Análise Combinatória: Fatorial e Permutação, Slides de Matemática

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ANÁLISE

COMBINATÓRIA

AULA 22

FATORIAL E PERMUTAÇÃO

ANÁLISE

COMBINATÓRIA

A análise combinatória fornece ferramentas fundamentais para

determinar a quantidade de elementos em um dado conjunto. Nesse

sentido, tendo como objetivo o conhecimento do todo, ela precede a

probabilidade e a estatística.

FATORIAL DE UM NÚMERO

Para ajudar, podemos utilizar a seguinte propriedade:

EXEMPLO

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• EXERCÍCIO

EXERCÍCIO 4

Resolva a equação e encontre o valor de x:

10

Permutação

simples

2. Quantos anagramas existem da palavra azul? Anagramas são todas as palavras formadas, com ou sem sentido, pelas letras da palavra dada, embaralhando a sua ordem. A maneira mais fácil de construir todas as possibilidades é pelo “diagrama de árvores”. Observe: u l z l u z l a u l z z u l u z u l a l u a l z u l a a u l u a z Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: 4  3  2 1 = 24 possibilidades Concluímos que para n termos a expressão ficaria: Pn = n (n – 1) (n – 2) ...  2 1 = n!

Permutação com repetição

É a permutação onde aparecem elementos repetidos. Se trocarmos a

ordem destes, não aparecerá mudanças na posição.

Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”.

Ao mudar as letras “m” com outra “m” aparentemente não houve

mudança.

O mesmo com as letras “a” ou “t”.

Assim, seguimos o raciocínio:

n

P 10! 10 9 8 7 6 5 4 3! 151200 P P P 2! 3! 2! 2 3! 2                

Onde Pn é a permutação das dez letras da palavra matemática,

P 1 é o número de letras “m” que são repetidas, P 2 é o número de

letras “a” repetidas e P 3 é o número de letras “t” repetidas.

n

P 10! 10 9 8 7 6 5 4 3! 151200 P P P 2! 3! 2! 2 3! 2                

Encontre o valor de.

𝑷

EXERCÍCIO 1 = 𝒏!

Encontre o valor de.

∙∙∙

a

b

Determine o número de anagramas

formados com a palavra LUA.

𝑷

= 𝒏! LUA LAU ULA UAL AUL ALU EXEMPLO

Sabendo e que , podemos afirmar que o valor de n é 4?

NÃO SIM

DESAFIO Considerando os anagramas do nome NEUMAR, responda: a) quantos começam por N? b) quantos começam por N e terminam por R? c) quantos começam por N ou terminam por R?

c) quantos começam por N ou terminam por R?

N 5 4 3 2 1

5 4 3 2 1 R

N 4 3 2 1 R 𝟒^! = 𝟒^ ∙^ 𝟑 ∙^ 𝟐^ ∙^ 𝟏 = 𝟐𝟒 𝟓! = 𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 𝟓! = 𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟐𝟎 + 𝟏𝟐𝟎 − 𝟐𝟒 = 𝟐𝟏𝟔 DESAFIO - RESOLUÇÃO

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