Álgebra Linear, Provas de Álgebra

Baixe Álgebra Linear e outras Provas em PDF para Álgebra, somente na Docsity!

Álgebra Linear

gan 

Jones Colombo José Koiller

Departamento de Análise

Instituto de Matemática e Estatística

Universidade Federal Fluminense

ii

Prefácio

iv

Conteúdo

Prefácio iii

1 Determinantes 1 1.1 Determinantes de ordens 1 , 2 e 3................... 1 1.2 Determinante em Geral........................ 2 1.3 Matriz de Permutação e o Determinante da Transposta...... 6 1.4 Propriedades do Determinante e um Método para Obter a Inversa de uma Matriz............................ 7 1.5 Matrizes em Blocos.......................... 11 1.6 Área e Volume através do Determinante.............. 12 Exercícios.................................. 15

Bibliografia 25

v

Capítulo 1

Determinantes

Já em 1683, o japonês Seki Takakazu inventou o conceito de determinante, provavelmente reinventado em 1693 pelo alemão Gottfried Liebniz, pois não havia comunicação entre eles. Na época, o determinante estava relacionado com as fórmulas para exprimir a solução de um sistema linear n de equações, uma vez que a teoria de matrizes só seria desenvolvida muito mais tarde. Posteriormente, em 1812, Augustin-Louis Cauchy identificou que o determinante poderia ser usado para calcular a área do paralelogramo ou o volume do paralelepípedo. Somente depois o determinante seria associado com as formas multilineares alternadas. O determinante associa um número para cada matriz quadrada. O principal uso do determinante está no fato de que o determinante de um operador linear é não-nulo se, e somente se, o operador é invertível. Neste capítulo iremos deduzir fórmulas e procedimentos para calcular o de- terminante de uma matriz, além de apresentar dois métodos para obter a inversa de uma matriz e um critério para decidir se um sistema admite solução única.

1.1 Determinantes de ordens 1 , 2 e 3

O determinante é uma função que toma uma matriz quadrada A e retorna com um número. Os determinantes de ordens 1 , 2 e 3 são definidos por:

det

[

a 11

]

= a 11 , det

[

a 11 a 12 a 21 a 22

]

= a 11 a 22 − a 21 a 12 e

det

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

 (^) = a 11 a 22 a 33 + a 13 a 21 a 32 + a 23 a 31 a 12

− a 31 a 22 a 13 − a 32 a 23 a 11 − a 33 a 21 a 12.

Observe que o determinante da matriz 3 × 3 possui seis produtos, cada um consiste de três elementos da matriz original. Três destes produtos recebem si- nal positivo e três deles recebem sinal negativo. O diagrama a seguir ajuda a memorizar a fórmula envolvida no cálculo do determinante, o esquema é obtido

Capítulo 1. Determinantes

por repetir a 1a^ e 2a^ coluna no final da matriz. O determinante é obtido através da soma dos produtos, ao longo das três setas assinaladas com o sinal +, mais a soma dos negativos dos produtos dos elementos que estão nas setas assinaladas com o sinal −.

a 11 a 12 a 13 a 11 a 12

a 21 a 22 a 23 a 21 a 22

a 31 a 32 a 33 a 31 a 32

a 11 a 22 a 33 + a 31 a 23 a 12 + a 13 a 21 a 32

−a 31 a 22 a 13 − a 11 a 23 a 32 − a 33 a 21 a 12

Exemplo 1.

Sejam A =

 (^) e B =

. Encontre det(A) e det(B).

det(A) = 2(5)4 + 1(−2)2 + 1(0)(−3) − 2(5)1 − (−3)(−2)2 − 4(0) = 40 − 4 − 10 − 12 = 14, det(B) = 0 + (−2) + 0 − 0 − 9 − (−16) = 5.

1.2 Determinante em Geral

Observe que o determinante de uma matriz A = [aij ] de ordem 3 pode ser reescrito da seguinte forma:

det(A) = a 11 a 22 a 33 + a 13 a 21 a 32 + a 23 a 31 a 12 − a 31 a 22 a 13 − a 32 a 23 a 11 − a 33 a 21 a 12 = a 11 a 22 a 33 − a 11 a 32 a 23 − a 12 a 33 a 21 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 31 a 22 = a 11 (a 22 a 33 − a 32 a 23 ) − a 12 (a 21 a 33 − a 31 a 23 ) + a 13 (a 21 a 32 − a 31 a 22 )

= a 11 det

[

a 22 a 23 a 32 a 33

]

− a 12 det

[

a 21 a 23 a 13 a 33

]

• a 13 det

[

a 21 a 31 a 22 a 32

]

Algo parecido pode ser feito com a matriz A de ordem 2:

det(A) = a 11 det [a 22 ] − a 12 det [a 21 ]. Para facilitar a expressão do determinante introduzimos a notação a seguir.

