Análise de Estabilidade de Cascas Cilíndricas com Enrijecimento, Provas de Engenharia Civil

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

Análise de Estabilidade de Cascas Cilíndricas

com Enrijecimento

Antônio Adryel Lima dos Santos

Breno de Oliveira Silva

GOIÂNIA, 2018

Antônio Adryel Lima dos Santos

Breno de Oliveira Silva

Análise de Estabilidade de Cascas Cilíndricas com

Enrijecimento

Monografia apresentada ao Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Engenheiro Civil Orientadora: Prof. Dra. Renata Machado Soares

GOIÂNIA, 2018

Resumo

Cascas cilíndricas são estruturas esbeltas, sendo uma de suas características possuir rigidez de membrana maior que sua rigidez à flexão, desta forma, dependendo de como seja aplicado o carregamento sobre esta estrutura, a mesma pode vir a se comportar de maneira não linear devido à uma conversão de energia de membrana em energia de flexão, resultando em uma falha abrupta por flambagem. Por isso, nesse trabalho realiza-se o estudo do comportamento estático linear e não linear de uma casca cilíndrica enrijecida radialmente e submetida a esforços verticais de compressão. A casca e o enrijecedor são compostos de mesmo material elástico, linear e isotrópico sendo o enrijecedor considerado através de um aumento localizado da espessura na casca. Fez-se uma análise paramétrica da geometria e do número e localização dos enrijecedores ao longo do comprimento longitudinal da casca cilíndrica. As análises desenvolveram-se utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF) via software comercial ABAQUS®, na análise linear obtém-se os modos de flambagem e valores de carga crítica, enquanto que na análise não linear observa-se o comportamento pós crítico da casca, fator importante para este tipo de estrutura que apresenta grande não linearidade geométrica e sensibilidade à imperfeições. À medida que se adicionou enrijecedores à casca de referência observou-se a influência destes no valor obtido para a carga crítica, uma vez que se constatou maiores valores, sendo o maior ocorrendo na configuração de casca com a presença de três enrijecedores.

PALAVRAS CHAVE: Cascas cilíndricas. Enrijecedores. Análises linear e não linear. Carga crítica. Modos de flambagem.

