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Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
PPGM - Departamento de Matemática
Mestrado Pro ssional em Matemática
em Rede Nacional PROFMAT
A Probabilidade Aplicada aos
Jogos de Azar
por
Rafael Thé Bonifácio de Andrade
sob orientação do
Prof. Dr. Alexandre de Bustamante Simas
Dissertação apresentada ao Corpo Do- cente do Mestrado Pro ssional em Ma- temática em Rede Nacional PROFMAT- CCEN-UFPB, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.
Janeiro/ João Pessoa - PB
A553p Andrade, Rafael Thé Bonifácio de. A probabilidade aplicada aos jogos de azar / Rafael Thé Bonifácio de Andrade.- João Pessoa, 2017. 69 f. : il. Orientador: Alexandre de Bustamante Simas Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN
Matemática. 2. Teoria dos jogos. 3. Probabilidade.
Jogos de azar.
UFPB/BC CDU: 51 ( 0 43)
Agradecimentos
Neste momento gostaria de agradecer imensamente a várias pessoas que contri- buíram direta ou indiretamente para esse importante passo, mas primeiramente a Deus pela vida e saúde física e mental para percorrer este longo caminho até aqui. Gostaria de agradecer a meus avós Dinarte e Oneida pelo incentivo dado ao pontapé inicial e segurarem a barra em vários momentos de fraqueza e precisão. Aos meus pais Ana Tereza e Nelson Ricardo (in memorian) pela formação pessoal e intelectual desde meu nascimento até hoje, os quais foram exemplo de caráter, pro ssionalismo e luta pela sobrevivência. Aos meus padrinhos Maria de Fátima Andrade Melo e Ilson de Melo Filho pelo acompanhamento e cobranças da minha educação e meu lado pro ssional. A todos os meus amigos da turma 2015 do PROFMAT que estiveram comigo desde o início, me apoiando e me aconselhando, os quais eu nunca esquecerei, em especial a pessoa de Mailson Alves que se tornou um dos melhores amigos que Deus colocou no meu caminho. Ainda no âmbito do PROFMAT, gostaria de agradecer ao prof. Dr. Bruno Ribeiro por toda paciência e orientações ao longo do programa, e ao prof. Dr. Alexandre de Bustamantes Simas, o qual me orientou mesmo frente a situações pessoais adversas. E especialmente a minha esposa Thaísa Andrade por toda força, compreensão, amor, ajuda e tantas outras virtudes que demonstrou ter comigo durante todo tempo que nos conhecemos, e principalmente nesta época, cando ao meu lado para o que quer que acontecesse, a qual não teria como expressar nem mensurar o tamanho do meu agradecimento e o que sinto por ela.
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Dedicatória
A Deus. A Thaísa. Aos meus familiares. Àqueles que direta ou indiretamente estiveram presentes nesta etapa da minha vida. A todos os que se alegram com minha vitória.
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Abstract
Games are present in all phases of human life and some of them are considered game of chance. Game theory is a branch of mathematics concerned in decision models where the goal is to gain, and is applicable to several behavioral studies including economics, political science, psychology, and logic. The games studied in this theory have well de ned elements such as players, information and actions. In this work we will see that games of chance are games that are more likely to be defeated than win, we will deal with some well known and common games such as: Poker, Black- jack, Craps, Roulette and Lottery as the Mega-Sena. Show how these games work, their stories and the odds of a player to be successful in playing, in order to show mathematically the real chances of winning when playing these famous games.
Key words: games theory ; probability ; gambling.
