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V – Análise de circuitos pela transformada de Laplace
V.1 – Introdução
De forma análoga à transformada fasorial, aplicada para determinação do regime permanente senoidal de
circuitos elétricos lineares e invariantes no tempo, a transformada de Laplace pode ser empregada para
determinar a resposta completa desta mesma classe de circuitos para uma gama bastante variada de funções de
excitação. De uma maneira geral, as equações diferenciais lineares invariantes no tempo que descrevem as
correntes e tensões destes circuitos podem ser resolvidas seguindo os passos esquematizados no diagrama da
Figura V.1.
Equações diferenciais
lineares e invariantes
no tempo
Transformada
de
Laplace
Condições iniciais
Equações algébricas
no domínio da
freqüência
Transformada
inversa de
Laplace
Solução
temporal
Figura V.1 – Esquema de solução de equações diferenciais empregando Transformada de Laplace.
V.2 – Definição
A transformada de Laplace de uma função f ( t )é definida pela equação:
[ ( )] ( ) ( ) ∫
+∞ − = =
0
L f t Fs f te dt
st (1)
onde s é a freqüência complexa
s = σ + j ω (2)
e assume-se que a função f ( t )possui a seguinte propriedade
f ( ) t = 0 para t < 0
Observar que ignora-se o comportamento de f ( t ) pata valores negativos de t , sendo esta denominada
transformada de Laplace unilateral. O funcionamento do circuito para instantes anteriores a t = 0 é
incorporado por intermédio da consideração das suas condições iniciais.
Exemplo V.1: Determinar a transformada de Laplace da seguinte função:
( )
− , 0
Ae t
t f t at
f^ (^ t )
t
A
Solução: Pela definição,
[ ( )]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∞ −+ ∞ − + ∞ −+ −+
∞ − − ∫ ∫ s a
e
s a
e A s a
e f t Ae e dt A e dt A
sat sa sa at st sat
0
0
0 0
L
Supondo Re{ s + a } = σ + a > 0 ,
( ) → 0
− s + a ∞ e
[ ( )] ( ) ( ) s a
A
s a s a
f t A
L
ou ( ) s a
A
F s
Solução alternativa: A transformada de Laplace pode ser obtida por uma função do M ATLAB
1 utilizando-se
o arquivo V_1.m.
A transformada inversa de Laplace é definida pela relação:
[ ( )] ( ) ( ) ∫
+∞
−∞
− = =
c j
c j
st Fse ds j
Fs ft
L
1 para t > 0 (3)
sendo c a abscissa de convergência de que é uma constante real maior que as partes reais de todos os
pontos singulares de.
F ( ) s
F ( ) s
Usualmente não é efetuada esta integração; é feita a expansão de F ( s )em frações parciais de modo que a
transformada inversa de cada termo seja conhecida (de tabela).
Exemplo V.2: Determinar a transformada inversa de Laplace da seguinte função:
( ) ( )( )
a b s a s b
F s ≠ − −
= com
Dica: Notar que:
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
( s a )( s b )
A Bs Ab Ba
s a s b
As b Bs a
s b
B
s a
A
s a s b − −
para que a igualdade anterior seja válida A + B = 0 ⇒ B =− A
( ) ( ) a b
Ab Ba Ab Aa Aa b A −
1 1 1 e a b
B
, logo
( )( )
s − a s − b a b s a s b
1 Disponível em http://www.ee.pucrs.br/~haffner/circuitosb/matlab/
Como podem ocorrer descontinuidades para instantes diferentes do tempo t = 0 , tem-se:
( )
t a
t a u t a 1 ,
u ( t − a )
t
a
A transformada de Laplace da função degrau unitário deslocada no tempo é dada por:
[ ( )] ( ) (^)
−∞ −
∞ ∞ − − −
∞ − ∫ ∫ ∫ s
e
s
e
s
e ut a ut ae dt e dt e dt
s sa
a
st
a
st
a st st L 0 1
0 0
[ ( )] s
e ut a
− as
L − =
Exemplo V.3: Escreva uma expressão matemática para a função da Figura V.3, com auxílio da função degrau.
f ( t )
t
Figura V.3 – Função do exemplo.
Solução: As expressões das equações de reta que descrevem o comportamento da função da Figura V.3 são:
( )
t
t t
t t
t t
t
f t
A função degrau é utilizada para “ligar” e “desligar” os segmentos de reta para compor a função da figura:
( ) [ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )]
2 ( )^ (^44 ) (^1 )^ (^412 ) (^3 )^ (^28 ) (^4 )
tut t ut t ut t u t
f t tut ut t ut ut t ut ut
Solução alternativa: O gráfico da função anterior pode ser obtido por intermédio do MATLAB/S IMULINK
utilizando-se os arquivos V_3m.m e V_3.mdl.
V.3.2 – Função impulso unitário δ ( t )
A função impulso unitário pode ser representada no limite pelo pulso retangular da Figura abaixo, quando
ε → 0. O impulso unitário é zero, exceto para t = 0 , onde seu valor tende a infinito, porém sua área é
unitária:
( )
( ) ( ) 1
∫ ∫
−
+∞
−∞
ε
ε
tdt t dt
t t
δ ( t )
t
2 ε
- ε ε
δ ( ) t
t
Área=
Analisando a Figura V.2, observar-se que u ( ) t ( ) t
dt
d
= δ.
Como a função degrau unitário, o impulso também pode ser definido para instantes diferentes de zero:
( )
( ) ( ) 1
∫ ∫
−
+∞
−∞
ε
ε
δ δ
δ a
a
t adt t adt
t a t a
δ ( t − a )
t
2 ε
a– ε a+ ε a
δ ( t − a )
t
Área=
a
Uma propriedade importante da função impulso unitário é a propriedade de amostragem ou filtragem :
f ( ) ( t t − a ) dt = f ( ) a ∫
+∞
−∞
δ
Observar que a função impulso filtra tudo menos o valor de f ( t )em t = a , pois
f ( ) ( t t a ) dt f ( ) ( t t a ) dt f ( ) ( a t a ) dt f ( ) a ( t a ) dt f ( a
a
a
a
a
a
a
∫ ∫ ∫ ∫
−
−
−
+∞
−∞
ε
ε
ε
ε
ε
ε
δ δ δ δ )
A transformada de Laplace da função impulso unitário é dada por:
L[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0
0 0
∫ ∫ ∫ ∫
−
−
−
∞ −
∞ −
ε
ε
ε
ε
δ t δ te dt e δ tdt e δ tdt δ tdt
st st s
L[ δ ( ) t ] = 1
A transformada de Laplace da função impulso unitário deslocada no tempo é dada por:
[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
as
a
a
as
a
a
sa
a
a
st st t a t ae dt t ae dt e t adt e t adt e
−
−
−
−
−
−
−
∞ − − = − = − = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫
ε
ε
ε
ε
ε
ε
δ δ δ δ δ
0
L
[ ( )]
as t a e
− Lδ − =
Tabela V.1 – Transformadas de Laplace de algumas funções
Nome
Domínio do tempo:
f ( ) t , t > 0
Domínio da freqüência complexa:
F ( ) s
Co-seno cos^ ω t 2 2
s + ω
s
Seno sen ω t 2 2
s +
Rampa amortecida
at te
−
2
s + a
Polinômio amortecido
at
n
e n
t (^) −
! (^ )^
1
n s a
Co-seno amortecido e − at cos ω t
2 2
s a
s a
Seno amortecido (^) e t
at
sen ω
−
(^22)
s + a +
V.5 – Algumas propriedades da transformada de Laplace
V.5.1 – Linearidade
L[ A 1 f 1 ( ) t^ + A 2 f 2 ( ) t ]^ = A 1 L[^ f 1 ( ) t ]^ + A 2 L[^ f 2 (^ t )]^ = A 1 F 1 (^ s )^ + A 2 F 2 (^ s )
Prova :
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( )
A [ f ( ) t ] A [ f ( ) t ] AF ( ) s AF ( ) s
A f t A f t Af t A f t e dt A f te dt A f te dt
st st st
1 1 2 2 1 1 2 2
0
2 2 0
1 1 0
1 1 2 2 1 1 2 2
L L
L
∞ −
∞ −
∞ −
V.5.2 – Derivação no tempo
L sF ( ) s f ( ) 0
dt
df t = −
Prova : [ ( )] ( )
∞ − =
0
L f t f te dt
st
Integrando por partes ( )
udv = uv − vdu , com:
u = f ( ) t ⇒ ( )
dt dt
df t du = dft =
dv e dt ⇒
− st
s
e v
st
−
[ ( )] ( )
∞ −
∞ (^) − −
∞
−
0
0
0
0
L 0 0 e dt dt
dft
s s
e dt f f dt
dft
s
e
s
e f t f t
st
st s
v u st
[ ( )]
( ) ( )
dt
df t
s s
f f t L
L
Isolando o termo
( )
dt
dft L , tem-se:
( ) L s L[ f ( ) t ] f ( ) 0 sF ( ) s f ( ) 0 dt
df t = − = −
Para derivadas de ordem superior, tem-se:
( ) ( ) ( )
( )
dt
df s Fs sf dt
d ft 0 L 0
2 2
2
= −^ −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
2
2 1 2 0 0 0 L 0 −
−
−
− − − = − − − − −
n
n
n
n n n n n
n
dt
d f
dt
d f s dt
df s Fs s f s dt
d ft K
V.5.3 – Integração no tempo
( )
( )
s
Fs f xdx
t
∫ (^0)
L
V.5.4 – Deslocamento no tempo
t
f ( t )
t
f ( t – a )
a
L[ ( − ) ( − )] = ( ), > 0
− f t aut a e Fs a
as
V.5.5 – Mudança de escala no tempo
[ ( )] , 0
L >
= a a
s F a
f at
V.5.6 – Convolução no tempo
[ f^ ( ) t^ f ( ) t ] f ( ) x^ f (^ t x ) dx^ F ( ) sF^ ( ) s
t
1 2
0
L 1 * 2 L 1 2 =
∫
Exemplo V.4: Utilizando as transformadas e propriedades de tabela, determinar a transformada de Laplace da
função dente de serra da Figura a seguir.
t
f ( t )
T
A
Figura V. 4 – Função dente de serra.
Solução: Para descrever a função dente de serra será utilizada a função porta: g ( t − a ) = u ( t − a ) − u ( t − a − τ)
t
u ( t-a )
- u ( t-a- τ)
1
t
g ( t-a )
1
a+ τ
a (^) a+ τ
a
Deste modo, a função dente de serra pode ser expressa por:
( ) ( ( ) ( )) [ tu ( ) t tu ( t T )] T
A
tut ut T T
A
f t = − − = − −
Para utilizar diretamente a propriedade do deslocamento no tempo é necessário escrever a função no tempo,
na forma: [ f ( t a ) ( ut a )] e F ( ) s , logo:
− as L − − =
( ) [ ( ) ( ) ( )]
[ tu ( ) t ( t T ) ( u t T ) Tu ( t T )] T
A
tut t T Tut T T
A
f t
Utilizando as transformadas da Tabela V.1 e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se:
Função no tempo f ( ) t Transformada no domínio da freqüência complexa F ( ) s
tu ( ) t 2
1
s
( t − T ) ( ut − T ) 2
1
s
e
− Ts
Tu ( t − T ) s
Te
− Ts^1
Daí, a transformada da função dente de serra é:
( ) [ ( ) ]
Ts Ts Ts Tse Ts
A
s
Te s
e T s
A
F s
− − − = − −
2 2 2
Solução alternativa: A transformada inversa de Laplace pode ser obtida por uma função do MATLAB
utilizando-se o arquivo V_4.m.
V.6 – Teoremas do valor final e do valor inicial
Os teoremas do valor final e do valor inicial são úteis porque permitem prever o comportamento de f ( t )em
t = 0 e t = ∞a partir de F ( ) s.
V.6.1 – Teorema do valor final (TVF)
De acordo com o teorema do valor final,
f ( ) t sF ( ) s t s 0
lim lim →∞ →
ou seja, o comportamento em regime permanente de f ( t )é o mesmo de sF ( s )na vizinhança de s = 0.
Condições nas quais o TVF é válido:
- f ( ) t e sua primeira derivada
( )
dt
df t possuam transformada de Laplace;
- f ( ) f ( ) t tem de existir. t →∞
∞ =lim
Exemplo V.5: Utilizando o TVF, determinar o valor de f ( t^ )para t →∞.
f^ ( ) t^ e tu ( ) t
pt
cos ω
−
Dicas : Lembrar a propriedade do deslocamento em freqüência, [ e f ( t )] F ( s a )
at = +
− L.
[ ] 2 2
Lcos
s
s t
Solução: A transformada de Laplace da função f ( t )é dada por:
( ) ( )
(^22)
s p
s p Fs
Daí, o valor de f ( ) t para t →∞, é
f ( ) t sF ( ) s t s 0
lim lim →∞ →
( ) ( ) ( )
lim cos lim 0 0 2 2 2 2 2 2
^ =
→
−
p
p
p
p
s p
s p e tut s s
pt
t
Solução alternativa: O limite pode ser determinado através de uma função do MATLAB utilizando-se o
arquivo V_5.m.
V.7 – Determinação da transformada inversa
De uma maneira geral, em todos os circuitos lineares de parâmetros concentrados cujos componentes não
variam com o tempo as correntes e tensões no domínio da freqüência complexa são funções racionais de s , ou
seja, podem ser escritas na forma de uma razão entre dois polinômios do tipo:
( )
( )
( ) 1 0
1 1
1 0
1 1
b s b s bs b
as a s as a
Ds
Ns F s m m
m m
n n
n n
− −
− −
K
K
onde os coeficientes a e b são constantes reais e os expoentes m e n são números inteiros positivos. A razão
( )
D ( ) s
N s
é chamada de função racional própria se. Neste caso, pode ser expandida como uma soma de
frações parciais.
m > n
Se m ≤ n a razão
( )
D ( ) s
N s é denominada função racional imprópria e não pode ser expandida como uma soma
de frações parciais. Neste caso, é necessário fazer sua redução para uma soma de uma função polinomial mais
um resto que é uma função racional própria.
Exemplo V.7: Escrever a função racional imprópria como a soma de uma função polinomial mais um resto
que é uma função racional própria.
( ) 9 20
2
4 3 2
s s
s s s s Fs
Observar que m = 2 < n = 4.
Solução: Basta dividir o numerador pelo denominador, determinando a parte inteira e o resto da divisão.
30 100
10 90 200
10 120 300
4 36 80
4 46 200 300
9 20 4 10
13 66 200 300 9 20
2
2
3 2
3 2
4 3 2 2
4 3 2 2
− − −
− − −
− − − + +
s
s s
s s
s s s
s s s
s s s s s
s s s s s s
Parte inteira: 4 10 Resto:
2 s + s + 30 s + 100
Tem-se, então:
( ) 9 20
2
2
s s
s Fs s s
Observar que a transformada inversa do termo polinomial 4 10 é trivial e termo
2 s + s + 9 20
2
s s
s é uma
função racional própria.
Solução alternativa: O cálculo anterior pode ser realizado através de uma função do MATLAB utilizando-se
o arquivo V_7.m.
Assim a transformada inversa de funções racionais recai sempre na expansão em frações parciais de funções
racionais próprias.
V.7.1 – Expansão em frações parciais de funções racionais próprias
O primeiro passo para expandir uma função racional própria em frações parciais é escrever um termo ou uma
série de termos para cada uma das raízes do polinômio do denominador D ( s ):
1 termoparacadaraiz simples
r termos paracadaraizdemultiplicidade r
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
678
K
644 4444744 44448
K L
termos 1 termo
1
1 2 1
12
1
11
1 m
m r
r
m
r s p
K
r
s p
K
s p
K
s p
K
s p s p
Ns
Ds
Ns F s −
−
−
−
= − −
onde p 1 (^) , p 2 ,L, pm são as raízes do polinômio do denominador que podem ser números reais ou complexos.
Exemplo V.8: Determinar os termos da expansão em frações parciais da função:
( ) ( ) ( 5 7 3 )
4 3 2 3 2
ss s s
s
s s s s
s Fs
Solução: Determinando as raízes do polinômio do denominador, tem-se:
s
Deste modo a função pode ser escrita da seguinte forma:
( ) ( )( )
2 3 1
ss s
s Fs
Como duas raízes distintas e uma raiz múltipla com r = 2 , serão quatro os termos da expansão em frações
parciais:
( ) ( )( ) ( )
2
1 2 31 32 2 3 1 3 1 1
s
K
s
K
s
K
s
K
ss s
s Fs
Solução alternativa: As raízes e os coeficientes da expansão em frações parciais podem ser obtidos através
de uma função do MATLAB utilizando-se o arquivo V_8.m.
A determinação do numerador de cada uma das frações parciais depende do tipo de raiz a que se refere o termo,
sendo quatro as possibilidades existentes:
Possibilidade Tipo Multiplicidade
1 Real Simples
2 Real Múltipla
3 Complexa conjugada Simples
4 Complexa conjugada Múltipla
Solução (continuação):
( )
( )
( ) ( )( ) ( )( ) 6
lim 2 3
lim 0 lim 0 0 0
→ → → s s
s
ss s
s s Ds
Ns K s s s s
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) 10
lim 2 3
lim 2 lim 2 2 2 2
→ → → ss
s
ss s
s s Ds
Ns K s s s s
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) 15
lim 2 3
lim 3 lim 3 3 3 3
→− →− →− ss
s
ss s
s s Ds
N s K s s s s
De modo semelhante, pode-se fazer com que os numeradores da expressão abaixo sejam iguais, para
s = 0 , s = 2 e s =− 3 :
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( 2 )( 3 )
ss s
K s s K ss Kss
ss s
s Fs
ou seja,
K 1 (^) ( s − 2 )( s + 3 ) + K 2 s ( s + 3 ) + K 1 s ( s − 2 ) = s + 1 , para s = 0 , s = 2 e s =− 3
s = 0 K 1^ (^0 −^2 )(^0 +^3 )^ + K 20 (^0 +^3 )^ + K 30 (^0 −^2 )^ =^0 +^1 6
1 6
1 K 1 = − =−
s = 2 K 1 (^) ( 2 − 2 )( 2 + 3 ) + K 22 ( 2 + 3 ) + K 32 ( 2 − 2 ) = 2 + 1 10
3 K 2 =
s =− 3 K 1 ( − 3 − 2 )(^ − 3 + 3 )^ + K 2 (^ − 3 )(^ − 3 + 3 )^ + K 3 (^ − 3 )(^ − 3 − 2 )^ =− 3 + 1 15
2 15
2 3 =− K =−
Assim, a função expandida em frações parciais é dada por:
( ) 3
3 2
s s s s s s
s Fs
Da Tabela V.1, tem-se:
u^ ( ) t s
− ^1
L
1
e u^ ( ) t s a
− − at
L
1
Portanto, a transformada inversa é dada por:
[ ( )] e e u ( ) t s s s
F s
t t
− 1 − 1 2 − 3
15
L L
Solução alternativa: A transformada inversa de Laplace pode ser obtida através de uma função do M ATLAB
utilizando-se o arquivo V_9.m.
V.7.3 – Raízes reais repetidas
A determinação do coeficiente K de maior grau relativo à raiz de multiplicidade r é realizada da mesma forma
que as raízes reais simples, ou seja, multiplica-se ambos os lados por ( )
r s − p. Os demais r − 1 coeficientes são
obtidos através das r − 1 derivadas sucessivas da expressão obtida para a determinação do termo de grau r.
Assim, para a raiz p 1 , tem-se:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (^ )^ 1
1
1 2 1
12
1
11 1
1
1
1
s p
s p
K
s p
K
s p
K
s p
K
s p
s p
s p s p
Ns s p m
m r
r r
m
r
r
− K K
L
Determinação de K 1 r :
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
1 12 1
3 11 1
2 1 1 1
1 s p
s p
K K s p s p K s p K s p
s p
s p s p
Ns
m
r r r m r m r m =
−
= + − − + − + + −
=
− −
− − −
−
K L
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
r m
r r r m r mr m
K p p
K K p p p p K p p K p p p p p p
N p 1 1
1 12 1 1
3 11 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1
1
0
=
−
− + − + + −
=
= + − − −
− − −
−
K
64748
L
( )
( (^) mr ) ( (^) m )
r p p p p
N p K − −
1 − 1
1 1 L
De um modo mais geral, para a raiz pi de multiplicidade r , tem-se:
( )
( )
( )
→ (^) Ds
Ns K s p
r i s p
ir i
lim (7a)
e
( )
( )
( )
( )
−
−
→ (^) Ds
Ns s p ds
d
r j
K
r r j i
rj
s p
ij i
lim
!
para j = r − 1 , r − 2 ,L, 1 (7b)
e a transformada inversa de cada um dos r termos referentes ao polo real de multiplicidade r é dada por:
( ) (^ )^
e u ( ) t n
t K s p
K (^) pt
n
n 1!
L
1 1
−
− −
Exemplo V.10: Determinar a transformada inversa da seguinte função racional: ( )
( )
( 1 ) ( 2 )
3
s s
s Fs
Dica: Lembrar que: 2 v
vdu udv
v
u d
d ( uv ) = udv + vdu
V.7.4 – Raízes complexas conjugadas distintas
Os coeficientes relativos às raízes complexas conjugadas podem ser obtidos de forma semelhante aos das raízes
reais, tratando o par conjugado como duas raízes distintas e operando com números complexos. No entanto, é
possível operar com o par conjugado, como será mostrado a seguir.
O par conjugado p 1 = σ + j ω e p =σ − j ωque é proveniente do seguinte polinômio:
1
( )( ) [( ) ] [( ) ] ( )
s − p 1 s − p 1 = s −σ − j ω⋅ s −σ + j ω = s −σ + ω
origina o seguinte termo na expansão em frações:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
11 12
2 2
11 2 2
11 12 11
2 2
11 11 12 2 2
11 12
s
K K
s
K s
s
K K
K s
s
K s K K
s
K s K
cuja transformada inversa corresponde a:
( )
( )
( ) ( )
− +^ −
t
K K
e K t s
K K
s
K s
s
K s K t
σ L L cos sen
11 12 2 2 11
11 12
(^22)
(^111) (^22)
(^11112)
Os coeficientes K 11 e K 12 são obtidos resolvendo-se a seguinte equação complexa:
( )( )
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) 1
1 1
1
1 1
1 1
s p
s p
K
s p s p
K s K s p s p
s p
s p s p s p
Ns s p s p m
m
m =
− − K
L
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) 1
2
1
2 s p s p
K
s p
K
K s K s p s p
s p
s p s p
Ns
m
m
m
m
m m =
−
−
K
L
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
11 1 12 1 2 1
0
11 1 12 1 1 1 2 1
1 K p K p p
K
p p
K
K p K p p p p p p p p
N p
m
m
m
m
m m
−
=
−
K
L
( )
( p pm ) ( p pm )
N p K p K − −
1 − 2 1
1 11 1 12 L
De um modo mais geral, tem-se:
[ ] ( )( )
( )
( )
[( ) ]
( )
( )
→ → → Ds
Ns s Ds
Ns K s K s p s p i s pi s pi
i i s p
*^22
lim 1 2 lim 1 1 lim σ ω (8)
e a transformada inversa de cada um destes conjuntos é dada por:
( )
( )
( ) ( )
tu ( ) t
K K
e K t s
K K
s
K s
s
K s K i i i
t
i i
i i i
− +^ −
σ L L cos sen
1 2 2 2 1
1 2
2 2
(^11) 2 2
(^112)
Exemplo V.11: Determinar a transformada inversa da seguinte função racional: ( )
( )
( 6 25 )( 6 )
2
s s s
s Fs
Dica : Lembrar que:
( )
e t s a
s a at
L cos 2 2
− 1 − =
( )
e t s a
at
L sen 2 2
− 1 − =
Solução: Expandindo F ( ) s em frações parciais, obtém-se:
( )
( )
( )( ) (^) ( )
( )
( ) ( 3 ) 4 6
2 2
11 12
2 2
2 11 2 2
11 12 2
s
K
s
K K
s
K s
s
K
s
K s K
s s s
s Fs
pois as raízes de 6 25 são:.
2 s + s + p 1 (^) =− 3 ± j 4
De acordo com a expressão (8) tem-se:
[ ] (^ )^
( )
( )( )
( )
( )
( ) 64 48 9 16
lim 6 25 6
lim lim 6 25
11 11 12
(^234)
2
3 4
11 12 3 4
j
j
j
j
j
j
j
j K j K K
s
s
s s s
s K s K s s s j s j s j
→−+ →−+ →−+
Separando as partes real e imaginária, tem-se:
11
11 12
j K j
K K
12 11
11
K K
K
Para a raiz simples, utiliza-se a expressão (5):
( )
( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
lim 6 25 6
lim 6 (^2 )
→− →− s s
s
s s s
s K s s s
Assim, a função pode ser expressa por:
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) 6
12
3 4
16 4
3 4
12 3
6
12
3 4
4 4
312 100
3 4
12 3
6 25 6
100 3 (^2 22222222) +
−
⋅
=
−
− ⋅ +
=
= s s s
s
s s s
s
s s s
s Fs
cuja transformada inversa é:
[ ( )]
( )
( ) ( )
[ e ( t ) e ( t ) e ] ( ) ut s s s
s F s
3 t 3 t 6 t 2 2 2 2
1 1 12 cos 4 16 sen 4 12 6
L L
− − − − − = + −
[ F ( ) s ] [ e [ ( t ) ( t )] e ] u ( t )
1 3 t 6 t L 12 cos 4 16 sen 4 12
− − − = + −
Solução alternativa: A transformada inversa de Laplace pode ser obtida através de uma função do M ATLAB
utilizando-se o arquivo V_11.m.