Definição 1. Sejam n > 1 e A uma matriz quadrada de ordem n, indicaremos por Aij a matriz de ordem n − 1 , obtida de A por apagar a i-ésima linha e a j-ésima coluna e por ∆ij = (−1)i+j^ det(Aij ). Chamamos ∆ij de cofator de A, na linha i e coluna j.

Capítulo 1. Determinantes

por exemplo n = 15, qualquer computador terá dificuldades em retornar uma resposta. Na atualidade os softwares empregados no cálculo do determinante usam ou- tros métodos. Para entendermos como esses métodos funcionam vamos observar algumas propriedades do determinante. Para isto veja a definição do seguinte conceito:

Definição 1. Dizemos que uma função f : R × R → R é 2-linear, se ela for linear em cada uma de suas entradas, isto é, para cada x, y, z e α ∈ R valem

f (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z), f (x, y + z) = f (x, y) + f (x, z) f (αx, y) = αf (x, y) e f (x, αy) = αf (x, y).

Exemplo 1. Considere f : R × R → R definida por f (x, y) = xy, então se f (x + x′, y) = (x + x′)y = xy + x′y = f (x, y) + f (x′, y) e se f (x, y + y′) = x(y + y′) = xy + xy′^ = f (x, y) + f (x, y′). Além disso, se multiplicarmos x ou y por um número α temos:

f (αx, y) = (αx)y = α(xy) = αf (x, y) e f (x, αy) = x(αy) = α(xy) = αf (x, y).

Considere A uma matriz n × n. Podemos pensar tal matriz como n colunas c 1 , c 2 ,... , cn, onde cada uma destas colunas é um vetor Rn, e podemos escrever A =

[

c 1 c 2 · · · cn

]

. Vamos definir a função D que toma n vetores do Rn^ e retorna um número por

D(c 1 , c 2 ,... , cn) = det

[

c 1 c 2 · · · cn

]

Observe que a função determinante é uma função que toma uma matriz qua- drada e retorna um número.

Exemplo 1.

Calcule D

([

]

[

])

. Pela definição da função D temos:

D

([

]

[

])

= det

[

]

Proposição 1. A função D(c 1 , c 2 ,... , cn) satisfaz as seguintes propriedades:

(d 1 ) D é alternada, isto é, se ci = cj para i 6 = j então D(c 1 , c 2 ,... , cn) = 0.

(d 2 ) D é n-linear, isto é, D é linear em cada uma de suas colunas. Mais preci- samente, se todos os cj com j 6 = i estiverem fixos, então

D(c 1 ,... , ci + λc′ i,... , cn) = D(c 1 ,... , ci,... , cn) + λD(c 1 ,... , c′ i,... , cn).

(d 3 ) Se [e 1 ,... , en] é a matriz identidade então D(e 1 ,... , en) = 1.

1.2. Determinante em Geral

A principal implicação das propriedades acima está na próxima observação.

Observação 1. Considere a função D, como a que satisfaz as condições (d 1 ) − (d 3 ). Então, a função é antissimétrica, isto é, se trocarmos ci por cj o valor de D troca de sinal. Mais precisamente,

D(c 1 ,... , ci,... , cj ,... , cn) = −D(c 1 ,... , cj ,... , ci,... , cn).

Vamos demonstrar esse fato. Para simplificar a notação e, como só vamos tratar dos vetores ci e cj e os outros vetores irão permanecer fixos, considere D(ci, cj ) = D(c 1 ,... , ci,... , cj ,... , cn). Temos:

0 = D(ci + cj , ci + cj ) = D(ci, ci + cj ) + D(cj , ci + cj ) = D(ci, ci) + D(ci, cj ) + D(cj , ci) + D(cj , cj ) = D(ci, cj ) + D(cj , ci).

E daí D(ci, cj ) = −D(cj , ci). Portanto, se estivermos calculando o determinante de uma matriz e trocarmos duas colunas entre si o determinante troca de sinal.

Com estas propriedades também conseguimos reobter a fórmula para o deter- minante. Veja o próximo exemplo.

Exemplo 1.

Considere a matriz A =

[

a b c d

]

, logo a coluna c 1 =

[

a c

]

e c 2 =

[

b d

]

. Observe que [ a c

]

= a

[

]

• c

[

]

, logo pela propriedade (d 2 ) temos que:

D

([

a c

]

[

b d

])

= D

a

[

]

[

c

]

[

b d

])

= aD

([

]

[

b d

])

+ D

([

c

]

[

b d

])

= aD

([

]

[

b d

])

+ D

c

[

]

[

b d

])

= aD

([

]

[

b d

])

• cD

([

]

[

b d

])

= aD

([

]

, b

[

]

[

d

])

• cD

([

]

, b

[

]

[

d

])

= abD

([

]

[

])

• adD

([

]

[

])

• cbD

([

]

[

])

• cdD

([

]

[

])

= adD

([

]

[

])

− cbD

([

]

[

])

= ad − bc.

Observe que usamos a propriedade (d 1 ) quando trocamos a primeira coluna com a segunda e, por isso, trocamos o sinal e na última igualdade usamos (d 3 ).

1.4. Propriedades do Determinante e um Método para Obter a Inversa de uma Matriz

Observação 1. Sejam A e B = At. Calculando o determinante por fazer a expansão em termos da primeira linha de B temos

det A = det B = b 11 ∆ 11 + b 12 ∆ 12 + · · · + b 1 n∆ 1 n = a 11 (−1)1+1^ det At 11 + a 21 (−1)2+1^ det At 21 + · · · + an 1 (−1)n+1^ det Atn 1 = a 11 (−1)1+1^ det A 11 + a 21 (−1)2+1^ det A 21 + · · · + an 1 (−1)n+1^ det An 1 ,

isso é, podemos calcular o determinante por fazer a expansão segundo a primeira coluna de A. Na verdade, podemos calcular o determinante por fazer a expansão em qualquer linha e qualquer coluna, para ver como isso é feito veja o exercício r1.6.

1.4 Propriedades do Determinante e um Método

para Obter a Inversa de uma Matriz

Vamos começar por lembrar das matrizes elementares. Já vimos que podemos substituir uma operação elementar sobre as linhas da matriz A, ao multiplicar à esquerda por uma matriz elementar E, isto é, ao calcularmos EA obtemos a matriz obtida de A por aplicar a operação elementar. Para demonstrar o resultado principal enunciado no teorema a seguir vamos necessitar do seguinte lema:

Lema 1. Se E é uma matriz elementar, então E é invertível.

Demonstração: De fato se E é uma matriz elementar, então podemos determinar uma matriz elementar E′^ obtida por fazer a operação inversa que a efetuada para obter E. Logo, E′E = I.

O resultado principal fica.

Teorema 1. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então, A é invertível se, e somente se, a sua forma escalonada reduzida for a matriz identidade.

Demonstração. Suponha que A é invertível, isto é, existe uma matriz B n × n, tal que AB = I = BA. Vamos começar analisando o sistema Ax = 0 para mostrar que a única solução possível é x = 0. De fato, multiplicando a equação Ax = 0 por B temos que 0 = B · 0 = B(Ax) = (BA)x = Ix = x. Por outro lado, se resolvermos o sistema Ax = 0 através de um escalonamento de linhas, obtemos a matriz R, que está escalonada de forma reduzida e é linha equivalente A, ou seja, R = Ek · · · E 1 A. Mas o sistema Rx = 0 é claramente equivalente ao sistema, Ax = 0 , portanto tem a mesma e única solução x = 0 , e como R está na forma escalonada reduzida, a única possibilidade é de R = I. Logo, se A é invertível então ela é linha equivalente a matriz identidade. Reciprocamente, se

Capítulo 1. Determinantes

A é linha equivalente a matriz identidade, isto é, I = Ek · · · E 1 A, e multiplicando por E− k 1 , E− k−^11 ,... , E 1 − 1 I, obtemos que A = E 1 − 1 E 2 − 1 · · · E− k 1 , ou seja, A é um produto de matrizes elementares e portanto invertível.