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Sumário
Introdução
Os Jogos de Azar sempre intrigaram as civilizações, independente da época ou da localização geográ ca de tal civilização. Uma vez que os primeiros jogos surgiram desde a época dos Impérios Romanos e continuam chamando a atenção de pessoas até hoje por lazer, esporte ou até fonte de renda, os Jogos de Azar são intrigantes por diversos aspectos. Atualmente existem vários tipos de Jogos de Azar, mas no Brasil a grande maioria é proibida desde 1946, durante o Governo Dutra, proibição essa relatada no livro "A Noite do Meu Bem"(Ruy Gaspar), cando somente liberada a exploração desse tipo de jogos através da Loteria Federal. Os demais Jogos de Azar são facilmente encontrados em cassinos, espalhados pelas mais diversas localidades de muitos países em todos os continentes. A legalização dos Jogos de Azar vem levantando várias discussões políticas e sociais no Brasil, principalmente pela quantidade de dinheiro que deixa de ser arre- cadada com impostos e a clandestinidade dos Jogos de Azar ser relacionada a crimes como falsidade ideológica, lavagem de dinheiro, trá co de in uência, trá co de dro- gas e prostituição. Uma vez que os jogos com apostas podem movimentar muito dinheiro, vários jogadores dependem deles como meio de sustento. Em contrapar- tida, jogadores que se tornam viciados, adquirindo uma patologia, colocam em risco sua saúde e patrimônio próprio e de pessoas próximas. A escolha desse tema partiu de uma conversa com o orientador prof. Dr. Ale- xandre de Bustamante Simas, que na oportunidade falávamos do fato da população ser enganada constantemente em vários aspectos, inclusive educacionais. E algumas pessoas, mesmo sabendo de certos riscos e de poucas chances de vitória, preferiam arriscar até mesmo o que não tinham. Fato esse que nos levou a re etir o compor- tamento dos jogadores de certos tipos de jogos, inclusive os Jogos de Azar. Mas, a quantidade de jogos são imensos. Então, decidi focar esse trabalho em alguns jogos historicamente muito populares no mundo e o mais popular deles (le- galizado) no Brasil. Esse trabalho versará, portanto, sobre os seguintes Jogos de Azar: jogos de cartas (Pôquer e Blackjack), jogo de dados (Craps), jogo de Roleta e jogo de loteria (Mega- Sena). Para cada um desses jogos, será contada uma breve história e a forma como se deve jogar, bem como as regras. Logo após explicados os procedimentos para jogar tais Jogos de Azar, serão mostradas as formas de apostas e as probabilidades de se obter sucesso (ou vitória) para cada tipo de aposta feita pelo jogador. O objetivo desse trabalho não é ensinar a jogar, mas sim analisar e mostrar que os Jogos de Azar foram criados para fazer com que os jogadores percam, independente
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de suas habilidades ou experiências no jogo, mas de probabilidades e estatísticas baseadas na lógica da teoria dos jogos.
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1.1 Análise Combinatória
Solução. Se o número contém 3 algarismos, vamos chamar o algarismo da cen- tena de m 1 , o algarismo da dezena de m 2 e o algarismo da unidade de m 3. Se o número é ímpar, o algarismo da unidade só pode ser composto por um dos algaris- mos: 1, 3, 5, 7 ou 9. Logo, m 3 = 5. Como o número em questão, quando lido de trás para frente forma um número par, o algarismo da centena deve ser representado por um algarismo par escolhido entre: 2, 4, 6 ou 8 (pois nenhum número começa com o algarismo 0). Logo, m 1 = 4. O algarismo da dezena deve ser representado por um algarismo do sistema decimal e, ainda, deve ser diferente do algarismo escolhido para as posições m 3 e m 1. Logo, m 2 = 8. Portanto, a quantidade de números ímpares de 3 algarismos, que quando lidos de trás para frente formam um número par é igual ao produto m 1 .m 2 .m 3 = 4. 8 .5 = 160 números. Exemplo. Quantos divisores naturais tem o número 5400? Quantos deles são ímpares? Algum deles é quadrado perfeito? Solução. Para resolver esse problema, precisamos fatorar o 5400, e logo encon- tramos que 5400 = 2^3. 33. 52 , e todos os divisores de 5400 são, portanto, da forma 2 x. 3 y. 5 z^ , onde x ∈ 0 , 1 , 2 , 3 , y ∈ 0 , 1 , 2 , 3 e z ∈ 0 , 1 , 2. ∗ Logo, há 4.4.3 = 48 escolhas diferentes de expoentes , portanto o número de divisores de 5400 é 48. ∗ Para o divisor ser ímpar, ele deve ser da forma 20. 3 y. 5 z^. Temos então: 1.4.3 = 12 divisores de 5400 que são ímpares. ∗ Para o divisor ser quadrado perfeito, x,y e z têm que ser números pares. Então, 2.2.2 = 8 divisores de 5400 são quadrados perfeitos.
Princípio aditivo
Suponha que um evento possa ocorrer em k situações. Suponha, ainda, ue na i-ésima situação, o o evento pode ocorrer de ni formas. Finalmente, suponha ue eventos de situações distintas não podem ocorrer simultaneamente. Então, o número de formas do evento ocorrer em alguma das situações é n 1 + n 2 + · · · + nk. Exemplo. Uma lanchonete oferece, em seu cardápio, 3 opções de sanduíches (carne, frango ou hot dog), 3 opções de bebidas (água, suco ou refrigerante) e 2 op- ções de sobremesa (sorvete ou pavê). De quantas maneiras um cliente pode consumir um lache completo (sanduíche, bebida e sobremesa), de tal forma que ele coma pavê ou não tome refrigerante? Solução. Para essa situação, vamos calcular as possibilidades de cada opção separadamente: na primeira, o cliente come pavê e, na segunda, o cliente não toma refrigerante. ∗ As maneiras do cliente pedir um lanche completo, comendo pavê, são de 3.3. = 9 modos diferentes. ∗ As maneiras do cliente pedir um lanche completo, sem tomar refrigerante, são de 3.2.2 = 12 modos diferentes. Logo, há 9 + 12 = 21 maneiras diferentes do cliente pedir um lanche comendo pavê ou sem tomar refrigerante.
1.1. ANÁLISE COMBINATÓRIA
1.1.2 Fatorial
Representado pelo símbolo !, o fatorial de um número n é o produto de todos os números inteiros de 1 até n. Ou ainda:
n! =
∏^ n
k=
k, ∀n ∈ N
Como consequências dessa de nição, temos que:
- 1! = 1
- (n+1)! = (n+1).n!
- Por convenção, 0! = 1
É conveniente salientar que os fatoriais podem ser estendidos para números complexos não-naturais, desde que não sejam inteiros negativos. Para z ∈ C
{− 1 , − 2 ,.. .}, considere a função gama:
Γ(z + 1) =
0
tz^ e−t^ dt
onde, se n é natural, Γ(n + 1) = n!. Já para fatoriais de números grandes, digamos n, pode-se usar a aproximação de Stirling:
n! ∼
2 πn
(n
e
)n
É interessante observar que, para os fatoriais, não são válidas as operações arit- méticas de adição: n! + m! 6 = (n+m)!, e multiplicação: n!.m! 6 = (n.m)!. Apenas conseguimos simpli car os fatoriais, se atentarmos para as suas expansões: Exemplo. Simpli que a fração 9!6!. Solução. Ao contrário da simpli cação aritmética, essa simpli cação não é igual
a (^32 )!. Ao expandir o 9! e o 6!, temos: 9!6! = 1.^21.^3. 2.^4. 3.^5. 4.^6. 5.^7. 6.^8.^9 = 7. 8 .9 = 504.
Exemplo. Resolva a equação ((nn+3)!+1)! = 56. Solução. Para resolver esse tipo de equação, devemos observar o maior dos fatoriais (n+3)!, bem como sua expensão: (n+3)! = (n+3).(n+2).(n+1).n.· · · .3.2.1, ou ainda: (n+3)! = (n+3).(n+2).(n+1)!. Então,
(n+3)! (n+1)! =^
(n+3).(n+2).(n+1)! (n+1)! = 56^ ⇒ ⇒ (n + 3).(n + 2) = 56 ⇒ n^2 + 5n + 6 = 56 ⇒ n^2 + 5n − 50 = 0
Logo, n = -10 ou n = 5. Mas n ∈ N, então a única solução para essa equação é n=5. Há diversas aplicações para os fatoriais, dentre elas as permutações, os arranjos e as combinações.
1.1. ANÁLISE COMBINATÓRIA
P (^) nα,β,γ, ···=
n! α!.β!.γ!. · · · Para provarmos a fórmula acima, observe que dada uma palavra onde uma certa letra, denote-a por x, repete-se α vezes, temos α! formas de trocar a letra x de lugar sem mudar a palavra (trocando-as de posição entre si). Logo, para cada uma das n! permutações da palavra original, temos α! palavras repetidas (apenas levando em consideração as mudanças feitas com relação à letra x). Repetindo- se o raciocínio para cada uma das letras que se repetem, e aplicando o princípio multiplicativo, obtemos que cada palavra das n! permutações da palavra original, repete-se α!β!γ! · · · vezes. Portanto, o número de palavras distintas é:
n! α!.β!.γ!. · · ·
Exemplo. Possuo 5 bolas vermelhas, 3 bolas azuis e 2 bolas verdes para arrumá- las em um mural, formando apenas uma coluna de bolas. Quantos murais diferentes posso formar? Solução. Nesse caso, queremos permutar 10 bolas, das quais as cores de 5, 3 e 2 delas se repetem. Aplicando a de nição das permutações com repetições:
P 105 ,^3 ,^2 = (^) 5!.10!3!.2! = (^103) .. 29 .. 18 .. 27 .. 16 = 2520 murais diferentes.
Exemplo. Dois amigos decidiram jogar xadrez de uma forma diferente: cada um deles, em suas duas primeiras linhas (16 casas) podem dispor da arrumação que quiserem de suas peças. Quantas arrumações cada um dos amigos pode fazer para começar o jogo? Solução. Cada amigo dispõe de 16 peças, sendo elas 8 peões, 2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, 1 rainha e 1 rei. Dessa forma, ao trocarmos peças iguais, não formamos uma nova arrumação do tabuleiro. Então:
P 168 ,^2 ,^2 ,^2 = (^) 8!.2!16!.2!.2! = 64864800 arrumações distintas.
1.1.4 Agrupamentos
Ao escolher vários elementos de um grupo, estamos agrupando esses elementos, de tal forma que o modo como fazemos tais escolhas pode interferir no resultado desejado. Desta forma, vamos considerar um total de n elementos, dos quais esco- lheremos p elementos.
Arranjo simples
Quando escolhemos p elementos de um total de n elementos (com n ≥ p), de tal forma que a ordem de cada elemento escolhido in uencia no grupo formado, estamos diante de um Arranjo simples. Para determinar a quantidade de grupos, em que a ordem faz diferença, podemos usar:
An,p =
n! (n − p)!
1.1. ANÁLISE COMBINATÓRIA
Os arranjos simples também podem ser entendidos como o princípio multiplica- tivo do princípio fundamental da contagem, pois cada elemento tem sua posição (e única, uma vez que a variação de posição modi ca o agrupamento). Quando temos n elementos (todos distintos entre si) e queremos agrupá-los em p formações distintas, para o primeira posição (x 1 ) temos n elementos disponíveis, para a posição x 2 temos n-1 elementos disponíveis, e assim sucessivamente, até a posição xp, a qual teremos (n - (p - 1)) elementos disponíveis para tal posição. Pelo princípio multiplicativo: An,p = n.(n − 1). · · · .(n − (p − 1)) e, ao multiplicar essa expressão por ((nn−−pp)!)! , teremos: An,p = n.(n − 1). · · · .(n − p + 1).((nn−−pp)!)! = (^) (n−n!p)! Exemplo. Em uma prova de natação, competem 8 atletas de países diferentes. De quantas maneiras o pódio pode ser formado? Solução. A formação do pódio é composto de 3 atletas, dos quais estarão pre- sentes no grupo de 8 competidores. Observe que a ordem dos nadadores no pódio faz diferença, pois um mesmo atleta ao tirar em primeiro ou terceiro lugar, receberá medalha diferente e subirá num andar diferente na premiação. Dessa forma, temos um arranjo de 8 atletas, dos quais 3 formarão o pódio. Assim, A 8 , 3 = (^) (8−8!3)! = 8!5! = 8.^7 5!.^6 .5!= 8. 7 .6 = 336 pódios diferentes. Exemplo. Na biblioteca de uma escola, os livros são registrados com um código composto de duas letras distintas e uma sequência de três algarismos distintos. Pode-se usar qualquer uma das 26 letras do alfabeto e qualquer algarismo de 0 a 9. Dessa forma, calcule o número de livros que podem ser catalogados. Solução. Como as letras devem ser distintas, os códigos AB e BA (por exemplo) são referências a livros distintos. Da mesma forma para os números, a sequência 012 é diferente da sequência 201, o que corresponde a livros diferentes. Então, para as letras temos um arranjo de 26 letras para escolher duas e para os números temos 10 algarismos para escolher três. Pelo princípio multiplicativo do princípio fundamental da contagem, os arranjos devem ser multiplicados. A 26 , 2 .A 10 , 3 = (^) (2626!−2)!. (^) (1010!−3)! = 26!24! .10!7! = 26.^25 24!.24!.^10.^9 7!.^8 .7!= 468000 Podem ser catalogados, então, 468000 livros.
Combinação simples
Quando queremos formar um grupo com p elementos, escolhidos em um universo de n elementos, de tal forma que a ordem dessa escolha não in uencie no resultado, dizemos que esse grupo é uma combinação. Para esse tipo de combinação (simples), cada elemento só pode ser escolhido uma única vez. Podemos associar também a combinação de p elementos a um conjunto, pois a ordem dos elementos em qualquer conjunto não faz diferença. Para determinar a quantidade total de combinações da escolha de p elementos dentre os n elementos disponíveis, podemos utilizar:
Cn,p =
n! p!.(n − p)! Também conhecido pela forma
(n p
, as combinações também podem ser consi- deradas como todos os arranjos (resultados ordenados) nos quais só nos interessam
1.1. ANÁLISE COMBINATÓRIA
x 1 + x 2 + · · · + xn = p. Podemos então resolver este problema colocando p símbolos • , representando o total de elementos a serem escolhidos, e, em seguida posicionar n − 1 símbolos | entre as bolas • para indicar as quantidades de x 1 , x 2 ,... , xn. Mais precisamente, o número de bolas • antes do primeiro símbolo | (contando da esquerda para a direita) é igual a x 1 , o número de bolas entre o primeiro símbolo | e o segundo símbolo | é igual a x 2 , e assim sucessivamente. Lembrando, que como procuramos soluções não-negativas é possível não termos nenhuma bola entre o i − 1 -ésimo símbolo | e o i-ésimo símbolo |, indicando neste caso que xi = 0. Assim, existe uma correspondência biunívoca entre as soluções possíveis e as sequências de • e | de comprimento n − 1 + p, com n − 1 símbolos | e p símbolos •. O total de tais sequências é o número de permutações de n − 1 + p elementos com p e n − 1 repetições:
(n − 1 + p)! p!(n − 1)!
