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UNILA - Universidade Federal da Integração Latino-Americana
Atividade: Análise de Sistema Massa-Mola-Amortecedor
Kaique de Sotti Silva
Objetivo
Analisar um sistema massa-mola com diferentes coeficientes de amortecimento para entender o com- portamento do regime estacionário e do transiente em cada caso, usando transformada de Laplace.
Descrição do problema e Parâmetros
Considerando um sistema massa-mola-amortecedor e os parâmetros descritos detalhadamente na ati- vidade 3, temos a equação (1), com base nela iremos resolver diferentes sistemas para verificar o compor- tamento da equação.
d^2 x dt^2
c m
dx dt
k m x = 0 (1)
Sistemas
- Sem amortecimento (c = 0) Considerando a equação diferencial para esse caso na atividade 3, temos a equação 2:
d^2 x dt^2
x′′(t) + 1, 33 x(t) = 0 (2)
Resolvendo a equação diferencial x′′^ + 1, 33 x = 0, usando transformada de Laplace, considerando que x(0) = 1 e x′(0) = − 2 A transformada de Laplace de x(t) é X(s) e a transformada de Laplace de uma derivada segunda é dada por :
L{x′′(t)} = s^2 X(s) − sx(0) − x′(0)
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO, (equação 2):
L{x′′(t)} + 1, 33 L{x(t)} = L{ 0 }
Utilizando as propriedades da transformada de Laplace:
s^2 X(s) − sx(0) − x′(0) + 1, 33 X(s) = 0
Substituímos as condições iniciais:
s^2 X(s) − s(1) − (−2) + 1, 33 X(s) = 0
s^2 X(s) − s + 2 + 1, 33 X(s) = 0
Colocando em evidencia X(s) e isolando os outros termos, temos que:
(s^2 + 1, 33)X(s) = s − 2
X(s) = s − 2 s^2 + 1, 33
Para facilitar a inversão, decompomos a fração em duas partes:
X(s) = s s^2 + 1, 33
s^2 + 1, 33
Aplicando a transformada inversa de Laplace para cada termo separadamente, temos:
- Para o primeiro termo: L−^1
s s^2 + 1, 33
= cos(
p 1 , 33 t)
L−^1
s^2 + 1, 33
√^1
sin(
p 1 , 33 t)
Portanto, a solução é:
x(t) = cos(
p 1 , 33 t) −
sin(
p 1 , 33 t) (3)
Utilizando as propriedades da transformada de Laplace:
s^2 X(s) − sx(0) − x′(0) +
(sX(s) − x(0)) +
X(s) = 0
Substituímos as condições iniciais:
s^2 X(s) − sx 0 − v 0 +
(sX(s) − x 0 ) +
X(s) = 0
s^2 X(s) − sx 0 − v 0 + s 3 X(s) − x 0 3
X(s) = 0
Colocando em evidencia X(s) e isolando os outros termos, temos que:
s^2 + s 3
X(s) = sx 0 + v 0 + x 0 3 s^2 + s 3
X(s) = sx 0 + v 0 + x 0 3
X(s) = sx 0 + v 0 + x 30 s^2 + 3 s + (^43)
Para encontrar a transformada inversa de Laplace, podemos simplificar o denominador. A equação do denominador é um polinômio de segundo grau e pode ser resolvida usando a fórmula quadrática para encontrar as raízes:
s^2 + s 3
As raízes são:
s =
−^13 ±
q 1 3
s =
−^13 ±
q 1 9 −^
16 3 2
s =
−^13 ±
q 1 − 48 9 2
s =
−^13 ±
q − 47 9 2
s =
−^13 ± i
√ 47 3 2
s = −^13 ± i
√ 47 3 2
s = −
i
Assim, a função de transferencia será:
X(s) =
sx 0 + v 0 + x 30 s + 16 − i
√ 47 6
s + 16 + i
√ 47 6
A função X(s) pode ser representada na forma padrão associada a oscilações amortecidas. A inver- são direta pode ser complexa, então utilizamos propriedades conhecidas:
A solução da EDO com raízes complexas α ± iβ e condições iniciais é dada por:
x(t) = e−αt^ (C 1 cos(βt) + C 2 sin(βt))
Onde α = 16 e β =
√ 47
Determinamos C 1 e C 2 usando as condições iniciais. Para x(0) = x 0 :
x 0 = e^0 (C 1 cos(0) + C 2 sin(0))
C 1 = x 0
Para x′(0) = v 0 :
x′(t) = −αe−αt(C 1 cos(βt) + C 2 sin(βt)) + e−αt(−C 1 β sin(βt) + C 2 β cos(βt))
x′(0) = −αx 0 + C 2 β = v 0
x 0 + C 2
= v 0
C 2 =
6 v 0 + x 0 √ 47
Portanto, a solução é:
x(t) = e−^ (^16) t x 0 cos
t
6 v 0 + x 0 √ 47
sin
t
Utilizando as propriedades da transformada de Laplace:
s^2 X(s) − sx(0) − x′(0) + 2, 31(sX(s) − x(0)) + 1, 33 X(s) = 0
Substituímos as condições iniciais:
s^2 X(s) − s(1) − (−2) + 2, 31(sX(s) − 1) + 1, 33 X(s) = 0
s^2 X(s) − s + 2 + 2, 31 sX(s) − 2 , 31 + 1, 33 X(s) = 0
Colocando em evidencia X(s) e isolando os outros termos, temos que:
(s^2 + 2, 31 s + 1, 33)X(s) = s − 2 + 2, 31
(s^2 + 2, 31 s + 1, 33)X(s) = s + 0, 31
X(s) =
s + 0, 31 s^2 + 2, 31 s + 1, 33
Para encontrar a transformada inversa de Laplace, podemos simplificar o denominador. A equação do denominador é um polinômio de segundo grau e pode ser resolvida usando a Equação de Baskara:
s^2 + 2, 31 s + 1, 33 = 0
s =
p (2, 31)^2 − 4 · 1 , 33 2
s =
s =
s =
Portanto, as raízes são:
s 1 =
s 2 =
A função X(s) pode ser representada na forma de frações parciais e então invertida usando as tabelas de transformada de Laplace.
Para isso, usamos frações parciais:
X(s) = s + 0, 31 (s + 1, 09155)(s + 1, 21845)
X(s) =
A
s + 1, 09155
B
s + 1, 21845
Para encontrar A e B:
s + 0, 31 = A(s + 1, 21845) + B(s + 1, 09155)
Para resolver isso, colocamos s = − 1 , 09155 para eliminar B:
− 1 , 09155 + 0, 31 = A(− 1 , 09155 + 1, 21845)
− 0 , 78155 = A(0, 1269)
A =
E colocamos s = − 1 , 21845 para eliminar A:
− 1 , 21845 + 0, 31 = B(− 1 , 21845 + 1, 09155)
− 0 , 90845 = B(− 0 , 1269)
B =
Portanto:
X(s) =
s + 1, 09155
s + 1, 21845
Aplicamos a transformada inversa de Laplace:
x(t) = − 6 , 1566 e−^1 ,^09155 t^ + 7, 1593 e−^1 ,^21845 t
Portanto, a solução é:
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO, (equação 6):
L{x′′(t)} + 3, 33 L{x′(t)} + 1, 33 L{x} = L{ 0 }
Utilizando as propriedades da transformada de Laplace:
s^2 X(s) − sx(0) − x′(0) + 3, 33(sX(s) − x(0)) + 1, 33 X(s) = 0
Substituímos as condições iniciais:
s^2 X(s) − s(1) − (−2) + 3, 33(sX(s) − 1) + 1, 33 X(s) = 0
s^2 X(s) − s + 2 + 3, 33 sX(s) − 3 , 33 + 1, 33 X(s) = 0
Colocando em evidencia X(s) e isolando os outros termos, temos que:
(s^2 + 3, 33 s + 1, 33)X(s) = s − 2 + 3, 33
(s^2 + 3, 33 s + 1, 33)X(s) = s + 1, 33
X(s) = s + 1, 33 s^2 + 3, 33 s + 1, 33
Para encontrar a transformada inversa de Laplace, podemos simplificar o denominador. A equação do denominador é um polinômio de segundo grau e pode ser resolvida usando a Equação de Baskara:
s^2 + 3, 33 s + 1, 33 = 0
s =
p (3, 33)^2 − 4 · 1 , 33 2
s =
s =
s =
Portanto, as raízes são:
s 1 =
s 2 =
A função X(s) pode ser representada na forma de frações parciais e então invertida usando as tabelas de transformada de Laplace.
