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A Integral Definida
O estudo da Integral Definida e da Derivada , esta introduzida no Capítulo 2, constitui o objetivo central deste livro. Historicamente os dois conceitos foram desenvolvidos separadamente. Carl B. Boyer^1 , em sua História da Matemática, p.278, nos dá a exata dimensão de cada processo: “Achar tangentes exigia o uso do calculus differentialis e achar quadraturas o calculus summatorius ou calculus integralis , frases de onde resultaram as expressões que usamos”. Em razão disso, os autores deste livro optaram pela denominação Cálculo Diferencial e Integral, mantendo-se a referência inicial, ao contrário de outros autores que optam pela palavra síntese Cálculo.
Na sequência será desenvolvido o processo que nos permite o cálculo de áreas de regiões planas, mais especificamente, área sob curvas e, em seguida, a generalização desse processo nos conduzirá ao conceito de integral definida.
8.1 Cálculo de Áreas
Sabemos, através da Geometria, como calcular áreas de polígonos e do circulo. Esse conhecimento pode ser utilizado para o cálculo de áreas de regiões que possam ser divididas em um número finito de regiões poligonais ou setores circulares. Quando a região não pode ser decomposta deste modo o procedimento não consegue ser adotado para o cálculo de sua área. Um exemplo simples desse fato é o cálculo da região limitada por uma elipse.
Apresentaremos nesta secção um método sistemático de cálculo da área de certas regiões para as quais os recursos da Geometria se mostram ineficazes. Esse método, além de sua importância intrínseca, fornece motivação para o tema principal deste capítulo que é a Integral Definida.
Para a introdução do processo de cálculo de áreas que iremos desenvolver necessitaremos de alguns conceitos preliminares essenciais para o entendimento do método.
(^1) BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo. Editora Edgar Blucher Ltda. 1996
Cálculo Diferencial e Integral A Integral Definida
Definição 8. Sejam a e b dois números tais que e f uma função contínua em [^ ], com para todo desse intervalo. Denominaremos de área sob a curva f entre a e b como sendo a área da região limitada pelo gráfico da função f , pelas retas verticais e e pelo eixo horizontal, conforme figura ao lado.
Notação:
Exemplo 8.
Exemplos de áreas sob curvas.
Cálculo Diferencial e Integral A Integral Definida
Exemplo 8.
A função [ ] definida por
cujo gráfico está exibido ao lado, tem máximo absoluto em e em , mas não tem mínimo.
Os exemplos vistos nos indicam a necessidade de estabelecer condições que nos permitam decidir quando que uma função tem máximo absoluto e mínimo absoluto. Enunciaremos agora um teorema sobre isto, mas não o demonstraremos, pois a teoria apresentada neste texto não é suficiente para tal.
Teorema 8.1 (Teorema da Existência de Máximo e Mínimo Absolutos)
Se uma função for contínua num intervalo fechado de extremos a e b então a função assume, neste intervalo, máximo e mínimo absolutos.
Exercício 8.
Em cada função dada nos Exemplos 8.2 e 8.3 verifique a ocorrência das hipóteses do Teorema 8.1 e confronte as ocorrências ou não de máximos e de mínimos.
Exercício 8.
Nas funções dadas a seguir, diga se ela tem máximo ou mínimo absoluto. Para os casos afirmativos indique: o máximo, o mínimo e os pontos de máximo ou de mínimo.
[^ ]^ 2)
- [^ ]
Agora temos conhecimentos básicos necessários para iniciar o estudo de cálculo de áreas. Começaremos com o exemplo a seguir.
Exemplo 8.
Vamos obter um valor aproximado da área sob a curva , entre 1 e 2. Para fazer isso iremos comparar dois triângulos, conforme exposto a seguir.
A Integral Definida Cálculo Diferencial e Integral
A função , tem um ponto de mínimo absoluto em e um ponto de máximo absoluto em .
Notamos, então, que a área do retângulo de base 1 e altura é menor do que a área sob a curva , entre 1 e 2; esta, por sua vez, é menor do que a área do retângulo de base 1 e altura. Como a área do primeiro retângulo é 1 e a área do segundo é 4, podemos afirmar que:
Ao conseguir estabelecer que a área considerada é maior do que 1 e menor do que 4 podemos afirmar o seguinte: se atribuirmos a essa área qualquer valor entre 1 e 4 não cometeremos, na avaliação de seu valor, um erro maior do que 3. Podemos obter uma aproximação melhor? A resposta é afirmativa e, para obter isso, basta subdividir o intervalo [^ ]^ e considerar a área de novos retângulos. Na sequência, iremos dividir o intervalo [^ ]^ em duas partes iguais e considerar as áreas de quatro retângulos.
A função , tem ponto de mínimo absoluto em e ponto de máximo absoluto em e a função , tem mínimo absoluto no ponto e ponto de máximo absoluto em.
Considerando os quatro retângulos com base no intervalo [^ ], podemos relacionar as suas áreas com a área sob a curva , entre 1 e 2 da seguinte maneira:
A Integral Definida Cálculo Diferencial e Integral
Observe que em cada subintervalo
[ ]
a função considerada assume, como na figura ao lado, o mínimo absoluto e o máximo absoluto ocorrem, respectivamente, em
Na construção do processo que faremos a seguir iremos tratar separadamente a soma das áreas dos retângulos inscritos e a soma das áreas dos retângulos circunscritos. Desta forma, para os retângulos inscritos, teremos:
ou
[ ( ) ( ) ( ) ]
Desenvolvendo os quadrados, fica:
[ ( ) ( ) ( )]
O primeiro termo da desigualdade anterior pode ser reagrupado da seguinte maneira:
[ ] [ ]
ou
{ [ ] [ ]}
A desigualdade (2) pode ser consideravelmente simplificada através das seguintes identidades, que podem ser demonstradas pelo processo de indução finita :
Cálculo Diferencial e Integral A Integral Definida
Tomando-se as identidades (2) e (3), com e substituindo em (2), teremos:
[ ]
que, simplificando e reduzindo os termos semelhantes, se reduz a:
Com a soma das áreas dos retângulos circunscritos, podemos escrever a seguinte desigualdade:
Procedendo-se de maneira similar ao que se fez antes, a desigualdade (6) passa a ter a seguinte expressão:
Relacionado (5) e (7), teremos:
A relação (8) assegura que a área sob a curva , entre 1 e 2 é um número que se encontra limitado inferiormente pela soma das áreas de n retângulos inscritos e, superiormente, pela soma de n retângulos circunscritos, onde n é um número natural qualquer e corresponde ao número de subdivisões do intervalo [^ ]. Observa-se facilmente que à medida que aumentamos n, menor ficará a diferença entre a soma das áreas dos retângulos circunscritos e a soma das áreas dos retângulos inscritos e, nesse procedimento, vai-se obtendo aproximações cada vez melhores para. É de se esperar que, num processo contínuo, ao fazer n tender para o infinito encontremos a área procurada.
Assim,
Cálculo Diferencial e Integral A Integral Definida
A área sob a curva entre a e b será obtida fazendo , com. Assim, teremos:
De modo semelhante poderíamos ter obtido a área considerando-se retângulos circunscritos, com base e alturas , onde é um ponto de máximo absoluto de f em [ ],.
Pode-se mostrar que, sendo f contínua, existem e são iguais os seguintes limites:
Este fato é de se esperar, pois, quando e , e pela continuidade de , tende para. Podemos usar qualquer um desses limites para calcular a área sob a curva entre a e b. Para facilitar os cálculos podemos, ainda, considerar na subdivisão intervalos de mesmo comprimento.
Exemplo 8.
