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Ferramentas Estatísticas para
Análise de Dados
Estatística: Números-Índices, Teste de Qui-
Quadrado e Testes de Hipóteses para uma
População
Números-Índices
Os números-índices são medidas estatísticas utilizadas para comparar grupos de variáveis e obter um quadro simples e resumido de mudanças ocorridas ao longo do tempo. Eles podem ser usados para medir variações nos preços e quantidades de bens, salários, nível de emprego ou desemprego, criminalidade e qualidade de vida em diferentes regiões.
No Brasil, os índices mais conhecidos são o IGP-DI (Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna) e o INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor). Os números-índices têm ampla aplicação em economia, administração e ciências contábeis.
As principais medidas de números-índices são:
Índice de Preços: Indica a variação de preços de um ou mais conjuntos de bens em diferentes momentos. Índice de Quantidades: Representa as variações das quantidades de um ou mais conjuntos de bens produzidos, vendidos ou consumidos. Índice de Valor: Indica as variações dos preços em relação às quantidades em diferentes momentos.
Existem quatro propriedades importantes para avaliar os números-índices:
Identidade: O número-índice deve ser igual a 1 quando o período atual (t) coincidir com o período base (o). Reversibilidade: Ao se permutarem dois períodos s e t, os resultados serão o inverso um do outro. Circularidade: Os relativos satisfazem ao critério circular, ou seja, o acréscimo percentual de preço em um período em relação a outro pode ser calculado indiretamente. Decomposição das Causas: O produto de um número-índice de preço pelo correspondente número-índice de quantidade deve ser igual ao valor.
Além disso, os números-índices podem ser calculados com base fixa (comparação com um período base) ou base móvel (comparação com o período anterior).
Teste de Qui-Quadrado
O teste de qui-quadrado é um teste de hipóteses utilizado para avaliar a associação entre duas variáveis categóricas nominais. Ele compara as frequências observadas e esperadas de um determinado evento, verificando se as diferenças são significativas ou devidas ao acaso.
Para realizar o teste de qui-quadrado, é necessário cumprir algumas condições:
As amostras devem ser selecionadas aleatoriamente. A amostra deve ser relativamente grande, com pelo menos 10 observações em cada célula e, no caso de uma quantidade de grupos menor, no mínimo 20 observações.
O cálculo do teste de qui-quadrado é feito pela seguinte fórmula:
X² = Σ (o - e)² / e
Onde: - o = frequência observada para cada classe - e = frequência esperada para cada classe
O teste de qui-quadrado segue uma distribuição assimétrica, com valores críticos associados à cauda direita da distribuição. Existem duas hipóteses a serem testadas:
Hipótese Nula (H0): As frequências observadas são iguais às frequências esperadas, ou seja, não há associação entre os grupos. Hipótese Alternativa (H1): As frequências observadas são diferentes das frequências esperadas, ou seja, os grupos estão associados.
O nível de significância (α) é usualmente fixado em 5% ou outro valor estabelecido previamente. O valor de qui-quadrado crítico (X²C) é determinado com base nos graus de liberdade (GL) e no nível de significância adotado.
Para decidir o resultado final, compara-se o qui-quadrado calculado (X²) com o qui-quadrado crítico (X²C). Se X² for maior ou igual a X²C, rejeita-se a hipótese nula (H0). Caso contrário, aceita-se a hipótese nula.
Testes de Hipóteses para uma População
Os testes de hipóteses para uma população são utilizados para inferir sobre uma população com base em amostras. Eles ajudam a validar teorias e tomar decisões informadas, formulando e testando hipóteses nulas e alternativas.
Esses testes são aplicados em diversas áreas, como ciências sociais e biologia, e permitem avaliar se as diferenças observadas em uma amostra são significativas ou devidas ao acaso.
O teste de hipóteses fornece ferramentas que nos permitem rejeitar ou não rejeitar uma hipótese estatística através da evidência fornecida pela amostra.
Teste de Hipóteses
Exemplo 1
Um engenheiro postula a hipótese de que a fração de itens defeituosos em um certo processo é de p=0.10. O experimento é observar uma amostra aleatória do produto, e suponha que n=100 itens foram testados e 12 deles eram defeituosos, dessa forma foi estimada uma proporção de p^=0.12 a partir da amostra.
É razoável que essa evidência não refute a condição de que a proporção populacional é p=0.10, ou seja, não rejeitamos a hipótese postulada anteriormente. No entanto, não rejeitaríamos também se fosse p=0.12 ou talvez p=0.15.
Podemos expressar isso formalmente em termos de um teste de hipótese estatístico, sempre estabelecendo a hipótese nula como uma afirmação de igualdade.
Para tomar uma decisão entre a hipótese nula e a hipótese alternativa, é necessário testar essas hipóteses. Para isso, precisamos de evidências, que são obtidas a partir de uma amostra. Quanto maior a amostra, mais fácil será tomar a decisão.
Como a decisão em aceitar ou rejeitar H0 se baseia apenas nas informações de uma amostra da população, é possível cometer um dos seguintes erros:
Erro do tipo I ou de primeira espécie: consiste em rejeitar uma hipótese nula verdadeira. Erro do tipo II ou de segunda espécie: consiste em aceitar uma hipótese nula falsa.
Como esses erros são inevitáveis, em um bom teste deve-se minimizar a probabilidade de se cometer o erro do tipo I, e o teste passa a ser denominado teste de significância.
Testando a Hipótese da Igualdade entre as Variâncias
Para testar a hipótese de igualdade entre variâncias, começamos estimando as variâncias e determinando se elas são iguais ou diferentes. Utilizamos a razão das variâncias para isso. Especificamente, (n-1) S²/σ² ~ χ²_{n-1} para uma distribuição normal.
Para testar a razão de duas variâncias amostrais, usamos a distribuição F, desenvolvida por Ronald A. Fisher, que é uma função de duas variáveis aleatórias.
Teste de Diferença de Variância
Teste de Hipótese para Diferença de Variância de Duas Distribuições Normais
Hipótese nula: Hipótese de nulidade, onde não há diferença entre as variâncias. Estatística do teste: o quão a razão de variâncias se afastam da unidade.
Teste de Hipóteses para a Diferença de Médias de Duas Distribuições Normais, Variâncias Desconhecidas e Diferentes
Hipótese nula: hipótese de nulidade, onde não há diferença entre as médias, as médias seriam iguais. Estatística do teste: o quão diferentes são as médias (diferença padronizada).
Existem diversas hipóteses alternativas disponíveis para serem testadas.