Analisando a demonstração do teorema 1. 18 podemos vislumbrar um método para obtermos a inversa de uma matriz. Suponha que A é uma matriz invertível, isto é, existe um número finito de matrizes elementares E 1 ,... , Ek, tais que:

I = EkEk− 1 · · · E 2 E 1 A = (EkEk− 1 · · · E 2 E 1 I)A.

Isso mostra que EkEk− 1 · · · E 2 E 1 I = A−^1. Isto é, se aplicarmos as mesmas opera- ções, e na mesma ordem, necessárias para levar a matriz A a sua forma escalonada reduzida, isto é, na matriz identidade, obtemos a matriz inversa de A. Isso nos motiva a definir um algoritmo para obtermos a inversa de uma matriz. Para isso basta considerar uma nova matriz B = [A : I], por acrescentar a matriz identi- dade a direita de A então, se escalonarmos a matriz A, para que se torne a matriz identidade, segue que B se torna [I : C] e então, C será a matriz inversa de A.

Exemplo 1. Vamos usar esse processo para obter a inversa da matriz

A =

Para isso considere a matriz:

[A|I] =

Vamos escaloná-la. Comece por fazer 2 → 2 + 1 e 3 → 3 − 2 1 e obtemos





 −^2 −↔−→^3

 −^1 −→−−^1 −−→`^2

 ^1 →^1 −^

5 −−−−−−^2 →^3 2 →2 + 32 3

2 →− 2 −−−−→ 3 → 12 3

e, portanto, A−^1 =

Capítulo 1. Determinantes

Teorema 1. Seja A uma matriz quadrada de ordem n qualquer. Então,

adj(A)A = det(A)I

sendo I a matriz identidade. Assim, se det(A) 6 = 0,

A−^1 =

det(A)

adj(A).

Exemplo 1. Por utilizar a técnica sugerida no teorema acima vamos obter a inversa de

A =

Para isso precisamos determinar os cofatores ∆ij da matriz A. Vamos construir uma matriz intermediária D e, por fim, obter a adj(A) que é Dt.

D =

Portanto,

adj(A) = Dt^ =

Sabendo que det(A) = 2 segue que

A−^1 =

det A

adj(A) =

1.4.2 Determinante do Produto de Matrizes

Antes de obtermos este resultado vamos ver como se comporta o determinante, quando o aplicamos em matrizes elementares:

(a) Se E 1 é a matriz obtida por executar i →i + k`j na matriz identidade, então, det(E 1 ) = 1;

(b) Se E 2 é a matriz obtida por executar i → ki com k 6 = 0 na matriz identi- dade, então, det(E 2 ) = k;

(c) Se E 3 é a matriz obtida por executar i ↔j na matriz identidade, então, det(E 3 ) = − 1 ;

(d) Se A é uma matriz qualquer e E é uma matriz elementar, então, det(EA) = det(E) det(A).

1.5. Matrizes em Blocos

Teorema 1. Se A e B são matrizes n × n, então det(AB) = det(A) det(B).

Demonstração: (1a^ caso) Se A ou B não são invertíveis, logo pode acontecer: a) A invertível e B não é; b) B invertível e A não é; c) A e B são ambas não invertíveis. Então, nas três situações, podemos concluir que AB também não é invertível. De fato, se a) ocorre então existe A−^1 e admita que AB seja invertível, nesse caso, B = A−^1 (AB) também é invertível. Se ocorrer b) tratamos da mesma maneira. Se ocorrer c) suponha, por absurdo, que AB é invertível, nesse caso, existe C, tal que C(AB) = I = (CA)B e, portanto, B é invertível, o que é um absurdo. Logo, se A ou B não é invertível, então AB também não é invertível e det(AB) = 0 e como det(A) = 0 ou det(B) = 0 segue a igualdade. (2a^ caso) Se A e B são invertíveis, sabemos que existe uma sequência finita de operações elementares (sobre as linhas) E 1 ,... , Ek que tornam A a matriz identidade, isto é, I = E k− 1 · · · E− 1 1 A Daí temos:

det(AB) = det(E 1 · · · EkIB)

e aplicando um número finito de vezes a propriedade (d) acima obtemos:

det(AB) = det(E 1 ) det(E 2 · · · Ek− 1 B) = det(E 1 ) det(E 2 ) · · · det(Ek− 1 Ek) det(B) = det(E 1 ) det(E 2 ) · · · det(Ek− 1 ) det(Ek) det(B) = det(E 1 ) det(E 2 ) · · · det(Ek− 1 Ek) det(B) = det(E 1 E 2 · · · Ek− 1 EkI) det(B) = det(A) det(B).

Teorema 1. Seja A uma matriz n × n. A matriz A é invertível se, e somente se, det(A) 6 = 0, e neste caso det(A−^1 ) = (^) det(^1 A).

Demonstração: (⇒) Se A é invertível existe uma matriz B, tal que AB = I, aplicando o determinante dos dois lados desta igualdade obtemos:

det(AB) = det(A) det(B) = det(I) = 1.

Isso implica que det(A) 6 = 0 e também que det(A−^1 ) = (^) det(^1 A).

(⇐) Se det(A) 6 = 0 e seja B a adjunta clássica de A, então sabemos que BA = det(A)I, daí temos que (^) det(^1 A) BA = I, isto é, ao multiplicarmos (^) det(^1 A) B por A

obtemos I, e como a inversa de uma matriz é única, segue que A−^1 = (^) det(^1 A) B.

1.5 Matrizes em Blocos

O principal resultado dessa seção é o seguinte:

1.6. Área e Volume através do Determinante

x

y

[ (^) a 0

]

[ 0

d

]

Figura 1.1: Área= |ad|

Suponha que A = [c 1 c 2 ] é uma matriz qualquer. Para provarmos o resultado basta verificarmos que a matriz A pode ser transformada em uma matriz diagonal sem que com isso altere o | det(A)| e nem a área do paralelogramo. Já sabemos que trocar uma coluna com a outra não altera o valor de | det(A)|, assim como somar a uma coluna um múltiplo da outra coluna (verifique que isso é o suficiente para transformar qualquer matriz em uma matriz diagonal). Claramente a área do paralelogramo com respeito aos vetores c 1 , c 2 é a mesma que com respeito a c 2 , c 1. Além disso, se chamarmos a reta determinada por 0 e c 1 de L, então a reta c 2 + L é uma reta paralela a L, e c 2 + tc 1 pertence a reta c 2 + L para todo t. Como a área de um paralelogramo é o comprimento da base vezes a sua altura com respeito a esta base, segue que a área do paralelogramo determinado por c 1 , c 2 é sempre igual a área do paralelogramo determinado por c 1 , c 2 + tc 1. Veja a próxima figura para entender melhor o que acontece.

x

L

y^ c^2 +^ L

c 1

c 2 c 2 + tc 1

Figura 1.2: Área= |ad − bc|

Capítulo 1. Determinantes

No caso de A ter ordem 3, o raciocínio é semelhante. No caso em que A é diagonal o resultado é claramente verdadeiro.

x

y

z

[ (^) a (^00)

]

[ 0

b 0

]

[ 0

0 c

]

Figura 1.3: Volume do paralelepípedo é |abc|

Se A = [c 1 c 2 c 3 ] é uma matriz qualquer, podemos transformá-la em uma matriz diagonal, por permutar as suas colunas e somar a uma coluna um múltiplo de outra. Claramente estas operações não alteram o | det(A)|. Vamos ver que essas operações não alteram o volume do paralelepípedo determinado pelos ve- tores c 1 , c 2 , c 3. Lembre-se de que o volume de um paralelepípedo é determinado pela multiplicação da área de uma de suas faces pela altura com respeito a essa face. Vamos considerar a face determinada pelos vetores c 1 , c 3. Observe que, pelo mesmo argumento usado no R^2 , a área dessa face não se altera se trocarmos os vetores c 1 , c 2 por c 1 , c 2 + tc 1 qualquer que seja t ∈ R. Por simplicidade vamos supor que a face determinada por c 1 , c 3 coincida com o plano xz veja a próxima figura

x

y

z

c 1

c 2

c 3

Figura 1.4: Paralelepípedo

Considere o plano P = Span {c 1 , c 3 }, então a face de cima do paralelepípedo está no plano P +c 2 obtido por transladar o plano P. O volume do paralelepípedo é igual a área determinada por c 1 , c 3 , vezes a altura de c 2 com respeito ao plano P. Todos vetores da forma c 2 + rc 1 e c 2 + tc 3 , com r, t ∈ R, tem a mesma