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ANÁLISE DE ALGORITMOS
REPOSITÓRIO DE EXERCÍCIOS
www.ime.usp.br/~pf/analise_de_algoritmos/
Paulo Feofiloff
Departamento de Ciência da Computação Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo
7 de novembro de 2018
Este é o meu repositório de exercícios Análise de Algoritmos. A maioria dos exercícios foi ex- traída da primeira e segunda edições do livro de Cormen, Leiserson, Rivest & Stein. Alguns exer- cícios vieram dos livros de Parberry, Kleinberg & Tardos, Aho & Ullman, Manber, Aho, Hopcroft & Ullman, Brassard & Bratley, Bentley. Alguns poucos exercícios foram extraídos da competição Programming Challenges. Seguem as siglas que usaremos para identificar os livros:
CLR Cormen, Leiserson & Rivest, primeira edição [CLR91] CLRS Cormen, Leiserson, Rivest & Stein, segunda edição [CLRS01] Par Parberry [Par95] KT Kleinberg & Tardos [KT05] Mnb Manber [Man89] AU Aho & Ullman [AU95] AHU Aho, Hopcroft & Ullman [AHU74, AHU87] PC Programming Challenges [Pro, SR03] BB Brassard & Bratley [BB96] Bent1988 Bentley [Ben00] Bent2000 Bentley [Ben88] Sed Sedgewick [Sed98]
Sumário
- 1 Preliminares e ferramentas
- 1.1 Pseudocódigo
- 1.2 Somatórios, potências e logaritmos
- 1.3 Inversas composicionais
- 1.4 Provas por indução matemática
- 1.5 Valor absoluto e módulo
- 1.6 Piso e teto
- 1.7 Ordens assintóticas: O, Ômega e Teta
- 1.8 Uso avançado da notação O
- 1.9 Probabilidades
- 2 Recursão
- 3 Recorrências
- 3.1 Solução exata de recorrências
- 3.2 Recorrências “sem base”
- 3.3 Recorrências assintóticas
- 4 Medida de desempenho de algoritmos
- 4.1 Algoritmos iterativos
- 4.2 Algoritmos recursivos
- 4.3 Generalidades
- 5 Alguns problemas simples
- 6 Dividir para conquistar
- 6.1 Busca binária
- 6.2 Mergesort
- 6.3 Quicksort
- 6.4 Mediana generalizada
- SUMÁRIO
- 7 Heap
- 7.1 Construção de um heap
- 7.2 Heapsort
- 7.3 Filas de prioridades
- 8 Árvores binárias
- 8.1 Árvores binárias de busca
- 8.2 Árvores rubro-negras
- 9 Análise probabilística e algoritmos aleatorizados
- 10 Programação dinâmica
- 10.1 Generalidades
- 10.2 Multiplicação de cadeias de matrizes
- 10.3 Problema da mochila
- 10.4 Subsequência comum máxima
- 10.5 Mais programação dinâmica
- 11 Estratégia gulosa
- 11.1 Instâncias especiais do problema da mochila
- 11.2 Intervalos disjuntos
- 11.3 Códigos de Huffman
- 11.4 Outros problemas
- 12 Análise amortizada
- 13 Conjuntos disjuntos dinâmicos
- 13.1 Union by rank
- 13.2 Path compression
- 13.3 Union by rank & path compression
- 14 Grafos não-dirigidos
- 15 Árvores geradoras de peso mínimo
- 15.1 Algoritmo de Kruskal
- 15.2 Algoritmo de Prim
- 15.3 Outras questões
- 16 Caminhos de peso mínimo
- 17 Grafos dirigidos
- SUMÁRIO
- 17.1 Digrafos acíclicos e componentes fortes
- 18 Ordenação em tempo linear
- 18.1 Algoritmos lineares de ordenação
- 18.2 Cota inferior para o problema da ordenação
- 19 Problemas completos em NP
- 19.1 Questões mais abstratas
- Bibliografia
- Índice Remissivo
Capítulo 1
Preliminares e ferramentas
“Os logaritmos permanecem importantes para muitas aplicações científicas e técnicas.” — pérola do jornal O Estado de São Paulo (agosto de 1998)
1.1 Pseudocódigo
Exr 1.1 Reescreva a função abaixo em linguagem C.
FUNC (A, n) 1 para j ← 2 até n faça 2 ch ← A[j] 3 i ← j − 1 4 enquanto i ≥ 1 e A[i] > ch faça 5 A[i + 1] ← A[i] 6 i ← i − 1 7 A[i + 1] ← ch
Exr 1.2 Reescreva a função abaixo em pseudocódigo (notação CLR):
int funcao (int n, int v[]) { int i, j; i = 0; while (i < n) { if (v[i] != 0) i++; else { for (j = i+1; j < n; j++) v[j-1] = v[j]; n--; } } return n; }
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES E FERRAMENTAS 7
1 S ← 0
2 para i ← 1 até n faça 3 j ← i 4 enquanto j > 0 faça 5 S ← S + 1 6 j ← ⌊j/ 2 ⌋
Exr 1.13 Seja x um número real diferente de 1. Mostre que x^0 + x^1 + x^2 + · · · + xn^ = xn+1^ − 1 x − 1
Exr 1.14 Seja x um número real tal que |x| < 1. Mostre que x^0 + x^1 + x^2 + x^3 + · · · = 1/(1 − x). Mostre que 1 x^0 + 2x^1 + 3x^2 + · · · = 1/(1 − x)^2. Mostre que 1 x^1 + 2x^2 + 3x^3 + · · · = x/(1 − x)^2.
Exr 1.15 Dê uma fórmula fechada para a soma 22 + 2^4 + 2^6 + · · · + 2^2 k.
Exr 1.16 Prove que 13 + 2^3 + 3^3 + · · · + (n − 1)^3 + n^3 = Θ(n^4 ).
Exr 1.17 Prove que 1 + n + n^2 + n^3 + · · · + n^8 + n^9 = Θ(n^9 ).
1.3 Inversas composicionais
Uma função g é inversa composicional de uma função f se f (g(n)) = g(f (n)) = n. Em outras palavras, y = f (x) se e só se x = g(y). (Estou supondo, ao longo desta seção, que todas as funções estão definidas sobre o conjunto dos números reais positivos.) Leia CLRS sec. 3.2.
Exr 1.18 Dê as inversas composicionais das funções^1 f (n) = n^3 , f (n) = n^1 /^5 ≡ 5
n e f (n) = 1/n.
Exr 1.19 Dê as inversas composicionais das funções 5 n, log 3 n e lg n.
Exr 1.20 [CLRS 3.2 ] Qual a relação entre log 8 n e log 2 n? 2
Exr 1.21 Dê as inversas composicionais das funções log 3 log 3 n ≡ log 3 (log 3 n) e log^23 n ≡ (log 3 n)^2.
Exr 1.22 Desenhe gráficos das funções log 2 n e 2 n^ definidas sobre os inteiros positivos.
1.4 Provas por indução matemática
Indução matemática mirim: Suponha P (n) e prove P (n + 1). Indução matemática de gente grande: Suponha P (m) para todo m < n e prove P (n).
(^1) Em texto sem formatação (numa mensagem de e-mail, por exemplo), escreva “nˆ{1/5}” no lugar de “n 1 / (^5) ”. (^2) Em texto sem formatação, escreva “log_8 n” no lugar de “log 8 n”.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES E FERRAMENTAS 8
Exr 1.23 Prove que 1 + 2 + 2^2 + · · · + 2n^ = 2n+1^ − 1 para todo número natural n.
Exr 1.24 Prove que para qualquer número natural não-nulo n tem-se 12 + 2^2 + 3^2 + · · · + n^2 = 1 6 n(n^ + 1)(2n^ + 1).
Exr 1.25 Veja exercícios 11.23 e 8.2.
Exr 1.26 Prove que 22 + 2^4 + 2^6 + · · · + 2^2 k^ = (4/3)(2^2 k^ − 1).
Exr 1.27 Prove que n ≤ 2 n/^2 quando n ≥ 4. Prove que lg n = n/ 2 quando n ≥ 4.
Exr 1.28 Prove que lg n ≤
n.
1.5 Valor absoluto e módulo
Exr 1.29 Suponha que a ≥ b e x ≥ y. Mostre que |x − a| + |y − b| ≤ |x − b| + |y − a|.
1.6 Piso e teto
Exr 1.30 Seja x um número real. Diga, da maneira mais precisa que puder, o que significam as expressões “⌊x⌋” e “⌈x⌉”.^3
Exr 1.31 Prove ou desprove a seguinte proposição: para todo par x, y de números racionais, x ≤ y se e somente se ⌊x⌋ ≤ ⌊y⌋.
Exr 1.32 Suponha que n/ 5 < m/ 5. É verdade que ⌊n/ 5 ⌋ < ⌊m/ 5 ⌋?
Exr 1.33 Suponha que k é inteiro e k > n/ 5. É verdade que k ≥ 1 + ⌊n/ 5 ⌋?
Exr 1.34 Sejam n, a e b números inteiros positivos. Suponha que b > 4. É verdade que ⌊n/a− 1 /b⌋ = ⌊n/a⌋?
Exr 1.35 É verdade que ⌊x⌋ + ⌊y⌋ = ⌊x + y⌋ para quaisquer x e y?
Exr 1.36 É verdade que ⌊x⌋ + 1 = ⌈x + 1⌉ para qualquer x?
Exr 1.37 Mostre que ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ ⌊x + y⌋, com igualdade se e somente se x + y − 1 < ⌊x⌋ + ⌊y⌋. Encontre uma fórmula análoga para ⌈·⌉.
Exr 1.38 Suponha que c é um número inteiro e x um número racional. É verdade que ⌈cx⌉ = c⌈x⌉?
Exr 1.39 Use a notação ⌊ ⌋ para representar o resto da divisão de n por 7.
(^3) Em texto sem formatação, escreva “piso(x)” ou “floor(x)” no lugar de “⌊x⌋”.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES E FERRAMENTAS 10
Exr 1.54 Mostre que ⌊lg n⌋ é o maior inteiro k tal que 2 k^ ≤ n. Mostre que ⌈lg n⌉ é o menor inteiro k tal que 2 k^ ≥ n.
Exr 1.55 Escreva uma função que calcule ⌊lg n⌋. Escreva sua função em pseudocódigo. Escreva uma versão iterativa e uma recursiva (veja capítulo 2).
Exr 1.56 Escreva um algoritmo que calcule ⌈lg n⌉.
Exr 1.57 Prove que para qualquer inteiro n maior que 1 tem-se ⌊lg⌊ n 2 ⌋⌋ = ⌊lg n 2 ⌋.
Exr 1.58 É verdade que ⌊lg n⌋ ≥ lg(n − 1) para todo inteiro n ≥ 2? É verdade que ⌈lg n⌉ ≤ lg(n + 1) para todo inteiro n ≥ 1?
Exr 1.59 [Importante ] É verdade que ⌈lg(n + 1)⌉ = ⌊lg n⌋ + 1 para todo inteiro n > 1? É verdade que ⌊lg(n − 1)⌋ = ⌈lg n⌉ − 1 para todo inteiro n > 1?
Exr 1.60 Mostre que para todo número real x ≥ 1 tem-se ⌊lg x⌋ ≤ lg⌊x⌋ ≤ lg x ≤ lg⌈x⌉ ≤ ⌈lg x⌉.
Exr 1.61 [Soma de teto de log ] Prove que
Pn k=2⌈lg^ k⌉^ =^ n⌈lg^ n⌉ −^2 ⌈lg n⌉ (^) + 1.
Exr 1.62 Para cada número racional positivo x, seja f (x) o número
x. É verdade que ⌊f (x)⌋ ≤ f (⌊x⌋) ≤ f (x) ≤ f (⌈x⌉) ≤ ⌈f (x)⌉.
Exr 1.63 Para cada número racional positivo x, seja f (x) o número 2 x. É verdade que ⌊f (x)⌋ ≤ f (⌊x⌋) ≤ f (x) ≤ f (⌈x⌉) ≤ ⌈f (x)⌉.
Exr 1.64 [Maioria simples ] Considere a seguinte proposição: “O candidato estará eleito se obtiver metade mais um dos votos válidos”. Considere esta outra proposição: “O candidato estará eleito se obtiver mais da metade dos votos válidos”. Compare e critique as duas proposições.
1.7 Ordens assintóticas: O, Ômega e Teta
Leia CLRS seção 3.1. Veja também seções 3.4 e 3.5 de Aho e Ullman [AU95], Veja também seções 2. e 2.4 de R. Sedgewick [Sed98]. Ao ver uma expressão como n + 10 ou n^2 + 1, a maioria das pessoas pensa automaticamente em valores pequenos de n, valores próximos de 0. A análise de algoritmos faz o contrário: ignora os valores pequenos e concentra-se nos valores enormes de n. Escrevemos f = O(g) (diga “f é O-grande de g”) se existe uma constante positiva c tal que 0 ≤ f (n) ≤ c g(n) para todo n suficientemente grande. Mais formalmente: dadas funções f e g, dizemos que f = O(g) se existem constantes c e n 0 tais que 0 ≤ f (n) ≤ c g(n) para todo n ≥ n 0. Uma função f é assintoticamente não-negativa se existe n 1 tal que f (n) ≥ 0 para todo n ≥ n 1. Com esse conceito, podemos dar a seguinte definição equivalente de O(): dadas funções assintoti- camente não-negativas f e g, dizemos que f = O(g) se existem constantes positivas c e n 0 tais que f (n) ≤ c g(n) para todo n ≥ n 0.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES E FERRAMENTAS 11
Notação: Em lugar de escrever “f = O(g)” podemos dizer “f é O(g)” ou “f está na ordem de g” ou “f é da ordem de g”. Podemos também escrever “f ∈ O(g)”, uma vez que O(g) é um conjunto de funções. Escrevemos f = Ω(g) (diga “f é Ômega grande de g”) se existe uma constante positiva c tal que 0 ≤ c g(n) ≤ f (n) para todo n suficientemente grande. Dizemos que f = Θ(g) se f = O(g) e f = Ω(g).
Exr 1.65 Discuta a seguinte afirmação: “A função 2 n^2 + 100n − 1 está em O(n^2 ) com c = 4”, Discuta a seguinte afirmação: “A função 2 n^2 + 100n − 1 está em O(n^2 ) para n ≥ 100 ”.
Exr 1.66 Discuta a seguinte afirmação: “O consumo de tempo do algoritmo X é pelo menos O(n lg n)”. Discuta a seguinte afirmação: “A complexidade do algoritmo X é pelo menos O(n lg n)”.
Exr 1.67 Seja f a função definida pela seguinte recorrência: f (1) = 1 e f (n) = f (n − 1) + 2n para todo número natural n ≥ 2. Quero provar que f (n) = O(n^2 ). Discuta a seguinte prova:
A prova é por indução em n. Se n = 1 então temos f (n) = f (1) = 1 ≤ n^2 = Oh(n^2 ). Suponha agora que n > 1. Temos então f (n) = f (n − 1) + 2n ≤ 2(n − 1)^2 + 2n = 2 n^2 − 4 n + 2 + 2n = 2n^2 − 2 n + 2 ≤ 2 n^2 = O(n^2 ).”
Exr 1.68 Você quer tomar um empréstimo para comprar uma casa. Você quer escolher entre dois bancos, A e B. No banco A, a prestação do mês n é n^2. No banco B, a prestação do mês 4 n + 8. Qual você prefere?
Exr 1.69 Exiba três pares (c, n 0 ) tais que 100 n^2 ≤ c 1001 n^3 para todo n ≥ n 0.
Exr 1.70 Seja f a função definida por f (n) = 3n^2 + 7n − 8 para todo inteiro não-negativo n. Mostre que f (n) = O(n^2 ).
Exr 1.71 Mostre que 100 n = O(2n), que n + 100 = O(n), e que 100 n = O(2n^2 + n).
Exr 1.72 Prove que n^2 + 999n + 9999 = O(n^2 ).
Exr 1.73 É verdade que 1001 n^2 − 999 n − 9999 = O(n)?
Exr 1.74 É verdade que 10
n + 10 = O(n)? É verdade que 101 n − 100 = O(
n)?
Exr 1.75 É verdade que lg n^10 = O(lg n)?
Exr 1.76 Mostre que lg n = O(log 3 n) e log 3 n = O(lg n).
Exr 1.77 Prove que 12 n(n − 1) = O(n^2 ).
Exr 1.78 Prove que 1001 n^3 = O(n^2 ).
Exr 1.79 Prove que n = O(2n).
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES E FERRAMENTAS 13
Exr 1.102 Prove que ⌊lg n⌋ = O(lg n)? É verdade que ⌈lg n⌉ = O(lg n)?
Exr 1.103 Mostre, da maneira mais direta que puder, que
1 100 n^ lg^ n^ −^100 n
não é O(n).
Exr 1.104 [CLRS 3.1-2, simplificado ] Mostre que (n + 10)^5 = O(n^5 ).
Exr 1.105 [CLRS 3.1-2 ] Seja k um inteiro positivo. Mostre que (n + 1)k^ = Θ(nk).
Exr 1.106 Mostre que
n + 100 = Θ(
n)
Exr 1.107 Encontre um inteiro positivo k tal que 2 n^ é O(nk).
Exr 1.108 [CLR 2.1-4 ] É verdade que 2 n^ = O(2n/^2 )? É verdade que 22 n^ = O(2n)?
Exr 1.109 É verdade que 2 n+1^ = Θ(2n)? É verdade que 3 n^ = Θ(2n)? É verdade que 22 n^ = Θ(2n)?
Exr 1.110 É verdade que 2 lg^ n^ = O(n)? É verdade que 2 log^3 n^ = O(n)?
Exr 1.111 É verdade que 2 log^3 n^ = O(2log^10 n)?
Exr 1.112 É verdade que n é O(log^2 n)?
Exr 1.113 É verdade que lg n = Ω(n)? É verdade que 2 lg (^2) n = Θ(nlg^ n)?
Exr 1.114 É verdade que
n = O(log^2 n)?
Exr 1.115 Discuta a seguinte afirmação: “n é O(2n) para n ≥ 4 ”?
Exr 1.116 Critique a seguinte afirmação: “f (n) é O(n^2 ) para n ≥ 100 ”?
Exr 1.117 Discuta a seguinte afirmação: “n^2 + n = O(n^2 ) para c = 2 e N = 1”.
Exr 1.118 Sejam f e g funções que levam números racionais positivos em números reais positivos. Suponha que f não é O(g). É verdade então que g = O(f )?
Exr 1.119 [CLR 2-4 simplificado ] É verdade que 1 /2 + 2/ 22 + 3/ 23 + · · · + n/ 2 n^ = O(1)?
Exr 1.120 Sejam f e g duas funções que levam números positivos em números positivos. Refor- mula a afirmação “f não é O(g)” sem usar a expressão “não existe”.
Exr 1.121 Mostre que m⌈n/m⌉ = Θ(m + n). É verdade de n⌈n/m⌉ = Θ(m)?
Exr 1.122 Mostre que n lg n = Ω(n). Mostre que n^2 − 100 n − 200
n = Θ(n^2 ).
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES E FERRAMENTAS 14
Exr 1.123 Mostre que n lg n − ⌈ 2 n/ 3 ⌉ − lg n + 4 = Ω(2n lg n).
Exr 1.124 Seja f a função definida assim para todo inteiro positivo k:
f (4k) = 0, f (4k + 1) = 1, f (4k + 2) = 0, f (4k + 3) = − 1.
A função n2+f^ (n)^ é O(n^2 )? é Ω(n^2 )? Justifique.
Exr 1.125 Suponha que T (n) = O(1). Mostre que existe c tal que T (n) ≤ c para todo n ≥ 1.
Exr 1.126 Sejam T e f funções tais f (n) > 0 para n ≥ 1 e T (n) = O(f (n)). Mostre que existe c tal que T (n) ≤ c f (n) para todo n ≥ 1.
1.8 Uso avançado da notação O
Algumas expressões que se usam com notação O:
- “O(f ) = O(g)” significa “qualquer função f ′^ em O(f ) também está em O(g)” (em outras palavras, “se f ′^ = O(f ) então f = O(g)”) (seria, portanto, mais correto escrever “O(f ) ⊆ O(g)”);
- “g(n) = f (n) + O(n)” significa “existe uma função h(n) em O(n) tal que g(n) = f (n) + h(n)”;
- “O(f )+O(g) = O(f +g)” significa “para qualquer f ′^ em O(f ) e qualquer g′^ em O(g), a função f ′^ + g′^ está em O(f + g)”.
Exr 1.127 Qual é o significado exato da afirmação “g(n) = f (n) + O(n)”?
Exr 1.128 Suponha que a função f leva números inteiros em números inteiros. É verdade que 2 f (n) + 3 = O(f (n))?
Exr 1.129 O que significa a afirmação “O(n^2 ) + O(1) = O(n^2 )”? Ela é verdadeira? Justifique.
Exr 1.130 O que significa a afirmação “O(n^2 + 9n) = O(n^2 )”? Ela é verdadeira?
Exr 1.131 O que significa a afirmação “O(f ) + O(g) = O(f + g)”? Ela é verdadeira?
Exr 1.132 Mostre que nO(f (n)) ⊆ O(nf (n)). Mostre que O(nf (n)) ⊆ nO(f (n)).
Exr 1.133 Suponha que f = O(g). Prove que g = Ω(f ).
Exr 1.134 Suponha que f (n) = Ω(g(n)) e g(n) = O(f (n)). É verdade que g(n) = O(n)?
Exr 1.135 Suponha que f (n) = Ω(g(n)) e g(n) = O(f (n)). É verdade que g(n) = Ω(n)?
Exr 1.136 Suponha que f (n) = Ω(g(n)). É verdade que 2 f^ (n)^ = O(2g(n))?
Exr 1.137 Suponha que log f = O(log g). É verdade que f = O(g)?
Capítulo 2
Recursão
A recursão é uma técnica que resolve uma instância de um problema a partir das soluções de instâncias menores do mesmo problema. A idéia de qualquer algoritmo recursivo é simples: se a instância é pequena, resolva-a direta- mente, como puder; se a instância é grande, reduza-a a uma instância menor. Portanto, recursão é essencialmente o mesmo que indução matemática.
2.1 Algorimos recursivos
Exr 2.1 [Máximo de um vetor ] Escreva uma função recursiva que encontre o valor de um ele- mento máximo^1 de um vetor de A[1.. n]. Para que valores de n o problema faz sentido? (Use pseudocódigo ou linguagem C.)
Exr 2.2 Escreva um algoritmo recursivo que calcule a soma dos elementos de um vetor. Use pseu- docódigo CLR.
Exr 2.3 Problema: dado um vetor A[1.. n] de números inteiros, calcular o produto dos elementos não-nulos do vetor. Escreva um algoritmo recursivo que resolva o problema. (Declare claramente as eventuais hipóteses que seu algoritmo faz sobre os dados.)
Exr 2.4 Escreva um algoritmo recursivo eficiente que calcule kn^ para k e n inteiros positivos.
Exr 2.5 Critique o seguinte algoritmo (n é inteiro não-negativo):
XIS (n) 1 se n = 0 2 então devolva 0 3 senão devolva XIS (⌊n/ 3 ⌋ + 1)
Exr 2.6 Escreva funções recursivas que calculem ⌊lg n⌋ e ⌈lg n⌉. (Veja 1.55 e 1.56.)
(^1) Eu não disse “do maior elemento” pois o vetor pode ter mais de um máximo.
CAPÍTULO 2. RECURSÃO 17
Exr 2.7 [Busca linear, CLRS 2.1-3 ] Escreva um algoritmo recursivo que verifique se v é elemento de um vetor A[p.. r]. (Para que valores de p e r o problema faz sentido?) O algoritmo deve devolver i tal que A[i] = v ou NIL se tal i não existe.^2
Exr 2.8 [Busca em vetor ordenado ] Dado um vetor crescente A[p.. r] e um número v, verificar se v é elemento do vetor. Escreva um algoritmo recursivo que resolva o problema. Faça com que o algoritmo devolva j tal que A[j] ≤ v < A[j + 1]
(isso é mais simples que devolver i tal que A[i] = v). Quais os valores possíveis de j? Escreva duas versões: uma de busca linear e outra de busca binária.
Exr 2.9 O algoritmo abaixo recebe um número v e um vetor crescente A[p.. r] com p ≤ r. Se v = A[j] para algum j em p.. r, o algoritmo promete devolver j; senão, promete devolver NIL.
EXERCÍCIO (v, A, p, r) 1 se p = r 2 então se A[p] = v então devolva p senão devolva NIL 3 senão q ← ⌊(p + r)/ 2 ⌋ 4 se A[q] ≤ v 5 então devolva EXERCÍCIO (v, A, q, r) 6 senão devolva EXERCÍCIO (v, A, p, q)
O algoritmo faz o que promete?
Exr 2.10 Suponha que um vetor A[1.. n] tem exatamente m elementos não-nulos e que os índices desses elementos são i 1 < i 2 < · · · < im. Escreva um algoritmo recursivo eficiente que tenha o mesmo efeito que a sequência de atribuições
A[1] ← A[i 1 ], A[2] ← A[i 2 ],... , A[m] ← A[im].
O seu algoritmo deve receber apenas n e A[1.. n] e devolver m.
Exr 2.11 Escreva um algoritmo recursivo que receba um inteiro não-negativo n e devolva as coor- denadas (i, j) de n na tabela abaixo. (Use notação CLRS.)
0 1 2 3 4... j 0 0 2 5 9 14 1 1 4 8 13 2 3 7 12 3 6 11 4 10 .. .
.. . i... n (^2) Acho que o algoritmo ficaria mais bonito se devolvesse p − 1 (ou r + 1) quando v não está em A[p.. r].
Capítulo 3
Recorrências
Uma recorrência é uma “fórmula” que define uma única função em termos d’ela mesma. Em outras palavras, uma recorrência é um algoritmo recursivo que calcula uma função. Resolver uma recorrência é obter uma “fórmula fechada” para a função que a recorrência de- fine. Nem sempre queremos uma fechada exata; às vezes uma fórmula “em termos de O” é sufici- ente. Veja CLRS secs.4.1–4.2. Mais uma observação prática: Como no bilhar, primeiro anuncie o que você vai provar e depois prove. (Veja também a página https://www.ime.usp.br/~pf/amostra-de-prova/.)
3.1 Solução exata de recorrências
Exr 3.1 Seja f a função definida sobre os inteiros positivos pela recorrência
f (1) = 1 f (n) = f (n − 1) + 3n + 1 para n ≥ 2.
Resolva a recorrência exatamente.
Exr 3.2 Seja f a função definida pela recorrência f (1) = 1, f (2) = 2 e
f (n) = f (n − 2) + 2 para n ≥ 2.
Resolva a recorrência exatamente.
Exr 3.3 Suponha que f (1) = 1 e f (n) = f (n − 1) + 2n para n = 2, 3 , 4 ,... Mostre que f (n) = Ω(n^2 ).
Exr 3.4 Seja T (n) uma função definida sobre { 0 , 1 , 2 ,.. .}. Suponha que existem α > 0 e β > 0 tais que T (1) ≤ α e T (n) ≤ T (n − k) + βk para todo n > 1. Mostre que T (n) ≤ max(α, β)n
Exr 3.5 [BB 4.21: algoritmo recursivo para determinantes ] Sejam a e b duas constantes reais positi- vas. Seja f a função definida sobre os inteiros positivos pela seguinte recorrência: f (1) = a e
f (n) = n f (n − 1) + bn
CAPÍTULO 3. RECORRÊNCIAS 20
paraP n > 1. Dê uma fórmula fechada para f (n). (Sua fórmula pode ter um termo da forma n i=1 1 /i!.)^ Prove sua fórmula por indução.
(^1) Escreva f (n) em notação Θ da maneira mais
simples que puder.P Qual o valor de limn→∞ f (n)/n! em função de a e b? (Lembre-se de que ∞ i=1 1 /i! =^ e^ −^1 , sendo^ e^ = 2.^7182818.. .)
Exr 3.6 Seja F a função definida pela recorrência F (0) = F (1) = 0 e
F (n) = F (n − 1) + F (n − 2) + 1
para n ≥ 2. Mostre que F (n) = Ω((3/2)n).
Exr 3.7 [CLRS 3.2-6 e CLRS 4-5 ] Seja f a função definida sobre os inteiros não-negativos pela recorrência f (0) = 0, f (1) = 1 e f (n) = f (n − 1) + f (n − 2) + 2 para n ≥ 2. Resolva a recorrência exatamente.
Exr 3.8 Discuta a seguinte recorrência: f (7) = 1 e f (n) = f (⌊n/ 2 ⌋) + n para n = 8, 9 , 10 , 11 , 12 ,...
Exr 3.9 Considere a seguinte recorrência: f (1) = 3 e
f (n) = f (n/2) + 1
para n = 2^1 , 22 , 23 ,... Quanto vale f (16)? Mostre que f (n) = lg(n) + 3 para n = 2^0 , 21 , 22 , 23 ,.. ..
Exr 3.10 Considere a seguinte recorrência: g(1) = 3 e g(n) = g(⌊n/ 2 ⌋) + 1 para todo inteiro n > 1. Dê uma fórmula fechada para a recorrência.
Exr 3.11 Seja f a função definida sobre os inteiros positivos pela recorrência
f (1) = 1 e f (n) = f (⌈ n− 2 1 ⌉) + 1 para n ≥ 2.
Resolva a recorrência.
Exr 3.12 [CLRS 2.3-5 ] Seja f a função definida sobre os inteiros positivos pela recorrência f (1) = 1 e f (n) = max{f (⌈ n− 2 1 ⌉), f (⌊ n− 2 1 ⌋)} + 1
para n ≥ 2. Resolva a recorrência.
Exr 3.13 Seja f a função definida sobre os inteiros positivos pela recorrência
f (1) = 0 f (n) = f (⌈n/ 2 ⌉) + f (⌊n/ 2 ⌋) + n + 1 para n ≥ 2.
Calcule f (n) para n = 1, 2 , 3 , 4 , 5. Mostre que f (n) = n⌈lg n⌉ − 2 ⌈lg^ n⌉^ + 2n − 1.
(^1) A rigor, eu deveria dizer “indução matemática”.