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE SÍMBOLOS

c – Espessura do enrijecedor

E – Módulo de elasticidade do material

h – Espessura da casca

ha - Relação geométrica entre altura do enrijecedor e raio da casca

hc - Relação geométrica entre espessura e raio da casca

K – Parâmetro relacionado à geometria e ao material da casca

L – Comprimento da Casca

m – Número de semi-ondas longitudinais

n – Número de semi-ondas circunferenciais

R – Raio da Casca / Coordenada radial no sistema cilíndrico

Ra – Raio interno da casca cilíndrica

ra - Relação geométrica entre raio interno e raio da casca

Rb – Raio externo da casca cilíndrica

rb - Relação geométrica entre raio externo e raio da casca

Ri – Raio de Curvatura no eixo i

s – Tensão de carregamento

s cr – Tensão crítica de flambagem

Xi – Curvatura no eixo i

Z – Coordenada vertical no sistema cilíndrico

Z^ –^ Parâmetro relacionado à geometria e ao material da casca

LISTA DE ABREVIATURAS

MEF – Método dos Elementos Finitos

SUMÁRIO

• Figura 1.1– Reservatório de agua. Fazenda do urso-São Carlos-SP.
• cilíndricas submetidas a (a) compressão axial e (b) pressão externa. Figura 2.1– Configurações deformadas dos estados não lineares de flambagem de cascas
• Figura 2.2- Casca cilíndrica simplesmente apoiada submetida a compressão axial uniforme.
• Figura 2.3– Variação do coeficiente de curvatura com o parâmetro 𝑍.
• axissimétrico e (b) modo assimétrico. Figura 2.4– Modos críticos de instabilidade de uma casca cilíndrica comprimida (a) modo
• Figura 3.1– Parâmetros geométricos e de carregamento da casca cilíndrica.
• Figura 3.2– Geometria de uma casca cilíndrica enrijecida.
• Figura 3.3 – Influência da espessura do enrijecedor.
• Figura 3.4 – Influência da altura do enrijecedor.
• Figura 3.5 – Influência do número de ondas circunferênciais.
• Figura 3.6 – Variação da carga crítica em função do número de elementos.
• Figura 3.7 – Malha com 29161 elementos.
• Figura 4.1 – Modos de flambagem.
• Figura 4.2 – Conjunto de nós de maior deslocamento radial
• Figura 4.3 - Carga versus deslocamento radial.
• Figura 4.4 – Carga versus deslocamento radial/espessura.
• Figura 4.5 – Conjunto de nós de maior deslocamento longitudinal.
• Figura 4.6 – Carga versus deslocamento longitudinal..............................................................
• Figura 4.7 – Carga versus deslocamento longitudinal/espessura.
• Figura 4.8– Forma deformada das casca para os seis casos.
• Quadro 3.1 - Resultados da análise de Convergência LISTA DE QUADROS
• Quadro 4.1– Variação da quantidade e posição dos enrijecedores...........................................
• Quadro 4.2 – Carga Crítica em kN/m.
• Quadro 4.3 – Número de semi ondas circunferencias e longitudinais.
• 1 INTRODUÇÃO
• 1.1 Cascas Cilíndricas
• 1.2 Estabilidade de Elementos Estruturais
• 1.3 Método dos Elementos Finitos
• 1.4 Justificativa
• 1.5 Objetivo Geral
• 1.6 Objetivo Específico
• 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
• 3 METODOLOGIA E MÉTODOS
• 3.1 Modelagem via Abaqus ®
• 3.1.1 Análise de Convergência
• 4 RESULTADOS
• 4.1 Análise Linear
• 4.2 Análise Não Linear
• 5 CONCLUSÕES
• 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Análise de Estabilidade de Cascas Cilíndricas com Enrijecimento 13

A. A. Santos e B. O. Silva Introdução

1.1 Cascas Cilíndricas

Cascas cilíndricas são estruturas amplamente utilizadas em diversos ramos da engenharia, sendo basicamente utilizado pela sua capacidade de suportar cargas axiais e pressões laterais. Uma das grandes vantagens de sua utilização, é a sua capacidade de resistir a estes carregamentos través de esforços de membrana, o que possibilita a construção de estruturas mais leves e esbeltas (PRADO, 2001).

Apesar de ter uma forma geométrica simples, as cascas cilíndricas podem apresentar um comportamento complexo quando em estado de carregamento pós crítico em virtude da sua grande não linearidade geométrica e sensibilidade às imperfeições. Estes fatores são importantes na avaliação de sua estabilidade ou perda da mesma devido às ações de carregamento (PRADO, 2001).

No caso de cascas cilíndricas esbeltas, dentre as diversas alternativas ao seu dimensionamento, visando um ganho adicional de estabilidade, podem ser utilizados enrijecedores ao longo de seu comprimento e ao longo de seu comprimento circunferencial. Porém, dentre o grande número de pesquisas envolvendo cascas cilíndricas sob compressão axial, o uso de enrijecedores tem recebido relativamente pouca atenção. Isto se deve em grande parte ao fato de sua análise analítica pós crítica ser um pouco mais complexa que para outros casos sem a presença dos mesmos (GONÇALVES, 1983).

