A Resolução de Problemas, Slides de Matemática

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A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

P R O F. J O S É A L V E S D E O L I V E I R A N E T O

Estágio Supervisionado II

A Resolução de Problemas

 “Resolver problemas é uma habilidade prática, como

nadar, esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la

por meio de imitação e prática. (...) se você quer

aprender a nadar você tem de ir à água e se você quer

se tornar um bom ‘resolvedor de problemas’, tem que

resolver problemas”.

 George Polya

O Que é um Problema?

 Problema: qualquer situação que um indivíduo ou um grupo quer ou

precisa resolver e para a qual não dispõe de um caminho rápido e

direto que o leve à solução (Lester 1983 ).

 “tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em

resolver”, isto é, qualquer situação que estimule o aluno a pensar,

que possa interessá-lo, que lhe seja desafiadora e não trivial.

Também é desejável que ela tenha reflexo na realidade dos alunos a

que se destina (Onuchic, 1999 ).

 Essas definições conferem aos problemas as seguintes

características:

 Não se dispõe de procedimentos automáticos para resolve-los;

 Exige um processo de reflexão sobre os passos a serem seguidos;

 Para resolvê-lo necessita-se desenvolver algum tipo de

estratégia.

O Que é um Exercício?

 Exercício: qualquer situação ou tarefa que exige

a aplicação de técnicas já conhecidas e

plenamente exercitadas.

 Características de um exercício:

 Não representa nada de novo;

 Baseia-se no uso de habilidades e técnicas

sobreaprendidas;

 Pode ser resolvido pelos caminhos ou meios habituais.

Exemplos

5. Considere o esquema ao lado. Aparte superior é formada

por um quadrilátero em cujos vértices foram desenhados

quatro círculos e a parte inferior por dois triângulos com

círculos em todos os vértices. O círculo central está

desenhado sobre o vértice comum aos três polígonos. Em

cada círculo escrevem-se números naturais consecutivos,

começando no círculo superior e seguindo o sentido das

setas, tal como é exemplificado.

Adicionar os quatro números colocados nos vértices do quadrilátero, depois os três

números colocados nos círculos do triângulo da esquerda e, em seguida, os do

triângulo da direita. Por fim, adicionar as três somas obtidas. Esta soma final é

designada por Grande Total.

a) Encontrar uma relação entre os números representados no círculo central do

esquema e os Grandes Totais obtidos.

b) Mostre que a relação acima obtida é sempre válida.

Exemplos

6. O problema das sete pontes de Königsberg.

A cidade de Königsberg possuía duas ilhas cortadas pelo Rio Pregel e, na época, seis pontes as ligavam às margens e outra fazia a ligação das duas ilhas entre si. Por volta de 1735 , os moradores de Königsberg se desafiaram com o seguinte problema: seria possível fazer um passeio a pé pela cidade de modo a passar uma única vez por cada uma das sete pontes e retornar ao ponto de partida?

O Matemático Leonhard Euler ( 1707 - 1783 )

resolveu o problema utilizando a figura ao

lado

Principais tipos de Problema em Matemática

Vamos discutir neste encontro os principais tipos de

problemas que normalmente aparecem nos textos escolares da

Escola Básica.

1. Problemas de Reconhecimento;

2. Problemas de Algoritmos;

3. Problemas-Padrão simples e compostos;

4. Problemas-Processo ou Heurísticos;

5. Problemas de aplicação;

6. Problemas de quebra-cabeça.

Tipos de Problemas

Principais tipos de Problema em Matemática

1. Problemas de Reconhecimento  São simples exercícios de identificação de propriedades, conceitos, definições.

• a) Qual o maior número natural ímpar, de quatro algarismos distintos?
• c) Qual a propriedade da adição que está sendo usada quando escrevemos:
• 3 .( 2 + 7 ) = 3. 2 + 3. 7?
• d) Quais propriedades são utilizadas para simplificar a potência

− 5 ) 17 𝑎^21 ? b) Identifique os números primos na lista abaixo: 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 , 30 , 31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 , 37 , 38 , 39 , 40.

Principais tipos de Problema em Matemática

3. Problemas-Padrão

São problemas cuja solução está contida no próprio

enunciado, tendo apenas de transformar a linguagem usual na

linguagem matemática e resolvê-lo através de algum algoritmo

conhecido. De modo geral eles não aguçam a curiosidade do aluno e

nem o desafiam.

A) Problemas-padrão simples – apresentam apenas uma operação

matemática.

a) Uma semana tem 7 dias. Quantos dias tem 7 semanas?

b) 50 balas serão divididas igualmente entre 10 crianças. Quantas

balas receberá cada uma?

Principais tipos de Problema em Matemática

3. Problemas-Padrão B) Problemas-padrão compostos – apresentam duas ou mais operações matemáticas.

a) Ana, Beth e Carla possuem juntas $ 190 , 00. Sabendo que Ana

possui $ 62 , 00 e as outras duas possuem quantias iguais,

determine quanto possui cada uma.

b) Em um quintal existem 27 galinhas e 8 gatos. Se todos os

animais estão em perfeitas condições físicas, qual número total

de pés e patas neste quintal?

Principais tipos de Problema em Matemática

5. Problemas de aplicação

Retratam situações reais do dia-a-dia, também chamados de

situações-problema contextualizadas. Consiste na matematização de

uma situação real e geralmente exigem uma pesquisa e

levantamento de dados para sua resolução.

Exemplo 1 : Com R$ 3 , 15 compra-se exatamente 9 pães, sem deixar troco. Indo à mesma padaria com R$ 10 , 00 , quantos pães, no máximo, é possível comprar e quanto recebemos de troco? Exemplo 2 : Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo o padrão representado a o lado, que vai ser repetido em toda a extensão do pátio. As pastilhas de cor branca custam R$ 8 , 00 por metro quadrado e as de cor preta, R$ 10 , 00. Determine o custo por metro quadrado do revestimento utilizado. (Enem/ 2005 )

 6. Problemas de quebra-cabeça  São desafios. A sua solução depende, quase sempre, de um

golpe de sorte sobre a maneira como encarar o problema para que se

possa perceber algum truque ou regularidade que leve à sua solução.

Principais tipos de Problema em Matemática

Exemplo 1 :Descrever um procedimento para retirar de um rio exatamente seis litros de água, dispondo-se, para medir a água, de apenas dois recipientes: um com 4 e outro com 9 litros de capacidade. Exemplo 2 : Um rei resolveu dar a liberdade a um de seus três prisioneiros. Mandou trazer três chapéus brancos e dois vermelhos. Vendou os olhos dos prisioneiros, colocou um chapéu em cada um e depois foi retirando a venda dos olhos deles. Ganharia a liberdade aquele que soubesse dizer, de forma convincente, a cor do seu próprio chapéu olhando para os outros prisioneiros. Os dois primeiros não souberam dizer. O terceiro, antes que o rei lhe tirasse a venda dos olhos, afirmou com toda certeza a cor do seu chapéu. Qual a cor do chapéu do terceiro prisioneiro? Justifique

As Quatro fases para a resolução de um problema de Matemática

Primeira Fase

Entender o Problema

• Ler cuidadosamente o problema, se necessário várias vezes;
• Compreender o significado de cada termo utilizado;
• Se necessário, reescrever o problema;
• Identificar as partes principais do problema: a incógnita, os dados e a condicionante;
• Identificar quais assuntos matemáticos são abordados no problema.

As Quatro fases para a resolução de um problema de Matemática

Segunda Fase

Estabelecer de um Plano Encontrar a conexão entre os dados e a incógnita, objetivando definir uma estratégia ou plano de resolução. Poderá ser necessário considerar problemas auxiliares ou particulares.