Disciplina: Lógica Matemática
Prof. Etelvira Leite
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Introdução à Álgebra Booleana: Conceitos, Operações e Aplicações em Computação, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear
Uma introdução abrangente à álgebra booleana, explorando seus conceitos fundamentais, operações lógicas e aplicações práticas na área da computação. Aborda tópicos como a história da álgebra booleana, seus postulados e teoremas, a simplificação de circuitos lógicos, o uso de mapas de karnaugh e a relação entre a álgebra booleana e os circuitos elétricos.
Tipologia: Exercícios
2018
1 / 37
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Disciplina:
Lógica Matemática
Prof.
Etelvira Leite
^ A álgebra de Boole é um conjunto de postulados eoperações
lógicas
com
variáveis
binárias
desenvolvido
pelo
matemático
e^
filósofo
inglês
George Boole (1815-1864). O inglês George Boole é considerado o pai da lógicasimbólica.
Lógica Matemática
p^
q^
f(p,q)
0
Lógica Matemática ~p^ Λ
q p Λ ~q
(~p^
Λ^ q) V (p
Λ^ ~q)
O que podemos observar acima? •^ O número de termos desta Função corresponde ao número delinhas tal que f(p,q) = 1
^ Na concepção de circuitos, e na maior parte dosprojetos, o objeto de interesse será o estado emque as combinações avaliam o valor “1” ^ Em hardware, convenciona-se:^ ◦^ F – bit 0, 0 Volts, não circula corrente elétrica, etc.^ ◦^ V – bit 1, 5 Volts (p. ex), circula corrente elétrica, etc.
Lógica Matemática
^ Operações fundamentais da álgebra booleana:
A^ A’^0 11
A^ B
A+B
1^ Lógica Matemática
^ AND (conjunção)
^ NOT (negação)
^ OR (disjunção)
A^ B
A.B
Nota: A.B
≡^ AB
^ Outros Operadores Lógicos: Designação
Operação
Expressão equivalente
Álgebra Booleana
Implicação
A^ →^ B
~A^ ∨^
B^
A’ + B
Equivalência
A
↔^ B^
(~A^ ∨
B)^ ∧^ (A
∨^ ~B)
(A’+B).(A+B’)
(~A^ ∧
~B)^ ∨
(A^ ∧^
B)^
(A^ ⊕^ B)’ = A’.B’ + A.B
Ou Exclusivo
A^
∨^ B^
(A^ ∧^ ~B)
∨^ (~A
∧^ B)^
A^ ⊕^ B = A.B’ + A’.B
Não-E
A^ B
~(A^ ∧
B)^
(A.B)’
Não-OU
A^ B
~(A^ ∨
B)^
(A + B)’ Lógica Matemática
^ Operações derivadas da álgebra booleana:
A^ B
A
⊕B
A^
B^ (A
⊕B)’
Lógica Matemática
^ XOR (OU EXCLUSIVO)
XNOR (NÃO OU EXCLUSICO)
A⊕B^
(A⊕B )’
Lógica Matemática
^ Dois
métodos
para
simplificação
de
circuitos
lógicos serão estudados:(i)^ Simplificação Algébrica
e
(ii)^ Mapa de Karnaugh
^ Podemos
usar
os
teoremas
(postulados)
da
Álgebra
Booleana
para
nos
auxiliar
a^ simplificar
expressões de circuitos lógicos.
Lógica Matemática
^ Postulados:
Teoremas
1 A + 0 = A
10 A + A. B = A
(Lei da Absorção 1)
2 A + 1 = 1
11 A. ( A + B) = A
(Lei da Absorção 1)
3 A + A = A
12 A + A'. B = A + B
(Lei da Absorção 2)
4 A + A' = 1
13 A. ( A' + B) = A. B
(Lei da Absorção 2)
5 A. 1 = A
14 (A. B)’ = A’ + B’
(De Morgan)
6 A. 0 = 0
15 (A + B)’ = A’. B’
(De Morgan)
7 A. A = A
16 A + (B. C) = (A + B). (A + C)
(Distributiva)
8 A. A' = 0
17 A. (B + C) = A. B + A. C
(Distributiva)
9 A'' = A
Lógica Matemática
^ Simplificando o circuito lógico abaixo, temos:
f(A,B,C) =
AB' (A'C') ' + ABC
Lógica Matemática
f(A,B,C) =
AB' (A'C')'+ ABC= AB'(A + C) + ABC= AB'A + AB'C + ABC= AB' + AB'C + ABC= AB' (1 + C) + ABC= AB' + ABC= A(B' + BC)= A(B' + C)
Lógica Matemática
^ Os
diagramas
foram
originalmente
criados
por
Edward
Veitch
e
aperfeiçoados
pelo
engenheiro de telecomunicações
Maurice
Karnaugh.
Karnaugh
utilizou
os
diagramas
para
simplificar
circuitos utilizados em telefonia. O nome completo do método é
Veitch
- Karnaugh, em
homenagem
aos
seus
dois
precursores,
mas
usualmente utiliza-se apenas o nome de Karnaughpara o método.
Lógica Matemática
^ O mapa de Karnaugh é um método gráfico usadopara
simplificar
uma
equação
lógica
ou
para
converter uma tabela-verdade no seu circuito lógicocorrespondente, de uma forma simples.
Lógica Matemática
^ 1 variável