o menos está fora da raiz, sendo assim existe a raiz)

e) (lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8) Neste caso é raiz cúbica e não raiz quadrada.

d) (lembre-se (2) x (2) x (2) = 8)

Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros

a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)] = - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6] = 3 - 2 + 4 - 5 - 6 = 7 - 13 = - 6

Primeiro eliminamos os parênteses, como antes dele tinha um sinal de menos todos os números saíram com sinais trocados, logo depois eliminamos os colchetes, como também tinha um sinal de menos todos os números saíram com os sinais trocados, somamos os positivo e o negativos

b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]} = {- 5 - 8 + 15 - 3} = - 5 - 8 + 15 - 3 = - 16 + 15 = - 1

Primeiro resolvemos dentro do parênteses, depois multiplicamos o resultado por 3, logo após eliminamos os colchetes, como antes deste tinha um sinal de mais, todo os números saíram sem trocar sinal, eliminamos também as chaves, observe que também não teve troca de sinais pelo mesmo motivo anterior, juntamos positivo e negativos.

Conjuntos numéricos: racionais e reais

Conjunto

Conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.

Relação de pertinência

Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x 0 A , onde o símbolo 0 significa "pertence

a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y A. O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por φ. Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos:

i= { x; x ≠ x} e U = {x; x = x}.

Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que

A é subconjunto de B e indicamos isto por A d B.

Notas:

a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A d A )

b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (id A)

c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A).

TIPOS REPRESENTAÇÃO_ OBSERVAÇÃO

INTERVALO FECHADO

[p;q] = {x 0 R; p ≤ x ≤ q} inclui os limites p e q

INTERVALO ABERTO (p;q) = { x 0 R; p < x < q}

exclui os limites p e q

INTERVALO FECHADO A ESQUERDA [p;q) = { x 0 R; p ≤ x < q} inclui p e exclui q

INTERVALO FECHADO À DIREIT (p;q] = {x 0 R; p < x ≤ q}

exclui p e inclui q

INTERVALO SEMI-FECHAD [p;∞ ) = {x 0 R; x ≥ p} valores maiores ou iguais a p.

INTERVALO SEMI-FECHADO (- ∞ ; q] = { x 0 R; x ≤ q}

valores menores ou iguais a q.

INTERVALO SEMI-ABERTO (-∞ ; q) = { x 0 R; x < q} valores menores do que q.

INTERVALO SEMI-ABERTO (p; ∞ ) = { x > p } valores maiores do que p.

Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -∞ ; + ∞ ).

Operações com conjuntos

União ( c )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A c B = { x; x 0 A ou x 0 B}.

Exemplo: {0,1,3} c { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união

contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.

Propriedades imediatas:

a) A c A = A

b) A c φ = A

c) A c B = B c A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)

d) A c U = U , onde U é o conjunto universo.

Interseção ( 1 )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A 1 B = {x; x 0 A e x 0 B}.

Exemplo: {0,2,4,5} 1 { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção

contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

Propriedades imediatas:

a) A 1 A = A

b) A 1 i = i

c) A 1 B = B 1 A ( a interseção é uma operação comutativa)

d) A 1 U = A onde U é o conjunto universo.

São importantes também as seguintes propriedades :

P1. A 1 ( B c C ) = (A 1 B) c ( A 1 C) (propriedade distributiva)

P2. A c ( B 1 C ) = (A c B ) 1 ( A c C) (propriedade distributiva)

P3. A 1 (A c B) = A (lei da absorção)

P4. A c (A 1 B) = A (lei da absorção)

Obs: Se A 1 B = φ , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.

Diferença A - B = {x ; x 0 A e x ó B}.

Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.

Propriedades imediatas: a) A - φ = A b) φ - A = φ c) A - A = d) A - B ≠ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

Complementar de um conjunto

Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois

conjuntos A e B, com a condição de que B d^ A , a diferença A - B chama-se, neste caso,

complementar de B em relação a A. Simbologia: CAB = A - B. Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:

B' = {x; x ó B}. É óbvio, então, que:

a) B 1 B' = φ

b) B 1 B' = U

c) φ' = U d) U' = φ_

Partição de um conjunto

Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A) ), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio. 2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A. Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio

• Ø. Assim, o conjunto das partes de A será: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} } Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X é Ø.

b) {2} 1 {3, 5}ó = Ø

c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A. Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...}  {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N.

5. • Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e)
6. • Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

7. PUC-SP - Se A = e B = { }, então:

a) A 0 B

b) A c B = i

c) A = B

d) A 1 B = B

e) B d A

8. FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A 1 B é 30, o

número de elementos de A 1 C é 20 e o número de elementos de A 1 B 1 C é 15.

Então o número de elementos de A 1 (B c C) é igual a:

a) b) c) d) e)

9. Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são: a)2 ou 5 b)3 ou 6 c)1 ou 5 d)2 ou 6 e)4 ou 5

RESULTADO

1. c 2) a 3) a 4) c 5) e 6) a 7) a 8) a 9) a

Divisibilidade

Critérios de divisibilidade São critérios que nos permite verificar se um número é divisível por outro sem precisarmos efetuar grandes divisões.

Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos : 8490 é divisível por 2, pois termina em 0. 895 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 870 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 8+7+0=15, como 15 é divisível por 3, então 870 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 9500 é divisível por 4, pois termina em 00. 6532 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4. 836 é divisível por 4, pois 36 é divisível por 4. 9870 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 70 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 425 é divisível por 5, pois termina em 5. 78960 é divisível por 5, pois termina em 0. 976 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 942 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 6456 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 984 não é divisível por 6, é divisível por 2, mas não é divisível por 3. 357 não é divisível por 6, é divisível por 3, mas não é divisível por 2.

Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: 2000 é divisível por 8, pois termina em 000. 98120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8. 98112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 78341 não é divisível por 8, pois 341 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 6192 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 6+1+9+2=18, e como 18 é divisível por 9, então 6192 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 8970 é divisível por 10, pois termina em 0. 5987 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. Exemplos: 87549 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si - Sp = 22 - 11 = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11. 439087 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10

Determinação dos divisores de um número Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 72: 1º Fatoramos o número 72. 2º Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número. 3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo. 4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. Então o conjunto dos divisores de 72 = {1,2,3,4,6,8,9,12,18,36,72}

Máximo Divisor Comum (mdc)

O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos (números diferentes de zero) é o maior número que é divisor ao mesmo tempo de todos eles.

Não vamos aqui ensinar todos as formas de se calcular o mdc, vamos nos ater apenas a algumas delas.

Regra das divisões sucessivas

Esta regra é bem prática para o calculo do mdc, observe:

Exemplo: Vamos calcular o mdc entre os números 160 e 24.

1º: Dividimos o número maior pelo menor. 2º: Como não deu resto zero, dividimos o divisor pelo resto da divisão anterior. 3º: Prosseguimos com as divisões sucessivas até obter resto zero.

O mdc (64; 160) = 32 Para calcular o mdc entre três ou mais números, devemos coloca-los em ordem decrescente e começamos a calcular o mdc dos dois primeiros. Depois, o mdc do resultado encontrado e o terceiro número dado. E assim por diante. Exemplo: Vamos calcular o mdc entre os números 18, 36 e 63.

Observe que primeiro calculamos o mdc entre os números 36 e 18, cujo mdc é 18, depois calculamos o mdc entre os números 63 e 18(mdc entre 36 e 18). O mdc (18; 36; 63) = 9.

Regra da decomposição simultânea

Escrevemos os números dados, separamos uns dos outros por vírgulas, e colocamos um traço vertical ao lado do último. No outro lado do traço colocamos o menor dos fatores primos que for divisor de todos os números de uma só vês. O mdc será a multiplicação dos fatores primos que serão usados. Exemplos: mdc (80; 40; 72; 124) mdc (12; 64)

Propriedade: Observe o mdc (4, 12, 20), o mdc entre estes números é 4. Você deve notar que 4 é divisor de 12, 20 e dele mesmo. Exemplo mdc (9, 18, 27) = 9, note que 9 é divisor de 18 e 27. mdc (12, 48, 144) = 12, note que 12 é divisor de 48 e 144.

Mínimo Múltiplo Comum (mmc)

O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais não nulos(números diferente de zero), é o menor número que múltiplo de todos eles.

Regra da decomposição simultânea

depois dividindo-se 12 por 4 e multiplicando-se por 3 temos

Multiplicação

Multiplica-se os numeradores e os denominadores obtendo-se assim o resultado. É importante observar se o resultado da multiplicação não pode ser simplificado ( dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número) , normalmente isso é possível e evita que se faça operações com números muito grandes :

simplificando por 3 temos como resultado

Divisão

Deve-se multiplicar a primeira pelo inverso da segunda simplificando por 2 ficamos

com

Expressões

Quando se resolve expressões numéricas devemos observar o seguinte:

a. Deve-se obedecer a seguinte prioridade de operação: 1º - multiplicação e divisão na ordem em que aparecer 2º - soma e subtração na ordem em que aparecer

b. Deve-se primeiro resolver as operação dentro do parênteses, depois do colchete e por fim da chave, e dentro de cada separador obedecer as regras do item a

Exemplos:

resolva a operação que esta dentro do parenteses :

mmc(2,3) = 6

Primeiro os parênteses, e no segundo parênteses primeiro a multiplicação

Números Fracionários

Frações

Será representado em nossa apostila da seguinte forma: a/b

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos:

a/b de fração; a de numerador; b de denominador.

Se a é múltiplo de b , então a/b é um número natural.

Veja um exemplo:

A fração 12/3 é igual a 12:3. Neste caso, 12 é o numerador e 3 é o denominador. Efetuando a divisão de 12 por 3, obtemos o quociente 4. Assim, 12/3 é um número natural e 12 é múltiplo de 3. Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

O significado de uma fração

Algumas vezes, a/b é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de a/b?

Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas , conforme nosso interesse.

Exemplo: Michele comeu 4/7 de um bolo. Isso significa que o bolo foi dividido em 7 partes iguais, Aline teria comido 4 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Aline, e a parte branca é a parte que sobrou do bolo.

Como se lê uma fração

As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...

1/2 um meio 2/5 Dois quintos 1/3 um terço 4/7 quatro sétimos 1/4 um quarto 7/8 sete oitavos 1/5 um quinto 12/9 doze nonos 1/6 um sexto 1/10 um décimo 1/7 um sétimo 1/100 um centésimo 1/8 um oitavo 1/1000 um milésimo 1/9 um nono 5/1000 Cinco milésimos

Frações Próprias

São frações que representam uma quantidade menor que o inteiro, ou seja representa parte do inteiro. Exemplos:

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Exemplos:

2º Caso

Denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, devemos reduzir as frações ao menor denominador comum e, em seguida, adicionar ou subtrair as frações equivalentes às frações dadas. Para obtermos estas frações equivalentes determinamos m.m.c entre os denominadores destas frações.

Exemplo: Vamos somar as frações.

Obtendo o m.m.c dos denominadores temos m.m.c(4,6) = 12.

12 : 4 = 3 e 3 x 5 = 15 12 : 6 = 2 e 2 x 1 = 2

Multiplicação e Divisão de Frações

Multiplicação

1º Caso

Multiplicando um número natural por uma fração

Na multiplicação de um número natural por uma fração, multiplicamos o número natural pelo numerador da fração e conservamos o denominador. Exemplos:

Multiplicando Fração por Fração

Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador. Exemplos:

(o resultado foi simplificado)

Divisão

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplos:

Potenciação e radiciação de números fracionários

Potenciação

Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente: Exemplos:

Radiciação

Na radiciação, quando aplicamos a raiz a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador: Exemplos:

Fracao geratriz

Conforme você já estudou, todo número racional (Conjunto Q), resulta da divisão de dois número inteiros, a divisão pode resultar em um número inteiro ou decimal.

Convém lembrar que temos decimais exato. Exemplo: 2,45; 0,256; 12,5689; 12,

Temos também decimais não exato (dízima periódica) Exemplo: 2,555555.... ; 45,252525....; 0,123123123...; 456,12454545; 7,4689999....

Você deve saber, que em uma dízima periódica a parte decimal que repete, recebe o nome de período , a parte que não repete é chamada de ante-período , a parte não decimal é a parte inteira.

Exemplo: Dízima periódica composta Dízima periódica simples

Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica Dízima periódica simples: Devemos adicionar a parte decimal à parte inteira. Devemos lembra que a parte decimal será transformada em uma fração cujo numerador é o período da dízima e o denominador é um número formado por tantos noves quantos sãos os algarismos do período. Exemplos:

Dízima periódica composta

Devemos adicionar à parte inteira uma fração cujo numerador é formado pelo ante-período, seguindo de um período, menos o ante-período, e cujo denominador é formado de tantos noves quantos são os algarismos do período seguidos de tantos zeros quanto são os algarismos do ante-período. Exemplos: