Pré-visualização parcial do texto
Baixe Algebra linear e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
- INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SÃO PAULO CAMPUS SERTÃOZINHO Ê ÁLGEBRA LINEAR Prof. Dr. Reinaldo Golmia Dante ABRIL — 2015 Proteção pela Lei dos Direitos Autorais (Lei n. 9610/98) e art. 184, do Código Penal Brasileiro. Sumário 1.2.1 Definiçãe ES Vetor si. 1.3.1 Definição... 1.3.2 Propriedades 1.3.3 Caso particular. 2 ESPAÇOS VETORIAIS. 2.1 Espaço vetorial. 2.1.1 Definição. 2.1.2 Teoremas. 2.1.3 Exemplos. 2.1.3.1 Espaço de matrizes Mm, 2.1.3.2 Espaço de polinômios P(v. 2.1.3.3 Espaço de funçõe: 2.2 Subespaço vetorial.......... 2.2.1 Soma de subespaços. 2.3 Combinação linear....... 2.3.1 Interpretação geométrica do Span ou Ger 2.3.2 Combinação linear e o sistema linear de equaçõe: 2.3.3 Equação matricial Ax = b. 2.3.3.1 Existência de soluções. 2.3.4 Espaço das colunas, espaço das 2.3.4.1 Definição do espaço das colunas 2.3.4.2 Definição do espaço das linhas. 2.3.4.3 Definição do espaço nulo. 2.3.5 Espaços vetoriais finitos...... 2.4 Independência e dependência lineares 2.4.1 Teoremas... 2.5 Bases... 2.5.1 Definição. 2.5.2 Teoremas 2.6 Dimensão... 2.6.1 Definição. 2.6.2 Teoremas. 2.6.3 Posto... 2.6.4 Dimensão de soma dos sul spaço: 2.7 Sistema de coordenadas. 2.7.1 Definição............ 2.7.2 Interpretação gráfica de [ulB. 2.7.3 Transformação de coordenadas. 2.7.4 Isomorfismo de Fn e 2.8 Mudança de base......... 3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES. 3.1 Transformação linear. 3.1.1 Definição. 3.2 Teoremas Álgebra Linear Prof. Dr. Reinaldo Golmia Dante Para simplificar, costuma-se omitir o símbolo “” nas operações de multiplicação, v.g., a.r = ar, bem como na soma vetorial r + (rn=r-r. 1.3.3 Caso particular Se o corpo for o conjunto dos reais, IR”, então suas componentes serão números reais. No caso de o espaço vetorial for bidimensional, o vetor u terá apenas duas componentes, e.g., (-1,2) ou 5 ! Exemplos: considere os vetores à = a l PR E) 1 =|2|=3]!, di É N A representação gráfica dos vetores 1 e y é ilustrada na Figura 1, a seguir: =[5) eo escalara =— en nan =[] Figura 1: Regra do paralelogramo: soma vetorial de i e >». Proteção pela Lei dos Direitos Autorais (Lei n. 9610/98) e art. 184, do Código Penal Brasileiro. - Álgebra Linear Prof. Dr. Reinaldo Golmia Dante Capítulo 2 E ESPAÇOS VETORIAIS 2 2.1 Espaço vetorial 2.1.1 Definição E Um espaço vetorial é composto de um corpo 9), que contém uma operação binária de adição e multiplicação em QN 2>2*, cujos elementos são escalares; um conjunto não-vazio E, que contém uma operação binária de adição e multiplicação EN E>E (diferentes daquelas no corpo), cujos elementos são vetores; e ainda uma operação de multiplicação QNRE2E. Destartes, E é a denominado espaço vetorial sobre Q, cujos axiomas são: 1. “, VacQAT,UE E; ali+ú)=ai+a (a+b)t =ai+bi, Va, beQ A Te E; 31€QNIT=T, Vie E; se O ga je SS SO Observa-se que há dois grupos de axiomas: os primeiros quatro dizem respeito à operação adição de E; e os quatro últimos, referem-se à operação multiplicação de E. 2.1.2 Teoremas a Tha: ad=0,VaeQnÕe E. Taz: 04=0,0€0QAU,0E E. ai * A operação N representa o produto cartesiano. Proteção pela Lei dos Direitos Autorais (Lei n. 9610/98) e art. 184, do Código Penal Brasileiro. Álgebra Linear Prof. Dr. Reinaldo Golmia Dante 2.2 Subespaço vetorial Se S é um subconjunto de um espaço vetorial E sobre um corpo Q2, então S é um subespaço vetorial de E caso aquele seja propriamente um espaço vetorial sobre Q com a satisfação dos axiomas de E, bem como das condições abaixo: 1 des; 2. ViúesS, T+uES; 3. VacQnVÍES,aTEs: Pode-sesimplificar aquelas condições em apenas duas:DES e VapBeQ, Vi,uesS,ai+pres. Exemplo: S = f[x,,x,,x,) €IR'/x,+x,=0) é um subespaço do Rº, pois: i. 0=(00,0)€S; ttuttu,t+u), mas, para pertencer a S, este novo vetor 7+ij deverá ter o elemento O em suas duas primeiras componentes. Destartes, deve-se provar que: tj+u,+t,tu,=0 para pertencer a S. Para isso, recorrendo à própria definição deS, uma vez que f,ues, ht=0Au0,tu,=0=t+u, +t,tu,=0.Portanto, F+UES. Outro exemplo: considerando o polinômio P(t) como o conjunto de todos os polinômios aotartatf+...ta,t”, à9,...,4,€Q sobre um corpo 9), que é um espaço vetorial, pode-se dizer que um polinômio Pm(t), com 0 dek+0: Proteção pela Lei dos Direitos Autorais (Lei n. 9610/98) e art. 184, do Código Penal Brasileiro. 6 Álgebra Linear Prof. Dr. Reinaldo Golmia Dante ii Sejamh=kh+ghAh=k+g Vk bEKAVagneO, então: hth=(h+ga)+(h+a)=k+k)+(g+9,), mask, +kEKAGg,+4,EO, portanto, h, +h,€ K+Q; ii SeccO, então ah =a(k +g)=ak+ag,;, mas ak EK Aag eo, portanto, «h, E K+Q; Define-se K + O como soma direta dos subespaços K e O, cuja representação é KB O, quando K NQ=(0), sendo Ke Q subespaços vetoriais de H. Exemplo: considere o espaço Rº comosoma direta dos subespaços: K=t(x,0)/xeRJAQ=f(0,y)/ye R3. Observa-se que Kng = (0) = (0,0); e ainda, (x,7)=(x,0)+(0,))e K+0Q, Víx,pjeR. 2.3 Combinação linear Seja o espaço vetorial F sobre um corpo Q e RR Edo F, então Vie F na forma A d=afitafit.+efi= cj emquee,c,..c,€Q, é denominado de 1=1 combinação linear de Fulu ias O conjunto de todas essas combinações lineares de vetores Ff, | F: E Ff E F é denotado por Sant fi Tr PS ou Cla ces ou ainda, Gerelfo faca) » espaço gerado por Pinda que é um Ee RR SCFAS=%, então SpantSy=40) e é um subespaçoe SE SpanfS e Tosa: Se S é um subconjunto de um espaço vetorial F sobre o corpo Q: i. Então SpanfS) é um subespaço de F que contém S; ii Se Vé um subespaço de E que contém 5, então SpantSjcV ; e * O termo Span, do inglês, significa gerar. Proteção pela Lei dos Direitos Autorais (Lei n. 961 0/98) e art. 184, do Código Penal Brasileiro. Álgebra Linear Prof. Dr. Reinaldo Golmia Dante &y Ez &in b, [o [o Gn|-|b, dj tal 2ltatal =| Rm Rm Rm, bm ou ainda, mfi+ oht+xf,=b Pode-se representá-lo na forma matricial: Rn Giz Kia dy Bai Ga Goi oh & & “om by ou ainda, FP ho dd] Desta maneira, a equação vetorial RA + Bafo E cadê x Ff, = tem o mesmo conjunto solução que o sistema linear, cuja matriz completa é | frenesi a b| » em que b pode ser gerado por uma combinação linear de Fu If, REA % » Se, € somente se, existe solução para o sistema linear supramencionado. 1 2 3 Exemplo 1: sejam os vetores 7, =| -2 » W=| 5| e b=| 12]. Determine se 5 pode ser 3 il 5 gerado como uma combinação linear de SU PE Solução: para isso, a equação vetorial 5 = x,iã, + x & Vx,x, ERA d,, ER deve ter 1 2) [3] x+2x=3 solução. Assim, x,|-2| + x)) 5 |=|12| ouna forma de sistema linear |-2x, + 5x, = 12. 3 -1 =5 3x, —x=—5 Para resolver, podemos escalonar a matriz completa na forma reduzida: 1 2 3) |i 2/93 1 -2 5 a12|-|0 9 agl-lo 3 -1 -5 0 —7 -14 0 23 123 1 0.=1 12])-/0 1 2]-|01 2 12 000 00 0 Proteção pela Lei dos Direitos Autorais (Lei n. 9610/98) e art. 184, do Código Penal Brasileiro. Álgebra Linear Prof. Dr. Reinaldo Golmia Dante [4,4 0x,=-1 . ” E 1 Portanto, a solução é po +x=2 , ou seja, » podendo escrever a equação 0x,+0x,=0 1 2 3 - vetorial como —1|-2/ +2] 5 |=| 12]. Isto significa que 5 pode ser gerado como combinação 3 = o, linear de 7, e É, e ainda, 5 E Span fii,, ib ) . que é um plano formado por esses vetores com origem no Rº. 1 8 Exemplo 2: sejam os vetores d) =| -2|, =| 5 | e b=|2|. Determine se b pertence 3 -1 3 ao plano Spanfil,, à,) sobre IRº. Solução: para isso, a equação vetorial b = xt id Vx,x, ERA dd, € IR deve ter 1 2 8 x+2x=8 solução. Assim, x,|/-2| + x,) 5 |=|2| . ou, na forma de sistema linear, | —2x, + 5x, 3 -1 3 3x —-w=3 Para resolver, podemos escalonar a matriz completa na forma reduzida: ligvr2=8 fev 2 8 128 12 8 =2 5 2]-]0. 9 180240 loc2)0:)0o 1502 3 =13 0-7 -0 013 00 —1 Portanto, a terceira equação é 0x, = —1 o que mostra que o sistema não tem solução. A equação vetorial 5 = x,ú, + x, não tem solução e, portanto, be Span(u,,U,). 2.3.3 Equação matricial Ax=b Se 4 é uma matriz m x n, com colunas à,,ã,,...,ã,. e sex pertence a Q”, então o produto de4 e x, denotado por 4x, é a combinação linear das colunas de 4 usando as componentes correspondentes de x como pesos, ou seja, Proteção pela Lei dos Direitos Autorais (Lei n. 9610/98) e art. 184, do Código Penal Brasileiro. 10 Álgebra Linear Prof. Dr. Reinaldo Golmia Dante condição b;+2b,—7b, = O é que a equação 4x =b terá solução. Essa condição representa a equação de um plano que passa pela origem em Rº. 2.3.4 Espaço das colunas, espaço das linhas e espaço nulo de uma matriz 2.3.4.1 Definição do espaço das colunas O espaço das colunas de uma matriz 4, m x n, comcolunas &,,4,,...,ã,, é o conjunto Spantã,, à,,...,à,;. que contém todas as combinações lineares das colunas de 4, e é um subespaço de um espaço vetorial F” sobre um corpo Q”. a Ap An E =|2n dp Am é Observe que cada coluna da matriz 4 =| : e tem m-upla componentes e é Am Am “o An um vetor em F”, e o conjunto dessas colunas geram um subespaço de F” sobre um corpo Q”. Pode-se também denotar o espaço das colunas por E.(4). 2.3.4.2 Definição do espaço das linhas Se 4 é uma matriz m x n. pode-se, então, extrair um vetor linha d; como a i-ésima linha de 4, ou melhor, d, = (aj, 42»... a) em F" sobre um corpo Q”. O espaço das linhas de uma matriz 4, m x n, é o conjunto Spantd,, dias d,) » que contém todas as combinações lineares das linhas de 4, e é um subespaço de um espaço vetorial F” sobre um corpo q)”. Pode-se também denotar o espaço das linhas por E,nl 4). Uma observação importante é que as linhas da matriz 4 são correspondentes às colunas de A”, portanto, E,,(4) = EA”). 2.3.4.3 Definição do espaço nulo O espaço nulo de uma matriz 4, m x n, é o conjunto de todas as soluções da equação homogênea 4x = 0, e é um subespaço de um espaço vetorial F” sobre um corpo Q”. Denota-se o espaço nulo por El Á). Proteção pela Lei dos Direitos Autorais (Lei n. 9610/98) e art. 184, do Código Penal Brasileiro. 12 Álgebra Linear Prof. Dr. Reinaldo Golmia Dante 3 -6 9º: Exemplo 1: Considereamatriz 4=|-3 5 -g 1 - Indaga-se: [6 -11 20 3 a) Se E.(4) é um subespaço do IR”, qual é o valor de p ? b)Se E,i(4) é um subespaço do R?, qual é o valor de p ? —8 c) Determine se à, = 5 pertencca E,u(4). Será que il, poderia pertencer a El4)? -6 =8 d) Determine se 7, = a pertence a E,lÁ). 3 e) Determine o E,,,(4). 1 f) Determine se à, =|0| pertencea E,i(4). Será que 7, poderia pertencera E, (4)? 4 Solução: a) As colunas de 4 têm três componentes, portanto, E..,(4) éum subespaço do IR”, p=3. - b) Paraa equação 4x = 0, x deve ter quatro componentes, portanto, E muto(4) é um subespaço do Rº, p=4. c) Para verificar se d, pertence a EniolA), basta que AU,=0. Assim, 3 -6 9 1 E 0 0 Aú=|-3 5 -8 1 =5|=| 16 |*]0]. Portanto, 7, & £,,.(4). Ademais, como FA 6 = 20 3] |-40] [o possui quatro componentes, esse vetor não poderia pertencer a E.,(4), uma vez que EA) é um subespaço do |Rº. Proteção pela Lei dos Direitos Autorais (Lei n. 9610/98) e art. 184, do Código Penal Brasileiro. 13 Álgebra Linear Prof. Dr. Reinaldo Golmia Dante El 4) =Spantd, d, d,JeR*. em que d;=[1,-1,2,3); d,=/2,-3,-1,7); e d,=(3,1,22,17); 1 =] 2 Eca(A4)= Spantã,,do,ã,ã,)eR', em que &=|2), &=|-3), G=|-1| e 3 1 22 3 a=|7|. 17 Esuo(4) é o conjunto de todas as soluções da equação homogênea A x = 0, de modo que: 1 -E-2.0 300 Do=sdy 2430 | = 2 350 1-2 30 2 =3 =] 7) 0 ]0g=l THD OO E 5 =| 00 1 5.=1| 0]7 312170 0 4 16 8 0 014 20 0 01-30 10720] [100230] m+23x,=0 015 -10|-|0 10 14 0|.ouna forma de sistema linear, | x, + 14x, = 0. Como 001-30] |0 01-30) x,—3x,=0 x —23 —23 caia x) | -14 o -14 F x, é variável livre, então ez 3 x, , que resultaem E, (4) = Span 3 eR'. *4 ! La 2.3.5 Espaços vetoriais finitos Se existe um subespaço vetorial finito S, de modo que S c F, e F=SpantsS), então F é um espaço vetorial finitamente gerado sobre um corpo Q. f . ' , : 1 0//0 1/]0 0] |0 O|| « ; ' E lo: O =| | É xemplo: O conjunto M IE j to il 1 a | é um espaço vetorial finito. 2.4 Independência e dependência lineares Seja um espaço vetorialF sobre um corpo92 e um conjunto indexado U=td id. )cF é linearmente independente (LI) se, e somente se, a igualdade ch+cib+..+c,ã,=0,em que €4 CC, EM, A C=c=...=c, =0,ou seja, o sistema linear admite apenas a solução trivial. Proteção pela Lei dos Direitos Autorais (Lei n. 9610/98) e art. 184, do Código Penal Brasileiro. 15 Álgebra Linear Prof. Dr. Reinaldo Golmia Dante O conjunto indexado U = (il, ,,...,7,) CF é chamado de linearmente dependente (LD) se alguns c 40, i € (1,2,...,n) e ainda satisfizer a igualdade cd) + cb +...+c,ã,=0. r 1 4] 3 Exemplo 1: considere os vetores P=| 2 |, à=|2| e W=| 18 | . Verifique se eles são LI -1 8) =17 ou LD. Solução: 14 3 0) 1 4 3 0) |14 30 |14 3 0) J]J10110 2 2 18 0|/-]0 -6 12 O0|-|0 1 -20|-|01 -20|-|o1 -20 =] 3 —=17 O 0 7 -14 0 01-20 00 0 0 00 0 0 | +: = ai = Observa-se que [A Ilê h. ou melhor, x; é variável livre, e |x,)|=| 2 |x;. Cada [%-2x,=0 É 1 3, valor não-nulo de x; leva o sistema linear a ter solução não-trivial, portanto, os vetores v, u e w são 1 4 3 LD. Pode-se imaginar, por exemplo, x;=1 e ter-se-á —11) 2 |+2]2]+) 18 |=0, o que = 3 fel OA prova a dependência linear entre esses vetores. 1 0 0 Exemplo 2: considere os vetores &, =|0). & =|1| e &=|0| . Verifique se eles são LI ou 0 0 1 LD. Solução: : 2. 41000 A matriz fã, & & 0 =|0 1 0 0] já se encontra na forma escalonada reduzida, de modo 0010 que a solução é única e trivial x,=x,=x, = 0; portanto. os vetores €,,€),€, são LI. Se 4 é uma matriz m x n, com colunas à,, ã,,....ã, , então a equação matricial Ax = O poderá ser escrita como x,ã, + x,ã, +... + x,ã, = 0. As colunas de 4 serão linearmente independentes se, e somente se, a equação 4x =) admitir apenas a solução trivial. Caso contrário, ter-se-á dependência linear. Proteção pela Lei dos Direitos Autorais (Lei n. 9610/98) e art. 184, do Código Penal Brasileiro. 16 Álgebra Linear Prof. Dr. Reinaldo Golmia Dante Taas: Se os conjuntos finitos U,U,£0 AU, cU,cF" e ainda, U; é LI, então U, também é LI. Tasso: SeU=tfiúpio..., UCP” é LI, e para um certo vetor 7 E F”, de modo que UuUsti)=(iiio. uy seja LD, então o vetor 7? é combinação linear dos vetores ) 4 ) d, lo,...,d,, OU Seja, 1 E Spanfi, io, ..., dn). Toss: S eU=(idi.T,. o) A ú, E SpantU — tu), ou melhor, Z, é combinação linear dos demais vetores de U, então Spant U) = SpantU — (7,3). Exemplo 4: sejam pi(t)=2, po(t)=t, e ps(t)=1-2t, determine se (pi(t), pa(t), palt)) é LI. Solução: A equação « p;(t) + B py(t) + y ps(t) = 011) deverá ter apenas solução trivial para 2a+y= B=-2y= y=-l> o=1 naB=-2e pilt)= y , de modo que o sistema é possível e indeterminado. Assim, se ser LI. Observa-se que 0 pi(t)— 2 palt), então (pit). pole), palt)) é LD. to jm 2.5 Bases 2.5.1 Definição SeF' é um espaço vetorial finito sobre um corpo Q” e um subconjunto indexado B= Ladies Da) CF", k