Para isso, decompomos X(s) em frações parciais:
X(s) = s + 1, 33 (s + 0, 4641)(s + 2, 897)
Usamos frações parciais:
X(s) =
A
s + 0, 4641
B
s + 2, 897
Para encontrar A e B:
s + 1, 33 = A(s + 2, 897) + B(s + 0, 4641)
Para resolver isso, colocamos s = − 0 , 4641 para eliminar B:
− 0 , 4641 + 1, 33 = A(− 0 , 4641 + 2, 897)
0 , 8659 = A(2, 4329)
A =
E colocamos s = − 2 , 897 para eliminar A:
− 2 , 897 + 1, 33 = B(− 2 , 897 + 0, 4641)
− 1 , 567 = B(− 2 , 4329)
B =
Portanto:
X(s) =
s + 0, 4641
s + 2, 897
Aplicamos a transformada inversa de Laplace:
x(t) = 0, 356 e−^0 ,^4641 t^ + 0, 644 e−^2 ,^897 t
Analise e gráfico comparativo
Figura 5: Gráficos compilados do sistema massa-mola-amortecedor.
- Sem amortecimento: Neste sistema, não há amortecimento para dissipar a energia, resultando em oscilações persistentes. O movimento é periódico e a amplitude das oscilações permanece constante ao longo do tempo. Como não há dissipação de energia, o sistema não alcança um regime estacionário. O movimento continua a oscilar infinitamente com uma frequência natural de 2 , 306 rad/s.
- Amortecimento Fraco: O amortecimento é fraco, e o sistema apresenta oscilações que decaem lentamente. A amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo, enquanto a frequência das oscilações é menor do que a frequência natural. O sistema alcança um regime estacionário onde as oscilações cessam e a posição se estabiliza em zero. O tempo para atingir o regime estacionário é longo, dado o amortecimento fraco.
- Amortecimento Crítico: O amortecimento é crítico, o que significa que o sistema retorna à posição de equilíbrio o mais rápido possível sem oscilações. A resposta transiente é caracterizada por uma decaída exponencial.
O sistema rapidamente atinge o regime estacionário, onde a posição se estabiliza em zero. Este é o caso ideal para aplicações que necessitam de rápida estabilização sem oscilações.
- Amortecimento Forte: Com amortecimento forte, o sistema não oscila. Em vez disso, ele retorna à posição de equilíbrio através de uma decaída exponencial mais complexa, com duas constantes de tempo distintas devido aos dois termos exponenciais. O sistema atinge o regime estacionário de forma relativamente rápida, estabilizando-se em zero sem oscilações. O amortecimento forte assegura que quaisquer perturbações sejam rapidamente dissipadas.
Cada tipo de amortecimento influencia significativamente o comportamento do sistema massa-mola- amortecedor. Sistemas sem amortecimento continuam a oscilar indefinidamente, enquanto sistemas com amortecimento fraco oscilam com uma amplitude decrescente. O amortecimento crítico oferece a es- tabilização mais rápida sem oscilações, e o amortecimento forte elimina completamente as oscilações, resultando em uma estabilização exponencial direta.
