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An´alise Real I - 2025.

Notas de Aula

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Notas de aula do curso de An´alise Real I ministrado em 2025.1 na gradua¸c˜ao em matem´atica da UFABC.

Para mais conte´udos, acesse: https://sites.google.com/view/amatematicarecreativa

4 CHAPTER 1. ESPAC¸ O M ETRICO E PONTO DE ACUMULAC´ ¸ AO˜

1.2 Defini¸c˜ao (M´etrica)

Uma m´etrica num conjunto n˜ao-vazio M ´e uma fun¸c˜ao d : M × M → R tal que para todo x, y, z ∈ M : (1) Simetria: d(x, y) = d(y, x); (2) N˜ao-negatividade: d(x, y) ≥ 0; (3) Distin¸c˜ao: d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y; (4) Desigualdade triangular: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). O par (M, d) ´e dito um espa¸co m´etrico.

▲ (1.2.1) Coment´arios: (i) Observe que a defini¸c˜ao de norma foi feita para um espa¸co vetorial, enquanto a defini¸c˜ao de m´etrica foi feita para um conjunto qualquer. Isso porque m´etrica ´e uma defini¸c˜ao muito mais gen´erica do que norma, n˜ao precisamos estar num espa¸co linear(vetorial) para falar de distˆancia, mas ´e claro que podemos falar de distˆancia num espa¸co linear (ou seja, atrav´es de uma norma num espa¸co linear podemos construir uma no¸c˜ao de distˆancia, mas n˜ao necessari- amente uma no¸c˜ao de distˆancia precisa estar associada a uma norma ou a um espa¸co linear). (ii) A propriedade (3) nos d´a que dois pontos distintos n˜ao podem ter uma distˆancia nula entre

si, ou seja, sempre podemos distinguir dois pontos atrav´es da m´etrica. As vezes ´` e interessante remover essa propriedade, resultando no que chamamos de uma pseudom´etrica, ou seja, uma fun¸c˜ao que satisfaz apenas (1), (2) e (4) na defini¸c˜ao acima.

▲ (1.2.2) Exemplos: (i) m´etrica usual ou euclideana: Em Rn, definimos d(x, y) =

p (x 1 − y 1 ) + ... + (xn − yn)^2. (ii) m´etrica trivial : Num conjunto n˜ao-vazio M , podemos definir a seguinte m´etrica:

d(x, y) =

1 , caso x ̸= y 0 , caso x = y

. (iii) m´etrica de normaliza¸c˜ao: Seja (M, d) um m´etrico. Podemos definir uma segunda m´etrica

d′^ baseada na m´etrica d da seguinte forma: d′(x, y) = (^) 1+d(dx,y(x,y)).

(iv) m´etrica da norma: Seja V um espa¸co vetorial normado. Ent˜ao d(x, y) = ∥x − y∥ define uma m´etrica. (v) Seja Σ um conjunto com k elementos. Vamos chamar cada um dos elementos de Σ de um s´ımbolo e considerar as fun¸c˜oes do tipo f : N → Σ, cada fun¸c˜ao dessas ´e uma sequˆencia onde cada elemento pode assumir k s´ımbolos, ou seja, (si)∞ i=1, onde si ∈ Σ. No conjunto de todas essas sequˆencias podemos definir a seguinte m´etrica:

d(x, y) =

X^ ∞

i=

δi 2 i^

, onde δi =

1 , caso xi ̸= yi 0 , caso xi = yi

.

▲ (1.2.3) Exerc´ıcio: (i) Prove que cada m´etrica acima ´e de fato uma m´etrica, ou seja, satisfazem as propriedades da defini¸c˜ao (1.2). Em particular, observe que no caso (iv) ´e necess´ario provar que a s´erie

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que define a distˆancia ´e sempre convergente, isso porque existe uma condi¸c˜ao impl´ıcita na defini¸c˜ao de m´etrica que exige que a distˆancia entre dois pontos seja sempre finita, pois note que a m´etrica foi definida como uma fun¸c˜ao M → R, ou seja, a imagem est´a no conjunto R, portanto deve ser um n´umero real e n˜ao podemos ter d(x, y) = ∞.

1.3 Defini¸c˜ao (Bola aberta)

Seja (M, d) um espa¸co m´etrico, p ∈ M e ϵ > 0 um n´umero real. A bola aberta de centro p e raio ϵ ´e o conjunto: Bϵ(p) := {x ∈ M : d(x, p) < ϵ} A bola fechada de centro p e raio ϵ ´e o conjunto: Fϵ(p) := {x ∈ M : d(x, p) ≤ ϵ} A esfera de centro p e raio ϵ ´e o conjunto: Sϵ(p) := {x ∈ M : d(x, p) = ϵ}

▲ (1.3.1) O conceito de bola aberta ´e essencialmente de espa¸cos m´etricos, mas existe uma propriedade importante no caso de m´etricas provenientes de normas no caso de espa¸cos vetori- ais normados que ´e a convexidade. Num espa¸co vetorial V , um conjunto X ⊂ V ´e dito convexo se para todo x, y ∈ X e todo λ ∈ ]0, 1[, temos que λx + (1 − λ)y ∈ X. Geometricamente, isso que dizer que qualquer segmento de reta que liga dois pontos do conjunto est´a inteiramente contido no conjunto.

1.4 Proposi¸c˜ao (Convexidade da bola aberta)

Seja V um espa¸co vetorial normado com norma ∥.∥ e d(x, y) a m´etrica proveniente dessa norma. Mostre que toda bola aberta Bϵ(p) em V ´e um conjunto convexo.

Demonstra¸c˜ao: Seja Bϵ(p) uma bola aberta qualquer em V. Queremos mostrar que para todo x, y ∈ Bϵ(p) e todo λ ∈]0, 1[, temos λx + (1 − λ)y ∈ Bϵ(p), ou seja, d(λx + (1 − λ)y, p) < ϵ. De fato,

d(λx + (1 − λ)y, p) = ∥λx + (1 − λ)y − p∥ (pela defini¸c˜ao de m´etrica da norma) = ∥λx + (1 − λ)y − λp − (1 − λ)p∥ (reescrevendo −p = −λp − (1 − λ)p) = ∥λ(x − p) + (1 − λ)(y − p)∥ (agrupando termos) ≤ |λ| ∥(x − p)∥ + |(1 − λ)| ∥(y − p)∥ (desigualdade triangular)

Por fim, basta notar que podemos remover os m´odulos j´a que λ e (1 − λ) s˜ao positivos, e tamb´em que ∥x − p∥ = d(x, p) e ∥y = p∥ = d(y, p) s˜ao ambos menores do que ϵ j´a que x e y pertencem a Bϵ(p) por hip´otese, portanto como λϵ + (1 − λ)ϵ = ϵ temos que ´ultima linha acima ´e menor que ϵ, consequentemente d(λx + (1 − λ)y, p) < ϵ. Logo, λx + (1 − λ)y ∈ Bϵ(p) e a bola aberta ´e convexa.

Aula 2

alguns conceitos topol´ogicos

▼ Nessa aula iremos definir algumas no¸c˜oes elementares da topologia. A grosso modo, a topologia ´e uma forma de estudar geometria sem precisar de uma m´etrica, nesse sentido alguns chamam a topologia de “geometria global”. Essa abordagem ´e particularmente ´util quando estamos lidando com espa¸cos abstratos onde n˜ao seja poss´ıvel construir uma no¸c˜ao ´util de distˆancia. (veja o texto complementar sobre as estruturas da an´alise para mais informa¸c˜oes)

2.1 Defini¸c˜ao (topologia)

Seja X um conjunto n˜ao-vazio. Uma cole¸c˜ao de subconjuntos de X, denotada por τ , ´e chamada de uma topologia sobre X caso satisfa¸ca: (1) ∅, X ∈ τ ; (2) (fechado por uni˜ao arbitr´aria): Seja α ⊂ R um conjunto de ´ındices. Se {Uα} ⊂ τ , ent˜ao

S

α

Uα ∈ τ.

(3) (fechado por interse¸c˜ao finita): Se U 1 , U 2 , ..., Un ∈ τ , ent˜ao

Tn i=

Ui ∈ τ. O par (X, τ ) ´e chamado de espa¸co topol´ogico. Os conjuntos que s˜ao elementos de τ s˜ao chamados de abertos da topologia.

▲ (2.1.1) Coment´arios: (i) A condi¸c˜ao (1) garante que nosso espa¸co topol´ogico tenha uma estrutura m´ınima de abertos. (ii) Na condi¸c˜ao (2) ao tomarmos uma cole¸c˜ao de ´ındices em R, o que estamos dizendo ´e que a uni˜ao pode ser possivelmente n˜ao-enumer´avel. (iii) Quando dizemos que τ ´e uma cole¸c˜ao de subconjuntos, queremos dizer que τ ⊂ P(X), ou seja, um subconjunto do conjunto das partes de X. Cada elemento em τ ´e um subconjunto em X. (veja o texto complementar de revis˜ao na parte de conjuntos caso necess´ario) (iv) Essas propriedades de espa¸co topol´ogico surgem como uma generaliza¸c˜ao das propriedades que a cole¸c˜ao de bolas abertas de um espa¸co m´etrico satisfazem, mas note que na abordagem topol´ogica s´o precisamos falar de conjuntos sem sequer citar uma m´etrica.

▲ (2.1.2) Exemplos: (i) (topologia da m´etrica): Seja (M, d) um espa¸co m´etrico. A cole¸c˜ao de conjuntos abertos na m´etrica d, no sentido da defini¸c˜ao (1.6), forma uma topologia τd. (ii) (topologia discreta): Seja X um conjunto n˜ao-vazio e P(X) o conjunto das partes de X. P(X) ´e a maior topologia sobre X (no sentido que ela cont´em qualquer outra). (iii) (topologia indiscreta): Seja X um conjunto n˜ao-vazio. A cole¸c˜ao {∅, X} ´e a menor topolo- gia sobre X, no sentido de que ela est´a contida em todas as outras. (iv) (topologias cofinita e coenumer´avel): Seja X um conjunto n˜ao-vazio e considere as seguintes cole¸c˜oes: τf = {A ⊂ X : Ac^ = X ou Ac^ ´e finito} e τe = {A ⊂ X : Ac^ = X ou Ac^ ´e enumer´avel}. Essas s˜ao as chamadas topologia cofinita e coenumeravel, respectivamente.

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8 CHAPTER 2. ALGUNS CONCEITOS TOPOL OGICOS´

▲ (2.1.3) Exerc´ıcio: Prove que cada uma das cole¸c˜oes acima de fato gera uma topologia.

▼ Observe que no exemplo (i) em (2.1.2) estamos citando a cole¸c˜ao de conjuntos abertos na m´etrica de d, e n˜ao o conjunto de bolas abertas. N˜ao confunda conjuntos abertos e bolas abertas (veja exerc´ıcio 7 da lista 1). Entretanto, em espa¸cos m´etricos ´e muito mais natural pensarmos no conceito de bolas abertas do que no conceito de abertos, j´a que conjuntos aber- tos podem ter formas totalmente arbitr´arias enquanto que as bolas abertas tˆem uma geometria bem definida de acordo com a m´etrica. De fato, veremos agora um conceito que nos permite pensar uma topologia m´etrica em termos de bolas abertas, ou mais geralmente uma topologia qualquer em termos de elementos fundamentais, similar a rela¸c˜ao que temos entre um espa¸co vetorial e uma base.

2.2 Defini¸c˜ao (Base da topologia)

Seja X um conjunto n˜ao-vazio. Uma cole¸c˜ao B ⊂ P(X) ´e dita uma base para uma topologia caso satisfa¸ca: (1) Para todo x ∈ X, existe B ∈ B tal que x ∈ B. (2) Se x ∈ B 1 ∩B 2 , onde B 1 , B 2 ∈ B, ent˜ao existe B 3 ∈ B tal que x ∈ B 3 e B 3 ⊂ B 1 ∩B 2. Definimos ent˜ao a topologia gerada pela base τB da seguinte forma: Um subconjunto U ⊂ X ´e aberto em τB se para todo x ∈ U , existe B ∈ B tal que x ∈ B e B ⊂ U.

▲ (2.2.1) Coment´arios: (i) A propriedade (1) nos garante que X ⊂ B, ou seja, que B ´e uma cobertura para X (veremos a defini¸c˜ao de cobertura adiante). (ii) A propriedade (2) ´e necess´aria devido a interse¸c˜ao finita de abertos, que precisa ser um aberto pela defini¸c˜ao de topologia, portanto precisamos de B 3 para garantir isso. (iii) Apesar do conjunto de bolas abertas de um espa¸co m´etrico n˜ao ser a topologia do espa¸co m´etrico (pois existem abertos que n˜ao s˜ao bolas), o conjunto de bolas abertas ´e uma base da topologia. Note que a mesma topologia pode ter infinitas bases diferentes, da mesma forma que um espa¸co vetorial tem infinitas bases. Em particular, num espa¸co vetorial finito todas as normas s˜ao equivalentes, portanto elas geram a mesma m´etrica e a mesma topologia. (iv) O processo de construir uma topologia a partir de uma base consiste em fazer todas as uni˜oes arbitr´arias e interse¸c˜oes finitas entre os elementos da base, similar ao espa¸co vetorial onde fazemos todas as combina¸c˜oes lineares poss´ıveis na base para gerar o espa¸co.

▲ (2.2.2) Exemplos: (i) O conjunto de bolas abertas de um espa¸co m´etrico ´e uma base que gera uma topologia. (ii) Em Rn, as bolas abertas das m´etricas euclideana, da soma e do supremo s˜ao bases que geram a mesma topologia. (iii) Em R, a cole¸c˜ao de intervalos abertos ´e uma base da topologia usual.

▼ Recorde do texto complementar 1 o teorema de De Morgan, que estabelece uma rela¸c˜ao entre o complementar de uma uni˜ao e a interse¸c˜ao dos complementares. Isso nos d´a um defini¸c˜ao dual a (2.1) para o caso de fechados, ou seja, o conjunto de fechados de uma topologia ´e fechado por interse¸c˜oes arbitr´arias e e uni˜oes finitas. Entretanto, note que o conceito de

10 CHAPTER 2. ALGUNS CONCEITOS TOPOL OGICOS´

(iii) O conjunto R com a m´etrica usual n˜ao ´e compacto, pois note que nenhuma cobertura aberta de R dada por intervalos abertos limitados pode ter subcobertura finita. Entretanto, R ´e dito um conjunto localmente compacto, isso quer dizer que todos os seus pontos possuem uma vizinhan¸ca compacta, e de fato ´e isso que ir´a importar para n´os futuramente, quando iremos estabelecer muitos dos teoremas cl´assicos da an´alise sobre um dom´ınio compacto [a, b] ⊂ R.

Aula 3

Compacidade

▼ Nessa aula continuamos nossa saga pelos espa¸cos m´etricos e topol´ogicos, com foco no conceito de compacidade e algumas de suas propriedades. Observe que em alguns casos as proposi¸c˜oes ser˜ao enunciadas para espa¸cos topol´ogicos, o que de imediato j´a as torna v´alidas para espa¸cos m´etricos com a topologia da m´etrica, enquanto que outras proposi¸c˜oes s˜ao enun- ciadas para espa¸cos m´etricos, no caso em que s˜ao resultados que n˜ao valem para espa¸cos topol´ogicos gerais (explicaremos mais sobre isso em textos complementares).

3.1 Defini¸c˜ao (subespa¸co m´etrico e aberto de subespa¸co)

Seja (M, d) um espa¸co m´etrico e N ⊂ M. Restringindo a m´etrica d ao subconjunto N , com d′^ : N × N → R, dizemos que (N, d′) ´e um subespa¸co m´etrico de M com m´etrica induzida por d. Um subconjunto A ⊂ N ´e um aberto em (N, d′) se existe um aberto B ⊂ M de M tal que A = B ∩ N.

▲ (3.1.1)Coment´arios: (i) Tecnicamente, ter´ıamos que provar que (N, d′) ´e um espa¸co m´etrico, mas note que isso ´e imediato da restri¸c˜ao da m´etrica d ao conjunto N. A defini¸c˜ao est´a dizendo que todo aberto de (N, d′) ´e a restri¸c˜ao de um aberto B de M ao subconjunto N. (ii) Note que quando estamos falando de abertos, ´e necess´ario ter cuidado sobre o espa¸co em que determinado conjunto ´e aberto, a pergunta “esse conjunto ´e aberto?” s´o faz sentido com a adi¸c˜ao de “em qual espa¸co?”. (iii) O problema que pode existir nos abertos de um subespa¸co ´e sempre relacionado a fronteira do conjunto, na lista 1 exerc´ıcio 11 ´e pedida uma demonstra¸c˜ao de que se o conjunto N ´e aberto, ent˜ao os abertos de N tamb´em s˜ao abertos em M. Isso decorre do fato de um aberto n˜ao conter os pontos de sua fronteira. Um exemplo simples: O conjunto [0, 1] ⊂ R pode ser visto como um subespa¸co m´etrico com a m´etrica usual de R, note que o pr´oprio conjunto [0, 1] ´e um aberto desse espa¸co, afinal ∅ e o conjunto todo s˜ao sempre abertos, entretanto [0, 1] n˜ao ´e aberto de R, mais geralmente, um conjunto na forma (δ, 1] ´e um aberto de [0, 1], mas n˜ao de R. (iv) Explicando melhor o exemplo dado acima: Um subespa¸co de certa forma n˜ao vˆe os pontos de fronteira como um problema na constru¸c˜ao de bolas abertas, note que na defini¸c˜ao de bola aberta dada na primeira aula temos:

Bϵ(p) := {x ∈ M : d(x, p) < ϵ}

Existe uma sutileza nessa defini¸c˜ao, que ´e o fato dos pontos x estarem contidos em M. Se aplic´assemos a defini¸c˜ao para o subespa¸co N ter´ıamos:

Bϵ(p) := {x ∈ N : d(x, p) < ϵ}

Note que nesse caso os pontos da bola pertencem a N. Isso faz com os conjuntos (δ, 1] citados acima sejam bolas abertas no subespa¸co [0, 1] dadas por Bδ(1) (os pontos maiores que 1 s˜ao

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Demonstra¸c˜ao: Seja {Cλ} ⊂ τ uma cobertura aberta de A. Como A ´e fechado, seu complementar ´e aberto e temos que {Cλ} ∪ Ac^ ´e uma cobertura aberta de K (afinal ´e uma cobertura do pr´oprio X j´a que A∪Ac^ = X), como K ´e compacto, dessa cobertura aberta pode- mos extrair uma subcobertura finita {Cλ 1 , ..., Cλm , Ac} que cobre K, e tamb´em {Cλ 1 , ..., Cλm } que ´e uma subcobertura finita de {Cλ} que cobre A, logo A ´e compacto.

3.5 Proposi¸c˜ao (Compacto de espa¸co m´etrico ´e fechado)

Seja (M, d) um espa¸co m´etrico e K ⊂ M. Se K ´e compacto, ent˜ao K ´e fechado.

Demonstra¸c˜ao: Iremos provar que Kc^ ´e aberto. Seja p ∈ Kc^ e C = {Bδ(q) : q ∈ K}, ou seja, C ´e uma cobertura aberta para K com bolas abertas de raio δ > 0 em cada q ∈ K. Note que podemos tomar δ t˜ao pequeno quanto quisermos e continuar cobrindo K, j´a que cada ponto de K est´a no centro de uma das bolas, ent˜ao vamos tomar δ > 0 tal que p /∈

S

Bδ(q). Como K ´e compacto, podemos extrair uma subcobertura finita {Bδ(q 1 ), ..., Bδ(qm)}. Seja

ϵ = 13 min{d(p, q 1 ), ..., d(p, qm)}, ent˜ao Bϵ(p) ∩

Sm i=

Bδ(qi) = ∅, e como essa ´e uma subcobertura

de K, Bϵ(p) ∩ K = ∅. Logo, temos que para todo p ∈ Kc^ existe ϵ > 0 tal que Bϵ(p) ⊂ Kc, portanto Kc^ ´e aberto e K ´e fechado.

▲ (3.5.1)Coment´ario: Observe que a proposi¸c˜ao acima, diferente das proposi¸c˜oes (3.3) e (3.4), foi enunciada e provada para um espa¸co m´etrico, enquanto as outras duas foram enunciadas para espa¸co topol´ogico. Isso porque a proposi¸c˜ao (3.5) n˜ao ´e v´alida num espa¸co topol´ogico qualquer, ela s´o ´e v´alida num espa¸co onde quaisquer dois pontos possam ser sepa- rados por abertos disjuntos (note que usamos esse argumento implicitamente acima), que s˜ao espa¸cos topol´ogicos conhecidos como espa¸cos Hausdorff.

3.6 Corol´ario (interse¸c˜ao fechado e compacto)

Seja (M, d) um espa¸co m´etrico com A ⊂ M e K ⊂ M. Se A ´e fechado e K ´e compacto, ent˜ao A ∩ K ´e compacto.

Demonstra¸c˜ao: Como K ´e compacto, ent˜ao por (3.5) ele ´e fechado, mas nesse caso A ∩ K ´e fechado, pois (A ∩ K)c^ = Ac^ ∪ Kc^ ´e uni˜ao de dois abertos. Por fim, como A ∩ K ´e um fechado contido em K, temos por (3.4) que A ∩ K ´e compacto.

3.7 Proposi¸c˜ao (propriedade da interse¸c˜ao finita e compacidade)

Seja (M, d) um espa¸co m´etrico. Se {Kλ} uma fam´ılia de compactos em M tais que toda subcole¸c˜ao finita {Kλm } ⊂ {Kλ} tem interse¸c˜ao n˜ao-vazia, ou seja,

Tm i=

Kλi ̸= ∅,

ent˜ao

T

λ

Kλ ̸= ∅.

Demonstra¸c˜ao: Vamos provar a contrapositiva. Suponha

T

λ

Kλ = ∅, nesse caso podemos

obter um elemento K 0 dessa cole¸c˜ao tal que cada ponto p ∈ K 0 n˜ao pertence a todos os outros

14 CHAPTER 3. COMPACIDADE

Kλ (pois se houvesse tal ponto ele estaria na interse¸c˜ao que estamos supondo ser vazia). Dessa forma, temos que {Kλc} ´e uma cobertura aberta para K 0 (porque se cada ponto de K 0 n˜ao est´a em algum Kλ, ele est´a em algum Kλc, al´em disso cada elemento ´e aberto porque todos os compactos em espa¸co m´etrico s˜ao fechados por (3.5)). Como K 0 ´e compacto, podemos extrair uma subcobertura finita {Kcλm }, mas notemos que K 0 ⊂

S

Kλcm =⇒

T

Kλm ⊂ K 0 c (devido a propriedade de conjuntos A ⊂ B =⇒ Bc^ ⊂ Ac), portanto temos que K 0 ∩ (

T

Kλm ) = ∅, e isso constitui uma subcole¸c˜ao finita de {Kλ} cuja interse¸c˜ao ´e vazia.

▲ (3.7.1)Coment´ario: O nome da proposi¸c˜ao acima cita uma “propriedade da interse¸c˜ao finita”, essa propriedade ´e a seguinte: dado um conjunto X, uma fam´ılia Λ de subconjuntos de X, ou seja, Λ ⊂ P(X), tem a propriedade da interse¸c˜ao finita se toda subfam´ılia finita de Λ tem interse¸c˜ao n˜ao-vazia. Essa propriedade ´e muito usada em topologia geral e inclusive pode ser usada para uma defini¸c˜ao alternativa de compacidade em termos de fechados ao inv´es de abertos.

3.8 Corol´ario (sequˆencia encaixante de compactos ´e n˜ao-vazia)

Seja (M, d) um espa¸co m´etrico. Se {Km}∞ m=1 ⊂ M ´e uma sequˆencia encaixante (de- crescente) de compactos n˜ao-vazios, ou seja, para todo m ∈ N: Km ̸= ∅ e Km+1 ⊂ Km, ent˜ao

T

m∈N

Km ̸= ∅.

Demonstra¸c˜ao: Como a sequˆencia ´e encaixante, ´e imediato que qualquer subcole¸c˜ao finita ter´a um Kj contido em todos os outros conjuntos da cole¸c˜ao, por hip´otese Kj ´e n˜ao-vazio e, portanto, a interse¸c˜ao ´e n˜ao-vazia. Logo, vale a proposi¸c˜ao (3.7) e

T

m∈N

Km ̸= ∅

3.9 Teorema (compacidade implica propriedade BW)

Seja (M, d) um espa¸co m´etrico e A ⊂ K ⊂ M. Se K ´e compacto e Card(A) = ∞, ent˜ao existe p ∈ K que ´e ponto de acumula¸c˜ao de A.

Demonstra¸c˜ao: Vamos provar pela contrapositiva, ou seja, se A ⊂ K n˜ao tem ponto de acumula¸c˜ao em K, ent˜ao A ´e finito. De fato, seja A ⊂ K sem ponto de acumula¸c˜ao em K, ent˜ao todos os pontos de K s˜ao isolados de A, nesse caso, para todo x ∈ K temos que existe ϵ > 0 tal que Bϵ(x) ∩ A ´e vazio ou {x}. A cole¸c˜ao B de todas essas bolas abertas ´e uma cobertura de K, e como K ´e compacto, podemos extrair uma subcobertura finita B′. Em particular, B′^ tamb´em ´e subcobertura finita para A, j´a que A ⊂ K, mas pela defini¸c˜ao da cobertura cada aberto s´o continha no m´aximo 1 elemento de A, portanto a quantidade de elementos de A ´e menor ou igual ao n´umero de abertos em B′, que ´e finito, logo A ´e finito.

▲ (3.9.1)Coment´ario: Um detalhe t´ecnico sobre a demonstra¸c˜ao acima. Note que no teorema acima n˜ao temos uma contrapositiva no sentido usual. Sendo p a senten¸ca “K ´e compacto”, q a senten¸ca “A ´e infinito” e r a senten¸ca “A tem ponto de acumula¸c˜ao em K”, o teorema afirma que p ∧ q → r, ent˜ao a contrapositiva seria ¬r → ¬p ∨ ¬q, que difere da nossa contrapositiva usual que envolve s´o duas senten¸cas. Entretanto, n˜ao h´a problema aqui, pois observe que estamos assumindo p como verdadeira, portanto ¬p ´e falsa e consequentemente

Aula 4

O teorema de Heine-Borel

▼ Nessa aula iremos provar o teorema de Heine-Borel, que estabelece a equivalˆencia entre o conceito topol´ogico de compacidade em termos de coberturas abertas e a propriedade mais simples “fechado e limitado”. Note que precisaremos nos restringir especificamente ao espa¸co R com a m´etrica usual nas demonstra¸c˜oes dessa aula, isso porque os resultados n˜ao valem para espa¸cos m´etricos gerais, muito menos para espa¸cos topol´ogicos.

4.1 Proposi¸c˜ao (sequˆencia encaixante de intervalos fechados ´e n˜ao-vazia)

Seja (R, d) com a m´etrica usual. Se (In)∞ n=1 ´e uma sequˆencia de intervalos fechados e encaixantes em R, ou seja, In+1 ⊂ In, para todo n ∈ N, ent˜ao

T∞

n=

In ̸= ∅.

Demonstra¸c˜ao: Seja In = [an, bn]. O conjunto dos pontos (an) ´e n˜ao-vazio e limitado pelos (bn), pois como a sequˆencia ´e encaixante n˜ao podemos ter nenhum ak > bk, mas nesse

caso sup (an) = p ´e tal que ak ≤ p ≤ bk, para todo k, logo p ∈

∞T

n=

In.

4.2 Proposi¸c˜ao (intervalo fechado ´e compacto)

Seja (R, d) com a m´etrica usual. Todo intervalo [a, b] ⊂ R ´e compacto.