1.2 Estabilidade de Elementos Estruturais

Dentro do campo de estudos da engenharia estrutural têm-se o de métodos de tornar uma estrutura mais econômica através da redução de seu peso, consumo de materiais e otimização de sua geometria. Contudo, essa otimização tem levado a concepção de estruturas cada vez mais esbeltas e com grau de complexidade cada vez maiores. A medida que se aumenta a esbeltez de um dado elemento estrutural, o seu mecanismo de colapso pode sofrer significativas mudanças qualitativas. Tirando como exemplo uma coluna, o dimensionamento deste tipo de elemento é feito basicamente através do critério de ruptura. A medida que se aumenta seu comprimento em relação a sua seção transversal, a sua ruptura passa a depender dos critérios de instabilidade visto que poderia se alcançar a flambagem do elemento antes da ruptura mecânica do material.

Análise de Estabilidade de Cascas Cilíndricas com Enrijecimento 14

A. A. Santos e B. O. Silva Introdução

Na literatura são usualmente empregados três critérios de estudo do tipo de estabilidade de um sistema elástico conservativo, sendo eles (GONÇALVES, 1993):

 Critério estático de estabilidade, onde são utilizadas as equações de equilíbrio estático para verificar se as forças resultantes tendem ou não a manter o sistema em seu estado original de equilíbrio;

 Critério dinâmico de estabilidade, na qual são analisados os estados de vibração natural da estrutura sob um dado carregamento estático levando em conta a sua frequência natural de vibração. Se as frequências naturais são reais, tem-se um equilíbrio estável. Se pelo menos uma das frequências for imaginária, tem-se equilíbrio instável. Se uma das frequências naturais for nula sendo os outros reais e positivas, tem-se um estado crítico;

 Critério energético de estabilidade, onde verifica-se o comportamento do sistema estático dependendo da energia potencial total do sistema.

Em elementos esbeltos, a flambagem se dá pela presença de grandes deflexões laterais, podendo levar a estrutura a se romper de forma diferente da tradicional considerando a resistência do material utilizado. A medida que o elemento estrutural se torna mais esbelto, a não linearidade geométrica se torna cada vez mais importante e dá origem a vários fenômenos que incluem múltiplas configurações de equilíbrio estáveis ou instáveis. A presença desta não linearidade exige o desenvolvimento de técnicas de cálculo cada vez mais sofisticadas e um conhecimento mais profundo do comportamento estrutural (GONÇALVES, 1993).

Problemas de instabilidade de estruturas complexas como as cascas cilíndricas abordadas neste trabalho também podem sofrer com a flambagem e muitas falhas em seu dimensionamento podem ocasionar problemas futuros na utilização de tal estrutura. O estudo de tal estrutura pode ser realizado com o uso de ferramentas numéricas e programas computacionais como por exemplo Método dos Elementos Finitos (MEF).

1.3 Método dos Elementos Finitos

A utilização de métodos analíticos para solucionar problemas de engenharia de natureza estrutural nem sempre é satisfatória para um grande número problemas, uma vez que a

Análise de Estabilidade de Cascas Cilíndricas com Enrijecimento 16

A. A. Santos e B. O. Silva Introdução

Para a determinação da matriz de rigidez de uma estrutura (global) a partir das matrizes de rigidez dos elementos (local) que constituem a mesma, deve-se garantir o equilíbrio das forças externas aplicadas nos nós da estrutura com as forças que os elementos aplicam nos nós (forças reativas). Na sequência, a partir das relações de força e deslocamento no âmbito do elemento, estas forças locais podem ser substituídas pelas forças externas através das relações de equilíbrio de forças. Por último, temos que a compatibilidade de deslocamentos dos nós da estrutura na situação deformada, deve ser satisfeita para os âmbitos global e local, simultaneamente (FILHO, 2000).

Após a idealização da estrutura real através de um modelo matemático que expresse o comportamento físico da mesma e da discretização do modelo, analisa-se a solução desse modelo discreto para verificar sua precisão. A construção desse modelo discreto para análise por MEF passa por uma etapa de análise de convergência dos resultados. Caso a solução obtida não esteja adequada deve-se efetuar modificações no modelo discreto, alterando por exemplo a forma e tamanho dos elementos para obtenção de uma malha mais refinada com o intuito de obter soluções com a precisão desejada. Após essa verificação deve-se analisar os resultados obtidos pelo MEF, caso estes não apresentem valores coerentes com o problema estrutural estudado deve-se realizar modificações no modelo matemático, para que seja possível gerar uma análise mais refinada, obtendo assim uma resposta mais próxima do comportamento real da estrutura.

