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Classes laterais
Sejam G um grupo, H um subconjunto de G e a um elemento de G. Usamos as seguintes nota¸c˜oes: aH = {ah | h ∈ H} e Ha = {ha | h ∈ H}.
Defini¸c˜ao (Classe lateral de H em G )
Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH diz-se a classe lateral esquerda de H em G contendo a. O conjunto Ha diz-se a classe lateral direita de H em G contendo a. O elemento a diz-se um representante da classe lateral aH (ou Ha).
Exemplo
Sejam G = S 3 e H = {(), (1 2 3), (1 3 2)}. As classes laterais esquerdas de H em G s˜ao
- (1)H = H = (1 2 3)H = (1 3 2)H;
- (1 2)H = {(1 2), (1 2)(1 2 3), (1 2)(1 3 2)} = {(1 2), (2 3), (1 3)} = (1 3)H = (2 3)H.
O GAP permite trabalhar com classes laterais direitas. (Como gH consiste dos inversos dos elementos de Hg −^1 , n˜ao ´e dif´ıcil usar tamb´em o GAP para trabalhar com classes laterais esquerdas.)
Exemplo
gap> s3 := SymmetricGroup(3); Sym( [ 1 .. 3 ] ) gap> Elements(last); [ (), (2,3), (1,2), (1,2,3), (1,3,2), (1,3) ] gap> h := Subgroup(s3,[ (), (1,2,3), (1,3,2) ]); Group([ (), (1,2,3), (1,3,2) ]) gap> RightCoset(h,(1,3)); RightCoset(Group( [ (), (1,2,3), (1,3,2) ] ),(1,3)) gap> Elements(last); [ (2,3), (1,2), (1,3) ]
Teorema de Lagrange
Os exemplos e exerc´ıcio anteriores levantam quest˜oes como: Quando ´e que aH = bH? Quando ´e que aH = Ha? Quantos elementos tˆem em comum aH e Hb? O lema seguinte ajuda a esclarecer.
Lema
Sejam G um grupo, H ≤ G e a, b ∈ G. Ent˜ao
- a ∈ aH;
- aH = H se e s´o se a ∈ H;
- aH = bH ou aH ∩ bH = ∅;
- aH = bH se e s´o se a−^1 b ∈ H;
- |aH| = |bH|;
- aH = Ha se e s´o se H = aHa−^1 ;
- aH ´e um subgrupo de G se e s´o se a ∈ H.
Demonstra¸c˜ao.
- Basta notar que a = ae ∈ aH;
- Suponhamos que aH = H. Ent˜ao a = ae ∈ aH = H. Reciprocamente, se a ∈ H, ent˜ao aH ⊆ H, por H ser fechado para a multiplica¸c˜ao. Tamb´em H ⊆ aH, pois, para qualquer h ∈ H, tem-se a−^1 h ∈ H, logo h = eh = (aa−^1 )h = a(a−^1 h) ∈ aH.
- Suponhamos que aH ∩ bH 6 = ∅ e seja x ∈ aH ∩ bH. Tem-se x = ah 1 e x = ah 2 , para alguns h 1 , h 2 ∈ H. Ent˜ao a = xh− 1 1 = bh 2 h− 1 1 e aH = (bh 2 h− 1 1 )H = b(h 2 h− 1 1 H) = bH.
- Resulta de aH = bH ⇐⇒ H = a−^1 bH e de 2.
- Basta observar que ah → bh ´e uma bijec¸c˜ao de aH em bH.
- aH = Ha se e s´o se aHa−^1 = Haa−^1 = H.
- Se aH ´e um subgrupo, ent˜ao e ∈ aH. Logo aH ∩ eH 6 = ∅ e, por 3, aH = eH = H. Por 2, a ∈ H. Reciprocamente, novamente por 2, aH = H.
Claro que vale um resultado an´alogo considerando classes laterais direitas em vez de esquerdas.
Atendendo a que a ordem de um elemento de um grupo finito ´e a ordem do subgrupo por ele gerado, tem-se:
Corol´ario (ord(a) divide ord(G ))
A ordem de um elemento de um grupo finito divide a ordem do grupo.
Corol´ario
Todo o grupo de ordem prima ´e c´ıclico.
Demonstra¸c˜ao. Basta notar que um elemento diferente do elemento neutro tem como ordem a ordem do grupo.
Corol´ario (a|G^ |^ = e)
Sejam G um grupo finito e a ∈ G. Ent˜ao aord(G^ )^ = e.
Demonstra¸c˜ao. Tem-se ord(G ) = k ord(a), para algum inteiro positivo k. Ent˜ao aord(G^ )^ = aord(a)·k^ = ek^ = e.
Corol´ario (Pequeno Teorema de Fermat)
Sejam p um primo e a um inteiro. Tem-se ap^ ≡ a (mod p).
Demonstra¸c˜ao. Tem-se, pelo algoritmo da divis˜ao, a = pm + r , com 0 ≤ r < p. Logo a ≡ r (mod p), bastando ent˜ao provar que r p^ ≡ r (mod p). Como para r = 0 o resultado ´e trivial, podemos supor que r ∈ U(p) (que n˜ao ´e mais que { 1 , 2 ,... , p − 1 } com a multiplica¸c˜ao m´odulo p). Ent˜ao r p−^1 ≡ 1 (mod p) e, portanto, r p^ ≡ r (mod p).
O n´umero de classes laterais esquerdas (ou direitas) de um subgrupo H no grupo G designa-se por ´ındice de H em G e denota-se por (G : H).
Corol´ario
Se G ´e um grupo finito e H ´e um subgrupo de G , ent˜ao (G : H) = ord(G )/ ord(H).
Nota
Existem exemplos que mostram que o rec´ıproco do Teorema de Lagrange falso.
