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Algoritmos em Grafos: Circuito de Euler e Problema do Carteiro Chinês – CAL, 2010/11 1
Algoritmos em Grafos:
Circuitos de Euler e
Problema do Carteiro Chinês
R. Rossetti, A.P. Rocha, A. Pereira, P.B. Silva, T. Fernandes
FEUP, MIEIC, CPAL, 2010/
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Circuitos de Euler
Puzzle: desenhar as figuras abaixo sem levantar o lápis e sem repetir
arestas; de preferência, terminando no mesmo vértice em que iniciar.
Reformulação como problema em Teoria de Grafos: pôr um vértice em cada
intersecção
Caminho de Euler: caminho que visita cada aresta exactamente uma vez
Problema resolvido por Euler em 1736 e que marca o início da Teoria dos
Grafos
Circuito de Euler: caminho de Euler que começa e acaba no mesmo vértice
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Condições necessárias e suficientes
Um grafo não dirigido contém um circuito de Euler sse (1) é conexo e (2) cada vértice tem grau (nº de arestas incidentes) par.
Um grafo não dirigido contém um caminho de Euler sse (1) é conexo e (2) todos menos dois vértices têm grau par (estes dois vértices serão os vértices de início e fim do caminho).
Um grafo dirigido contém um circuito de Euler sse (1) é (fortemente) conexo e ( 2 ) cada vértice tem o mesmo grau de entrada e de saída.
Um grafo dirigido contém um caminho de Euler sse (1) é (fortemente) conexo e (2) todos menos dois vértices têm o mesmo grau de entrada e de saída, e os dois vértices têm graus de entrada e de saída que diferem de 1.
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Método baseado em pesquisa em profundidade
para encontrar um circuito de Euler
Método:
1. Escolher um vértice qualquer e efectuar uma pesquisa em profundidade
a partir desse vértice (se o grafo satisfizer as condições necessárias e
suficientes, esta pesquisa termina necessariamente no vértice de
partida, formando um circuito, embora não necessariamente de Euler)
2. Enquanto existirem arestas por visitar
2.1 Procurar o primeiro vértice no caminho (circuito) obtido até ao momento
que possua uma aresta não percorrida
2.2 Lançar uma sub-pesquisa em profundidade a partir desse vértice (sem
voltar a percorrer arestas já percorridas)
2.3 Inserir o resultado (circuito) no caminho principal
Tempo de execução: O(|E| + |V|)
- Cada vértice e aresta é percorrido uma única vez
- Cada vez que se percorre um adjacente, avança-se o apontador de
adjacentes (para não voltar a percorrer as mesmas arestas)
- Usam-se listas ligadas para efectuar inserções em tempo constante
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Algoritmo para achar um percurso óptimo
do carteiro chinês num grafo não dirigido
1. Achar todos os vértices de grau ímpar (com nº ímpar de arestas incidentes)
em G. Seja k o nº (par!) destes vértices. Se k=0, fazer G*=G e saltar para o
passo 6.
2. Achar os caminhos mais curtos (e distâncias mínimas) entre todos os pares
de vértices de grau ímpar em G.
3. Construir um grafo completo G' com os vértices de grau ímpar de G ligados
entre si por arestas de peso igual à distância mínima calculada no passo 2.
4. Encontrar um emparelhamento perfeito de peso mínimo em G' (ver a
seguir). Isto corresponde a emparelhar os vértices de grau ímpar de G, por
forma a minimizar a soma das distâncias entre vértices emparelhados.
5. Para cada par (u, v) no emparelhamento perfeito encontrado, adicionar
pseudo-arestas (arestas paralelas duplicadas) a G ao longo de um caminho
mais curto entre u e v. Seja G* o grafo resultante.
6. Achar um circuito de Euler em G*. Este circuito é um percurso óptimo do
carteiro Chinês.
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Realização do passo 4
Passo mais complexo
Um emparelhamento perfeito é um emparelhamento que envolve todos os vértices
O problema de encontrar um emparelhamento perfeito de peso mínimo pode ser reduzido ao problema de encontrar um emparelhamento de peso máximo num grafo genérico por uma simples mudança de pesos
- Basta substituir cada peso wij por M+1-wij, em que M é o peso da aresta mais
pesada
- Sendo o grafo completo e com número par de vértices, um emparelhamento de
peso máximo é necessariamente perfeito
Um emparelhamento de peso máximo num grafo genérico pode ser encontrado em tempo polinomial - ver referências
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Exemplo (1/4)
v 2
Grafo G e vértices de grau ímpar (sombreados)
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Exemplo (2/4)
Distâncias (pelo caminho mais curto) entre todos os pares de vértices de grau ímpar
d(vi,vj) v1 v2 v3 v4 v5 v
v1 - 2 4 7 12 10
v2 - 6 5 13 11
v3 - 9 12 10
v4 - 13 6
v5 - 7
v6 -
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Modificações ao algoritmo anterior:
1) Identificam-se os vértices com nº diferentes de arestas a entrar e a sair
2) Procuram-se os caminhos mais curtos de vértices que têm défice de saídas para
vértices que têm défices de entradas
3) Constrói-se um grafo bipartido, em que os vértices são distinguidos consoante
têm mais arestas a entrar ou a sair e são replicados consoante a diferença entre
entradas e saídas
4) Procura-se um emparelhamento perfeito de peso mínimo num grafo bipartido
- Em vez de replicar os vértices no ponto 3, pode-se associar a cada vértice uma multiplicidade (nº de emparelhamentos em que pode participar) e converter o problema directamente para um problema de fluxo máximo de custo mínimo em que algumas arestas têm capacidade superior a 1 -> Ver no exemplo a seguir
Resolúvel igualmente em tempo polinomial
Infelizmente, o problema é NP-completo (tempo exponencial) quando se
combinam arestas dirigidas com arestas não dirigidas (grafos mistos)
- Exemplo: determinar o percurso a seguir pelo camião do lixo, quando algumas
ruas têm sentidos únicos
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(nº de entradas) – (nº de saídas)
Grafo G e vértices com diferente nº de entradas e saídas:
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Grafo G’ com distâncias de vértices com deficit de saídas para vértices com deficit de entradas, e emparelhamento perfeito de peso mínimo (arestas a traço forte, obtidas resolvendo o problema de fluxo máximo de custo mínimo indicado no slide seguinte):
×××× 2
multiplicidade dupla (pode participar em duas parelhas)
×××× 2
×××× 2
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Formulação do problema de emparelhamento óptimo como problema de fluxo máximo de custo mínimo:
s
t
Capacidade = min(multiplicidade(origem),multiplicidade(destino))
custo
capacidade
Capacidade = multiplicidade
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- Exemplo de aplicação (2/2)
s1 s2 s
0 s
Resolução do problema do carteiro chinês dirigido:
Solução final:
- Caminho de Euler usando etiquetas:
a-a-b-b-a-a-b-restart-b-restart-a-b-restart
- Strings de teste: aabbaab, b, ab
s4 s
s1 s2 s
s 8
G
G’
G*
(com nº de ordem de visita):
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Referências e mais informação
“The Algorithm Design Manual”, Steven S. Skiena, Springer-
Verlag, 1998