Portanto, podemos calcular o total de combinações completas através da relação:
CRpn = Cnp+p− 1 =
(n + p − 1)! p!.(n − 1)! Exemplo. Quantas soluções naturais (inteiras não-negativas) tem a equação x
- y + z = 8? Solução. Por se tratar de soluções naturais, o menor resultado possível é o 0 e o maior resultado possível é o 8. Porém, em todo esse intervalo de 9 números, devemos escolher 3 deles de tal forma que a solução seja satisfeita e, lembrando, que alguma incógnita pode ter o mesmo valor de outra. Para isso, vamos chamar cada unidade do resultado que queremos de um símbolo (aqui representaremos com um • ), e cada operador que separa as soluções individuais de outro símbolo (aqui usaremos |). Assim, podemos escrever as soluções, através dos símbolos, como por exemplo: • • • | •• | • • • se trata da solução (3;2;3) e a solução • || • • • • • • • trata-se da terna (1;0;7). Então, como podemos repetir os resultados em mais de uma variável, CR^38 = C8+3^3 − 1 = C 103 = (^) 3!.(810!−1)! = (^103) .. 29 .. 18 ..7!7! = 120 Há 120 soluções naturais para a equação x+y+z = 8. Exemplo. Um buet tem 7 opções de saladas, dos quais o cliente pode escolher 4 porções para seu almoço. De quantas maneiras o cliente pode montar seu prato de salada? Solução. Nada impede o fato de que o cliente pode escolher 1 porção de um tipo de 3 porções de outro tipo. Então, vamos associar cada tipo de salada a uma variável an, sabendo que o total de porções de cada tipo deve ser igual a 4. Assim, a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = 4. Utilizando símbolos, podemos escrever exemplos de solução como • ||| • || •• | que forma a solução (1,0,0,1,0,2,0) que indica que o cliente está querendo 1 porção da salada 1, 1 porção da salada 4 e 2 porções da salada 6. Então, usando as combinações que podem ter elementos repetidos, CR^47 = C7+4^4 − 1 = C 104 = (^) 4!.(1010!−4)! = (^104) .. 39 .. 28 .. 17 ..6!6! = 210
1.2 Probabilidade
Logo, o cliente terá 210 modos de montar seu prato de saladas.
1.2 Probabilidade
1.2.1 Aspectos Históricos
A primeira obra que trata de probabilidade chama-se De Ludo Aleae, de Gio- larmo Cardano (1501-1576), que trata de jogos de azar; porém esta só foi publicada em 1663. Um famoso problema proposto por Cardano foi o "problema dos pontos", que logo foi proposto a Pascal (1623-1662), que o levou para Fermat (1601-1665). A partir daí, houve uma importante interação entre ambos, que fez com que cada um deles resolvesse a sua maneira, Pascal utilizando o triângulo aritmético (que cou famoso como Triângulo de Pascal) e essa correspondência deu fundamentos à teoria das probabilidades moderna. Christiaan Huygens foi o primeiro a dar um tratamento cientí co, mas foi Jakob Bernoulli (com a Arte da Conjectura) e Abraham de Moi- vre (com a Doutrina da Probabilidade) que realmente se referiram à Probabilidade como sendo um ramo da matemática.
1.2.2 Calculando Probabilidades
Para entender o que é probabilidade, vamos de nir alguns conceitos que serão muito importantes a partir de agora: · Experimento aleatório é todo experimento (ou fenômeno) que produz re- sultados imprevisíveis, dentre os possíveis, mesmo quando repetido em semelhantes condições, dependendo somente do acaso. · Espaço amostral (Ω) é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. · Evento é todo subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Considere agora um evento A de um espaço amostral Ω nito e equiprovável. De- nimos Probabilidade do evento A (P(A)) como sendo a razão entre a quantidade de elementos de A (n(A)) e a quantidade de elementos de Ω (n(Ω)).
P (A) =
n(A) n(Ω) Note que, se A é um evento qualquer de Ω, ao considerarmos os conjuntos ∅, A e Ω, temos que: ∅ ⊂ A ⊂ Ω ⇒ n(∅) ≤ n(A) ≤ n(Ω) ⇒ n n((Ω)∅) ≤ n n((Ω)A) ≤ n n(Ω)(Ω) ⇒ 0 ≤ P (A) ≤ 1. Se A é um evento impossível, temos P(A) = 0, pois: A = ∅ ⇒ P (A) = n n((Ω)∅) = 0. Se A é um evento certo, temos P(A) = 1, pois: A = Ω ⇒ P (A) = n n(Ω)(Ω) = 1. Exemplo. Um dado é lançado duas vezes consecutivas e o resultado de sua face voltada para cima é anotado. Qual a probabilidade da soma dos valores anotados ser maior que 9? Solução. Para esse tipo de problema, vamos calcular (inicialmente) o espaço amostral Ω. Em dois lançamentos consecutivos, podemos ter como resultados:
