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DETERMINAÇÃO DA DEFLEXÃO DE UMA VIGA ATRAVÉS DO MÉTODO DE RUNGE-KUTTA Leonan Patrick dos Santos Silva, Filipe Lima dos Santos
Resumo: As análises sobre estruturas, especificamente das vigas, possuem grande relevância, considerando o fato de que elas estão presentes em quase todas as edificações, a partir disso, as vigas devem ser determinadas conforme aos esforços e condições de uso a qual as mesmas estarão sujeitas. O objetivo deste trabalho é mostrar equação da linha elástica provinda de um estudo de equações diferenciais e apresentar o método numérico de Runge-Kutta, como forma alternativa de encontrar as deflexões, realizando uma comparação dos valores obtidos dos métodos analítico e numérico, para garantir a convergência do mesmo. No presente trabalho teve-se o auxílio de programas computacionais como o Excel® e MATLAB®, para a realização e aplicação do método, tendo como base todos os conhecimentos adquiridos no decorrer da pesquisa. Este estudo trará um enfoque especial a aplicação do método de Runge-Kutta na deflexão, evidenciando a convergência para a viga bi apoiada e erros obtidos na viga engastada, além de esclarecer as futuras fontes de erro. Palavras-chave: Deflexão de viga, Runge-Kutta, Diferencial.
1. INTRODUÇÃO
A determinação da deflexão máxima sofrida por uma viga quando submetida a um determinado carregamento é de suma importância, uma vez que esta é tomada como um valor máximo admissível no momento da realização do protejo de uma viga [4]. Para a caracterização e determinação das deflexões suportadas por uma viga, deve-se anteriormente definir a equação diferencial que rege a linha elástica. Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de equação diferencial (ED) [3]. O resultado para tal equação e para as deflexões sofridas pela viga, podem ser encontrados de diversas maneiras, dentre os quais está o método de Runge-Kutta, o qual foi escolhido para ser utilizado no presente trabalho. Segundo [7], podemos dizer que os métodos de Runge-Kutta de ordem 𝑝 se caracterizam pelas três propriedades: São de passo um; Não exigem o cálculo de qualquer derivada de 𝑓(𝑥, 𝑦); pagam, por isso, o preço de calcular 𝑓(𝑥, 𝑦) em vários pontos; Após expandir 𝑓(𝑥, 𝑦) por Taylor para função de duas variáveis em torno de (𝑥𝑛, 𝑦𝑛) e agrupar os termos semelhantes, sua expressão coincide com a do método de série de Taylor de mesma ordem; O dispositivo clássico de Runge-Kutta sofre dos mesmos defeitos que outros métodos com tamanho de passo fixo possuem para problemas onde o erro de truncamento local varia muito no intervalo de interesse, ou seja, um passo suficientemente pequeno para obter precisão satisfatória [5]. O mesmo tem a finalidade de corroborar com a precisão dos valores quando empregado a equação diferencial da linha elástica, em comparação aos apresentados pela resolução analítica. Ao utilizar uma EDO no cálculo de vigas para determinar a equação da curva de deflexão, aplica-se um problema de valor inicial, possibilitando encontrar deflexões em pontos específicos ao longo do eixo da viga e podendo assim mostrar quais os pontos de deflexão máxima. Com base no que foi exposto, o presente trabalho tem como objetivo empregar o dispositivo numérico como forma de solucionar as deflexões por meio da equação da linha elástica resultantes da formulação de uma EDO. Para tanto, será feito uma análise gráfica e numérica utilizando um método comparativo entre os resultados obtidos, levando em consideração o erro absoluto entre ambos. A simulação da modelagem será realizada por meio de disparo linear, com 20 subintervalos pré-definidos ao longo da viga. O algoritmo será feito no MATLAB. Para a resolução da deflexão, foi escolhido realizar uma relação referente ao tamanho do passo ℎ, estabelecida pela razão entre o comprimento da viga, e o número de subintervalos.
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO - UFERSA CURSO DE BACHARELADO INTERDISCIPLINAR EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA Trabalho de Conclusão de Curso (2018.2).
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2. DESENVOLVIMENTO
As equações diferenciais apresentam uma gama de aplicações na modelagem de diversas questões matemáticas, dentre as quais estão contidos problemas referente à: Fenômeno dos transportes, mecânica dos fluídos, termodinâmica, além de outras áreas do conhecimento em que estas equações se fazem presente na resolução
2.1 Referencial Teórico
Neste tópico será abordado os conceitos de equação diferencial ordinária, deflexão de vigas e o método numérico de Runge-Kutta.
2.1.1 Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem
Uma equação é dita como diferencial quando tem-se uma equação que apresenta derivadas de uma função desconhecida (a incógnita da equação). Se 𝒚 é uma função de 𝒙, e n é um número inteiro positivo , então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva 𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛)^ é chamada uma equação diferencial de ordem n [5]. Sabendo disso, pode-se classificar uma ED como ordinária quando a equação contém apenas derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, assim para poder definir a ordem da equação, basta observar qual a maior ordem da mesma [3]. Com o intuito de encontrar respostas para as equações diferenciais de segunda ordem, alguns critérios de extrema relevância devem ser considerados, (PVC) e (PVI), problema de valor de contorno e problema de valor inicial, respectivamente. Em geral, nos problemas procura-se uma solução 𝑦(𝑥) para uma ED de modo que 𝑦(𝑥) satisfaça as condições de contorno impostas a função desconhecida e suas respectivas derivadas no ponto 𝑥 0 em um intervalo 𝐼 contendo 𝑥 0. Dessa forma, sujeito as condições de contorno especificadas em 𝑥 0 , teremos: 𝑑^2 𝑦 𝑑𝑥^2 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦
Sujeito a: 𝑦(𝑥 0 ) = 𝑦 0 , 𝑦′(𝑥 0 ) = 𝑦 1 Onde 𝑦 0 e 𝑦 1 são constantes reais especificadas. Esse tipo de evento é chamado de (PVI) problema de valor inicial, além dos valores de 𝑦(𝑥) e sua derivada em um único ponto, chama-se de condições iniciais [3]. Um outro fator também a ser citado é a consistência em resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem em pontos diferentes, assim temos:
𝑎 2 (𝑥) 𝑑
𝑑𝑥^2 + 𝑎^1 (𝑥)
𝑑𝑥 + 𝑎^0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
Sujeito a: 𝑦(𝑎) = 𝑦 0 , 𝑦(𝑏) = 𝑦 1 Chama-se este tipo de problema como (PVC) problema de valor de contorno e os valores prescritos a qual a ED está submetida [3]. Existem vários métodos de resolução de EDO, assim, visando aplicar um método de integração direta para simplificar as equações, aplicaremos o método de variáveis separáveis, que consiste em integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução que se apresenta da seguinte forma: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) 𝑑𝑦 ℎ(𝑦) = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
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Realizando uma análise da figura 3, tendo como base os pontos 𝑚 1 𝑒 𝑚 2 , é possível concluir que 𝜌 é o raio de curvatura. Iremos levar em consideração que 𝑑𝜃 possui um valor muito pequeno e matematicamente 𝑡𝑔 𝜃 ≈ 𝜃, temos que, de acordo com as relações trigonométricas, 𝑑𝑠 = 𝜌 𝑑𝜃. Conhecendo a distância entre 𝑚 1 𝑒 𝑚 2 que é demarcada por 𝑑𝑠 e 𝑑𝜃 é o aumento do ângulo entre eles, assim definimos a curvatura como sendo:
Como rotineiramente trabalha-se com estruturas, é verídico que teremos algumas variações mesmo que pequenas, com ângulos de rotação muito pequenos, e dessa forma podemos utilizar o argumento de que: 𝑑𝑠 ≈ 𝑑𝑥 ⇒ cos(𝜃) = 1 (4) Se consideramos que a distância horizontal entre 𝑚 1 𝑒 𝑚 2 é o diferencial 𝑑𝑥, cuja a distância inclinada é 𝑑𝑠, assim a curvatura fica:
Após analisar a equação descrita, concluímos que a curvatura expressa a taxa de variação da inclinação da 𝑡𝑔 a uma determinada curva que se relaciona ao comprimento do arco. Perceba que quando tem-se um 𝜃 muito pequeno, como no caso abordado, pode-se considerar 𝑡𝑔 𝜃 ≈ 𝜃, assim teríamos a seguinte relação:
Dessa forma, resta apenas derivar a equação (5) em relação a 𝑥 para conseguir relacionar com a curvatura (5), teremos: 𝑑𝜃
𝑑𝑥 = 𝑘 =^
1
𝜌 =^
𝑑^2 𝑣 𝑑𝑥^2 (7) É válido salientar que, essa expressão tem reconhecimento para uma viga de qualquer material, com uma exclusiva condição, de que as rotações sejam pequenas. Levaremos em consideração que o material tem obediência a lei de Hooke, ou seja, apresenta uma deformação elástica e linear. Com isso, temos uma equação da curvatura representada por:
Na equação (8), pode-se destacar a equação de momento fletor, representado pela letra 𝑀, sendo dividido pelo módulo de elasticidade 𝐸 e pelo momento de inércia da viga 𝐼. Assim, se igualarmos as equações (7) e (8), resultamos na seguinte equação: 𝒅𝟐𝒗
𝒅𝒙𝟐^ =^
𝑴(𝒙) 𝑬𝑰 (9) Essa equação acima representa a equação diferencial da curva de deflexão de uma viga. Essa equação pode ser integrada nos casos específicos em que se deseja encontrar a deflexão 𝑣, desde que o momento fletor 𝑀 e a rigidez de flexão 𝐸𝐼 [1], sejam funções conhecidas de 𝑥. Um outro aspecto muito importante que deve ser citado, são as conversões de sinal que devem ser utilizadas ,tendo em vista as equações precedentes. Segundo [2], consideramos que: Os eixos 𝑥 𝑒 𝑦 são positivos para a direita e para cima, respectivamente; A deflexão 𝑣 é positiva para cima; A curvatura 𝑘 é positiva quando a viga é fletida côncava para cima;
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A inclinação 𝑑𝑣𝑑𝑥 e o ângulo de rotação 𝜃 são positivos quando são anti-horários, com relação ao eixo 𝑥 positivo; O momento fletor 𝑀 é positivo quando produz compressão na parte superior da viga;
Figura 4: Convenções de sinais para momento fletor 𝑀, a forças de cisalhamento 𝑉e intensidade 𝑞 [2].
A partir da equação de número (9), fazendo uso do método da integração, é possível obter as equações da inclinação na primeira integração, e na sequência, na segunda integração, obter a deflexão da viga. Visando a obtenção do equacionamento, faz-se necessário ter conhecimento sobre as condições de contorno para cada tipo de apoio a que a viga está sujeita, como mostra a figura 4:
Figura 5: Condições de contorno em relação ao tipo de apoio [1]. Conforme o que foi visto na figura 5, podemos perceber que, os apoios que resistem a aplicação de uma força, como o pino, restringem o deslocamento, e os apoios que resistem a um momento, podendo ser um engaste ou uma parede fixa, irão restringir a rotação ou a inclinação, bem como deslocamento[1].
2.1.3 Método Numérico de Runge-Kutta de 4º ordem
Os métodos de Runge-Kutta tiverem a sua formulação desenvolvida por dois indivíduos alemães que atuaram arduamente na criação do método, Carl Runge (1856-1927) e Wilhelm Kutta (1867-1944). A grosso modo, a ideia se restringe em aproveitar as vantagens que são apresentadas nos métodos de serie de Taylor, e, simultaneamente, suprimindo a desvantagem dos mesmos, no qual consiste no cálculo de derivadas de 𝑓(𝑥, 𝑦) que, acaba inviabilizando os métodos de serie de Taylor de se resolver computacionalmente [7].
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possui um momento de inércia igual a 1 , 71 𝑥 10 −^5 𝑚^4. O módulo de elasticidade, segundo [1] na tabela de propriedades mecânicas de materiais típicos de engenharia, é informado como sendo 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎, adotando-se de um carregamento distribuído 𝑞 = 20 𝑘𝑁/𝑚 e um vão de 𝐿 = 5 𝑚. Segundamente, após ter definido algumas variáveis importantes do problema que será abordado, além de constar também a determinação das condições de carga em que o elemento estrutural está submetido e o gênero dos apoios. De acordo com as condições teóricas estabelecidas previamente, tornando possível a determinação da equação diferencial da linha elástica, que corresponde ao modelo de viga adotado abaixo:
Figura 7 : Viga bi apoiada com apoios de 1º e 2º gênero [2].
A partir do modelo de viga definido foi encontrada a equação geral da deflexão para o sistema abordado na equação (15). A princípio, partindo das equações da linha elástica, foram encontradas as forças de reações nos apoios, da figura 7, e seguidamente feito um corte transversal na seção da estrutura, para se calcular os esforços internos e após isso realizar a análise de acordo com a equação da deflexão (1).
𝟑
𝟏𝟐 −^
𝒙𝟒
𝟐𝟒 −^
𝑳𝟑𝒙
𝟐𝟒 )^ (15)
VIGA ENGASTADA:
Para o presente caso, procurou-se determinar o modelo de viga e o material da mesma, visando viabilizar e facilitar o estudo do mesmo. Foi seguido o seguinte modelo aço estrutural ASTM A36 e de perfil 𝑊 250 𝑥 28 no qual o mesmo possui um momento de inércia igual a 3 , 99 𝑥 10 −^5 𝑚^4. O módulo de elasticidade, segundo [1] na tabela de propriedades mecânicas de materiais típicos de engenharia, é informado como sendo 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎, adotando-se de uma carga pontual localizada a 4 𝑚 do engaste P= 8 𝑘𝑁 e um vão de 𝐿 = 4 𝑚.
Figura 8: Viga engastada[2]. Para o engaste utilizou-se o mesmo processo realizado pela viga bi apoiada, partindo das equações da linha elástica, foram encontradas as forças de reações no engaste, que é um apoio de 3º gênero, e seguidamente ao
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corte da seção analisada, encontrando os esforços internos e a equação da curva de deflexão apresentada na equação (16).
𝟑
𝟔 −^
𝑴𝒂𝒙𝟐
𝟐 )^ (16)
Método de Runge-Kutta:
Visando a obtenção dos resultados de deflexão das forças atuantes no eixo longitudinal da viga, foi aplicado o método de Runge-Kutta de quarta ordem, onde definiu-se algumas variáveis para efetuar o cálculo numérico. Definindo um passo ℎ, inversamente proporcional a precisão da solução encontrada, obtém-se um resultado 𝑦 para um valor de 𝑥 em 𝑛 iterações. Para os modelos de viga escolhidos, definiu-se utilizar para a viga bi apoiada, um determinado 𝑥, que pertença ao intervalo de 0 ≤ 𝑥 ≤ 5, com um passo ℎ = 0,25. Já para o engaste, teremos um determinado 𝑥, que pertença ao intervalo de 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, com um passo de ℎ = 0,20. Como visto na equação (14), devem ser efetuados quatro cálculos, para cada iteração, resultando em um desenvolvimento muito extenso por haver um número grande de iterações necessárias. Utilizou-se o MATLAB® como ferramenta para a idealização do algoritmo disponível no anexo [1] e [2], para os respectivos casos, e o mesmo para a realização das iterações do método numérico. Abaixo temos a apresentação de um fluxograma ilustrando o que ocorre na aplicação do dispositivo de Runge-Kutta.
Figura 9: Fluxograma da execução de Runge-Kutta (Autoria Própria).
2.3 Resultados e Discussões
No presente tópico será apresentado e discutido as soluções encontradas na aplicação de ambos os métodos citados anteriormente. A fim de se obter os valores de deflexão sofridos no eixo longitudinal da viga, por meio do método analítico e pelo incremento de Runge-Kutta na solução.
2.3.1 Deflexões da viga Bi apoiada Analiticamente e com Runge-Kutta
Realizadas as iterações para encontrar as deflexões utilizando a forma analítica, expressamos o gráfico da deflexão, onde é possível observar a deflexão máxima ao longo da viga. Nela está a representação da aplicação dos comprimento de 𝑥, acrescidos do passo ℎ, realizado em 20 subintervalos.
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2.3.2 Deflexões para uma viga engastada
Analisando o processo de forma análoga ao item anterior tem-se a expressão gráfica para o modelo de viga abordado, utilizando um passo ℎ = 0,20, para o mesmo número de subintervalos.
Gráfico 3: Linha elástica representando as deflexões ao longo do eixo da viga (Autoria Própria). O gráfico 3 apresenta o resultado da deflexão máxima proporcionada pela aplicação da carga pontual, no ponto 𝐿 = 4 𝑚. Ciente das condições iniciais estabelecidas, obteve-se o valor de 𝑣 = 0,021387 𝑚, representando a deflexão máxima produzida pela força no engaste.
Gráfico 4: Linha elástica representando as deflexões ao longo do eixo da viga (Autoria própria). De forma análoga a viga bi apoiada, utilizou-se a equação da declividade para aplicar no dispositivo. No gráfico 4, não é de fácil observação que o resultado não convergiu para o esperado, porém se for analisado o seu comportamento nota-se que a desenvoltura é similar a resolução analítica, porém apresentando um erro absoluto significativo numa margem de 3,38%. O dispositivo apresenta uma deflexão máxima no ponto 𝑥 = 4 𝑚, com o resultado de 𝑣 = 0,018001 𝑚. Podemos observar pela comparação dos métodos, uma dispersão dos valores quando é calculado um passo mais próximo de onde a carga está sendo aplicada.
0,
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0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,
Deflexões (m)
Comprimento(m)
Deflexão da viga Engastada
Curva da Deflexão
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,
Deflexão (m)
Comprimento (m)
Deflexão da viga engastada com o incremento
de Runge-Kutta
Curva de Deflexão
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Gráfico 5: Dispersão dos Resultados das Deflexões (Autoria Própria). O gráfico 5 expressa uma futura fonte de erros, estima-se que é devido ao fato do método apresentar um tamanho de passo fixo para problemas onde o erro de truncamento local varia muito no intervalo de interesse, ou seja, para uma melhor obtenção de resultados que mostrassem maior precisão seria necessário utilizar um passo menor do que o utilizado em questão. É preferível que neste tipo de aplicação seja realizado uma análise da iteração entre o resultado obtido, o tamanho do passo e o tempo gasto para realizar as operações, visando sempre o objetivo do problema e a sua relevância.
3. CONCLUSÕES
Através do estudo realizado foi possível constatar que o método de Runge-Kutta em problemas que envolvem a obtenção de deflexões em vigas por meio da equação diferencial da linha elástica se apresenta como uma ferramenta prática e eficaz, quanto a sua execução, mostrando sua capacidade em modelar problemas que envolvam estruturas. Como observado no tópico anterior, as soluções dos deslocamentos verticais (𝑦) apresentam variações muito pequenas, na ordem de milímetros, mostrando que é possível aplicar o dispositivo, considerando as circunstancias que estão sobre análise. Para fins demonstrativos, o caso estudado é considerado simples, no entanto, na atuação de carregamentos mais complexos, ou até mesmo uma viga que possua uma estrutura com geometria não uniforme, pode-se obter equações com o auxílio do software. Por fim, métodos como o de Runge- Kutta podem ser aplicados, caso tenha uma equação diferencial de primeira ordem ou ordem superior. No problema em questão optou-se por simplificar a resolução numérica, proporcionando uma fácil resolução.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] HIBBELER, Russel Charles. Resistência dos Materiais. 7. Ed. São Paulo. Pearson Prentice Hall, 2010. [2] GERE, J. M.; Mecânica dos Materiais. 6. Ed. São Paulo. Editora Thomson Learning, 2003. [3] ZILL, D. G.; Equações Diferenciais com aplicações em modelagem. 10ª Ed. – São Paulo: Cengage Learning,
[4] BEER, F. P. et al.; Mecânica dos Materiais. 5ª Ed. – São Paulo: AMGH Editora LTDA, 2008. [5] BOYCE, W. E. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. [6] TREFETHEN, L. N. Branches of Mathematics: Numerical Analysis. In: GOWERS, T.; BARROWGREEN, J.; LEADER, I. (Eds). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press, 2010. p. 604-615. [7] RUGGIERO, Márcia A. G.;LOPES, Vera L. R.. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2ª ed. Makron. 1997.
ANEXOS
[1] https://drive.google.com/open?id=1Oua9f6P_hsa85uIkM141IRSLrgIjMm6i [2] https://drive.google.com/open?id=1b57-Uv1MGupdOfsUqR1vqm3fPtUVFEE
-0,
0,
0,
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0,
0,
0,
0,
0,
0,
0 5 10 15 20 25
Disperção das Deflexões (m)
nº de subintervalos
Erro Absoluto
