Análise Combinatória: Ferramentas Fundamentais para Determinar Quantidades, Slides de Matemática

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ANÁLISE

COMBINATÓRIA

AULA 21 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

ANÁLISE COMBINATÓRIA A análise combinatória fornece ferramentas fundamentais para determinar a quantidade de elementos em um dado conjunto. Nesse sentido, tendo como objetivo o conhecimento do todo, ela precede a probabilidade e a estatística.

Árvore de possibilidades – princípio geral que pode ser usado para se resolver muitos problemas de contagem. EXEMPLO: Uma criança pode escolher uma entre duas balas, uma rosa e uma preta, e um entre três chicletes, um amarelo, um verde e um branco. Quantos conjuntos diferentes a criança pode ter? R P B V A (^) B V A {R, A} {R, V} {R, B}^ {P, A} {P, V} {P, B} Escolha da bala Escolha do chiclete PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM – Princípio da Multiplicação

Trocando a sequência de eventos: Escolha da bala A B Escolha do chiclete P R^ R P {A, R} {A, P} {V, R}^ {V, P} {B, R} {B, P} R P V Número de possibilidades é o mesmo: 2 x 3 = 3 x 2 = 6. Princípio da Multiplicação Se existem n 1 resultados possíveis para um primeiro evento e n 2 para um segundo, então existem n 1. n 2 resultados possíveis para a sequência de dois eventos.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias, de quantas maneiras ela poderá se vestir? A escolha de uma camisa poderá ser feita de cinco maneiras diferentes. Escolhida a primeira camisa poderá escolher uma das quatro saias. Portanto, o número total de escolhas será: 4 x 5 = 20

02. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa? Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa. Queremos o número de triplas ordenadas(a,b,c) onde a {C,K},b {C,K} e c {C,K}, logo, o resultado procurado é 2.2.2 = 8

03. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos significativos (1 a 9)? ¯ ¯ ¯ 9 x 9 x 9 = 729 números E se fossem com algarismos distintos? 9 x 8 x 7 = 504 números

04. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal? Resolução: Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 9 x 9 x 8 x 7 O número não começar por 0 (zero), logo:

9. 9. 8. 7 = 4. Resposta: 4.536 números

06. Quantos são os divisores de 72? Os divisores de 72 são do tipo 2 x . 3 y (pois 72 = 2 3 . 2 ) onde: x Î {0, 1, 2, 3} e y Î {0, 1, 2}. Logo teremos: 4 possibilidades para a escolha do expoente x e 3 possibilidades para a escolha do expoente y. Total: 4 x 3 = 12

07. Quantos resultados podemos obter na loteria esportiva? Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2. Pelo P.F.C., teremos: Jogo 1 Jogo 2 ... Jogo 14 C 1 C m C 2 C 1 C m C 2 C 1 C m C 2 3 x 3 x ... x 3 = 3 14

08. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer essa viagem? Resolução: de A para B = 3 possibilidades de B para C = 4 possibilidades Logo, pelo princípio fundamental de contagem, temos: 3. 4 = 12 Resposta: 12 modos

09. A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o número não tenha algarismo repetido? Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2. 2. 5. 4. 3. 2 = 480 Resposta: 480 placas Resolução: Placa: 2. 2. 5. 4. 3. 2

11. Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de telefone podem formar-se com 6 algarismos, de maneira que cada número tenha prefixo 51 e os restantes sejam números todos diferentes, inclusive dos números que formam o prefixo?

Resolução: Algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 Prefixo ® 7 x 6 x 5 x 4 colocando-se o prefixo 51, restam 7 algarismos, logo: 7. 6. 5. 4 = 840 Resposta: 840 números Aprenda jogando!