1.4 Justificativa

As cascas cilíndricas são amplamente utilizadas na Engenharia Civil como soluções para alguns tipos de estruturas como silos de grãos e tanques de armazenamento. Porém, o comportamento pós crítico destas estruturas com a presença de enrijecedores não está muito bem definido e sua análise é complexa. Sendo assim, a utilização de ferramentas numéricas como o método dos elementos finitos é uma alternativa coerente para a análise do comportamento desse tipo de estrutura.

1.5 Objetivo Geral

O objetivo deste trabalho é o estudo, utilizando o MEF, do comportamento linear e não linear estático de cascas cilíndricas de material elástico, linear e isotrópico enrijecidas radialmente

Análise de Estabilidade de Cascas Cilíndricas com Enrijecimento 17

A. A. Santos e B. O. Silva Introdução

através de um aumento localizado da sua espessura, submetidas a esforços verticais de compressão axial. Além disso, objetiva-se verificar a influência da localização dos enrijecedores nessa estrutura.

1.6 Objetivo Específico

Como objetivo específico temos a análise paramétrica da geometria e localização dos enrijecedores ao longo da casca cilíndrica através do MEF utilizando o software ABAQUS®, com o intuito de obter as suas cargas críticas e modos de flambagem. Posteriormente, serão obtidos os caminhos não lineares de equilíbrio para cascas enrijecidas radialmente em diferentes localizações ao longo do seu comprimento longitudinal.

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A. A. Santos e B. O. Silva Revisão Bibliográfica

Figura 2. 2 - Casca cilíndrica simplesmente apoiada submetida a compressão axial uniforme.

Fonte: Reis e Camotim, 2000.

As variáveis Z e K , representam fatores relacionados a sua geometria e curvatura sendo dadas a partir da Equação (2.2):

2 𝑅ℎ √^1 −^ 𝜈

𝛼 +^

𝜋^2

Onde 𝛼 é um parâmetro que depende de m e n que são, respectivamente, os números de semi- ondas longitudinais e circunferenciais e 𝛽 um parâmetro adimensional:

2 (𝑚^2 + 𝛽^2 )^2 𝛽^ =^

Analisando 𝛼, corresponde a valores reais de 𝛽 com 𝑚 ≥ 1, se 𝑍̅ ≥ 2,85. Isto significa que o cálculo não é válido para “cascas curtas” (com valores abaixo de 𝑍̅) (Reis e Camotim, 2000). A Figura 2.3 representa graficamente a tensão crítica em relação ao coeficiente de curvatura K com o parâmetro 𝑍̅.

Análise de Estabilidade de Cascas Cilíndricas com Enrijecimento 20

A. A. Santos e B. O. Silva Revisão Bibliográfica

Figura 2. 3 – Variação do coeficiente de curvatura com o parâmetro 𝑍̅.

Fonte: Reis e Camotim, 2000.

A tensão crítica fornecida pela Equação (2.1) está associada à ocorrência de dois modos de instabilidades, axissimétrico e assimétrico. O modo de instabilidade axissimétrico é caracterizado por 𝛽 = 0 (nenhuma semi-onda circunferencial) e o modo de instabilidade assimétrico caracterizado pela existência de ondas longitudinais e circunferenciais. A Figura 2.4 representa as duas configurações de instabilidade:

Figura 2. 4 – Modos críticos de instabilidade de uma casca cilíndrica comprimida (a) modo axissimétrico e (b) modo assimétrico.

Fonte: Reis e Camotim, 2000.

(a) (b) b)