Demonstra¸c˜ao: Suponha que existe {Cλ} uma cobertura aberta para [a, b] sem cobertura finita. Vamos dividir o intervalo [a, b] em duas partes iguais, [a, (a+ 2 b)] e [a+ 2 b, b], como [a, b] n˜ao ´e coberto finitamente, pelo menos um dos dois intervalos n˜ao pode ser coberto finitamente, chame esse intervalo de A 1. Repetindo o processo, dividimos A 1 em dois intervalos iguais, sendo que pelo menos 1 deles n˜ao pode ser coberto finitamente, chame esse intervalo de A 2. Continuando esse processo temos uma sequˆencia A 1 , A 2 , A 3 , ... onde nenhum deles pode ser

coberto finitamente. Por (4.1) essa sequˆencia ´e n˜ao-vazia, logo existe p ∈

∞T

n=

An. Como p

precisa estar coberto por algum aberto, existe ϵ > 0 tal que d(y, p) < ϵ implica y numa bola aberta de {Cλ}, mas como o tamanho dos intervalos An ´e b 2 −na , existe um n que faz com que An esteja inteiramente contido na bola aberta que cont´em p, portanto para N > n, todos os AN est˜ao nessa bola, de forma que (An) pode ser coberto finitamente. Contradi¸c˜ao.

▲ (4.2.1)Coment´ario: Observe que tivemos que provar (4.1) porque os resultados (3.7) e (3.8) que falavam de interse¸c˜ao n˜ao-vazia usavam a hip´otese de compacidade, ent˜ao era necess´ario um resultado de interse¸c˜ao n˜ao-vazia sem essa hip´otese, porque ´e justamente a compacidade o que est´avamos tentando provar em (4.2).

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4.3 Teorema de Heine-Borel Seja (R, d) com a m´etrica usual e K ⊂ R. K ´e compacto se, e somente se, K ´e limitado e fechado.

Demonstra¸c˜ao: ( =⇒ ) : Suponha K compacto. Pela proposi¸c˜ao (3.5) todo compacto de espa¸co m´etrico ´e fechado, logo ´e imediato que K ´e fechado. Suponha, sem perda de generalidade, que K n˜ao ´e limitado porque n˜ao ´e limitado superiormente, ent˜ao para todo n ∈ N existe p ∈ K tal que n < p. Tomemos uma cobertura para K dada por bolas de raio 1 2 centradas em cada ponto, ou seja,^ {B^12 (p) :^ p^ ∈^ K}, se essa cobertura tivesse subcobertura finita {B 1 2 (pm)}, tomando o maior pmax = max{p 1 , ..., pm}, ter´ıamos que n˜ao h´a nenhum

elemento de K al´em da bola B 12 (pmax) (ou seja, n˜ao h´a p ∈ K com p ≥ pmax + 12 , pois p estaria

fora da cobertura finita) e isso implicaria K limitado. Contradi¸c˜ao. ( ⇐= ) : Suponha K fechado e limitado. Como K ´e limitado, existe M ∈ R tal que |x| ≤ M , para todo x ∈ K, mas nesse caso temos que K est´a contido no intervalo fechado [−M, M ]. Pela proposi¸c˜ao (4.2), o intervalo [−M, M ] ´e compacto, enquanto pela proposi¸c˜ao (3.4), todo subconjunto fechado de um compacto ´e tamb´em compacto, como K ´e fechado por hip´otese, ent˜ao K ´e compacto.

▲ (4.2.1)Coment´ario: A frase usada no come¸co da demonstra¸c˜ao, “sem perda de gen- eralidade”, quer dizer que os outros casos que aparecem na demonstra¸c˜ao s˜ao provados por racioc´ınio an´alogo ao desenvolvido no texto. Nessa demonstra¸c˜ao espec´ıfica, um conjunto ser limitado quer dizer que ele n˜ao ´e limitado superiormente ou inferiormente ou ambos, mas todos esses casos s˜ao provados de forma an´aloga ao que fizemos acima para o conjunto n˜ao limitado superiormente.

4.3 Teorema de Weierstrass Seja (R, d) com a m´etrica usual e A ⊂ R. Se A ´e limitado e |A| = ∞, ent˜ao A tem ponto de acumula¸c˜ao em R.

Demonstra¸c˜ao: Como A ´e limitado, existe um intervalo [−M, M ] contendo A. Pela proposi¸c˜ao (4.2), esse intervalo ´e compacto, e pelo teorema (3.9) todo subconjunto infinito de um compacto tem ponto de acumula¸c˜ao.

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Demonstra¸c˜ao: Qualquer um desses 4 tipos de intervalo cont´em um intervalo fechado [a+ϵ, b−ϵ], para algum ϵ > 0, esse intervalo ´e um conjunto perfeito, portanto n˜ao-enumer´avel. Logo, o intervalo do in´ıcio cont´em um conjunto n˜ao-enumer´avel, portanto ´e n˜ao-enumer´avel.

5.4 Defini¸c˜ao (conjunto de Cantor)

Seja C 0 = [0, 1], divindindo C 0 em trˆes partes iguais e removendo a do meio, temos C 1 = [0, 13 ] ∪ [^23 , 1], repetindo o processo para os dois subintervalos restantes, temos C 2 , e assim sucessivamente. O conjunto de Cantor C ´e dado por:

C :=

^ ∞

n=

Cn

▲ (5.4.1)Coment´ario: O conjunto de Cantor ´e justamente o exemplo de conjunto perfeito que quer´ıamos. Note que ele ´e fechado, todos os seus pontos s˜ao de acumula¸c˜ao, ele ´e n˜ao- enumer´avel, ´e totalmente desconexo e seu comprimento total ´e zero! De fato um conjunto interessante. Uma forma alternativa pela qual podemos visualizar o conjunto de Cantor ´e atrav´es de sequˆencias, note que estamos dividindo o intervalo em trˆes partes iguais a cada passo, imagine que escolher o intervalo da esquerda significa escolher o n´umero 0, o do meio o n´umero 1 e o da direita o n´umero 2, mas como sempre exclu´ımos o do meio, o conjunto de Cantor ent˜ao ´e visto como o espa¸co das sequˆencias em base 3 que cont´em apenas os algarismos 0 e 2 (veja a figura abaixo). Al´em disso, o conjunto de Cantor tem conex˜oes com v´arias ´areas da matem´atica, em teoria da medida ele ´e um excelente exemplo da diferen¸ca entre a medida de cardinalidade e a medida de Lebesgue, em sistemas dinˆamicos conjuntos similares ao de Cantor surgem naturalmente como estruturas fractais de mapas ca´oticos, em teoria dos n´umeros, conjuntos de Cantor s˜ao homeomorfos aos conjuntos Qp de n´umeros p-´adicos.

5.5 Defini¸c˜ao (Conexidade)

Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico. Uma separa¸c˜ao de X ´e um par U, V de abertos disjuntos n˜ao-vazios cuja uni˜ao ´e X, ou seja, ∅̸ = U, V ∈ τ e U ∪ V = X. O conjunto X ´e dito desconexo caso exista uma separa¸c˜ao para X e ´e dito conexo caso n˜ao exista.

▲ (5.5.1)Observa¸c˜ao: Note que a defini¸c˜ao acima ´e feita para um espa¸co topol´ogico, e n˜ao para um subconjunto dele, ou seja, caso seja necess´ario saber se um subconjunto A ⊂ X ´e conexo, precisamos considerar os abertos na topologia de subespa¸co de (A, τ ′). Por exemplo, em R com a topologia usual, se quisermos avaliar se o conjunto A = { 0 , 1 } ´e conexo, precisamos considerar a topologia de subespa¸co de { 0 , 1 }, que no caso ´e a topologia discreta {∅, { 0 }, { 1 }, { 0 , 1 }}, nesse caso, vemos que o conjunto ´e desconexo j´a que ele ´e a uni˜ao dos

20 CHAPTER 5. CONJUNTOS PERFEITOS E CONEXIDADE

abertos disjuntos n˜ao-vazios { 0 } e { 1 }.

5.6 Teorema (Conexos da reta)

Seja (R, d) com a m´etrica usual e A ⊂ R. A ´e conexo se, e somente se, para todos a, c ∈ A: a < b < c =⇒ b ∈ A.

Demonstra¸c˜ao: ( =⇒ ) : Suponha que A seja conexo, mas com a, c ∈ A e a < b < c, mas b /∈ A. Nesse caso, note que os conjuntos U = (−∞, b) e V = (b, +∞) s˜ao abertos da reta, portanto U ∩ A e V ∩ A s˜ao abertos de A, e esses abertos s˜ao disjuntos j´a que U, V s˜ao disjuntos, eles s˜ao n˜ao-vazios j´a que a ∈ U e c ∈ V e sua uni˜ao gera A j´a que U, V s˜ao uma parti¸c˜ao de R − {b} que cont´em A. Logo, esses dois abertos definem uma separa¸c˜ao de A. Contradi¸c˜ao. ( ⇐= ) : Reciprocamente, suponha que vale a propriedade acima, mas A n˜ao ´e conexo. Nesse caso, existem dois abertos disjuntos n˜ao-vazios U, V de A cuja uni˜ao ´e A. Como U ´e n˜ao- vazio, existe um ponto p ∈ U , e como U ´e aberto, em torno desse ponto existe uma bola aberta Bϵ(p), para algum ϵ > 0, que no caso da reta ´e um intervalo aberto (p − ϵ, p + ϵ). Note que esse intervalo aberto deve ser limitado superiormente ou inferiormente, pois se esse intervalo ocupasse toda a reta ter´ıamos V vazio, e V ´e n˜ao-vazio por hip´otese. Dessa forma, um dos dois pontos p − ϵ ou p + ϵ est´a na fronteira de V , portanto ´e um ponto de acumula¸c˜ao de V , mas como U ´e aberto de A, V que ´e seu complementar em A ´e fechado, e da mesma forma V aberto implica U fechado, mas nesse caso o ponto na fronteira pertence a ambos os conjuntos U e V. Logo, U, V n˜ao ´e uma separa¸c˜ao. Contradi¸c˜ao.