Calcularemos, a seguir, a área sob a curva entre e , usando retângulos inscritos (veja figura ao lado). Dividindo o intervalo [^ ]^ em n subintervalos de comprimentos iguais a
teremos a subdivisão:
Em cada subintervalo, determinado pela subdivisão de [^ ], o mínimo absoluto
da função ocorre no extremo da esquerda, isto é, em [^ ]^ o mínimo absoluto é
( ), para todo. Assim, a soma das áreas dos retângulos inscritos é
dada por:
A Integral Definida Cálculo Diferencial e Integral
[ ]
Daí,
[ ]
Esse resultado já era esperado, pois, a região é um triângulo de base 2 e altura 2.
Exemplo 8.
Nesse exemplo, vamos calcular a
Diferentemente do exemplo anterior usaremos, agora, os retângulos circunscritos (veja figura ao lado). Para isso o intervalo [^ ]^ será dividido em n partes iguais a
pela subdivisão:
Em cada subintervalo, determinado pela subdivisão de [^ ], o máximo absoluto
da função ocorre no extremo da direita, isto é, em [^ ]^ o máximo absoluto da função é
( ), para todo.
Neste caso, a soma das áreas dos retângulos circunscritos será da forma:
e, portanto:
A Integral Definida Cálculo Diferencial e Integral
Teorema 8. A Função Área é derivável e , para todo em [ ].
Demonstração Para demonstrar que a Função Área possui derivada em um ponto de [^ ]^ é necessário demonstrar que as derivadas laterais dessa função no ponto existem e são iguais, exceto para os extremos onde são consideradas apenas a derivada à direita em a e a derivada à esquerda em b. Para a derivada à direita em [ [ consideremos o quociente:
Sendo contínua no intervalo [ ], ela assume nesse intervalo máximo e mínimo absolutos. Sejam c e d os pontos de máximo e mínimo absolutos, respectivamente. Comparando as áreas dos retângulos de base e alturas e com a área sob a curva f entre e , conforme figura ao lado, teremos:
ou,
Dividindo termo a termo por , obteremos:
Quando teremos que e e, como f é contínua ocorrerá que e, também,. Portanto:
ou seja, a derivada à direita de em existe e é igual a. De modo análogo demonstra-se que a função possui derivada lateral à esquerda para todo no intervalo ] ] e que é, também igual a (essa demonstração deixamos a cargo do leitor). Desta forma, concluímos que é derivável em [^ ]^ e, além disso:
Cálculo Diferencial e Integral A Integral Definida
Como consequência deste teorema, podemos sistematizar o cálculo de área através do seguinte corolário:
Corolário 8. Seja [^ ]^ uma função contínua. Então a área sob a curva entre a e b é dada por
onde é uma primitiva qualquer de.
Demonstração
Pelo Teorema 8.2, é uma primitiva de , suposta contínua e positiva em [ ]. Como é outra primitiva de segue, pelo Teorema 7.2, que para todo [^ ]^ e para algum. Assim,
e como , concluímos que , ou seja:
, para todo [^ ].
Daí, para , teremos que:
sendo uma primitiva qualquer de.
Exemplo 8.
Dada a função , vamos encontrar:
Para isso, basta tomar uma primitiva de como, por exemplo
e calcular: ou
Cálculo Diferencial e Integral A Integral Definida
Exemplo 8.
Nesse exemplo, vamos calcular a área limitada pelo gráfico da função , pelo eixo e pela reta vertical.
Esse é outro caso em que as hipóteses do Teorema 8.2 e, consequentemente, do Corolário 8.1 não estão integralmente contempladas, uma vez que a função dada não é positiva no intervalo [^ ]. Mesmo assim podemos calcular a área indicada considerando, no lugar da função dada, a função , definida em [^ ]. É fácil concluir que a área solicitada coincide com a área sob a curva entre e.
Assim,
Daí, concluímos que:
Exemplo 8.
Iremos agora calcular a área de um setor circular.
Particularmente, vamos considerar o setor circular, como no gráfico ao lado, definido pela reta , pelo círculo de equação e pelo eixo horizontal.
O exemplo estende o processo de calculo de área sob curva para tratar, como neste caso, o que denominamos de área limitada por curvas. O primeiro passo na solução do problema é determinar os pontos de interseção das curvas envolvidas na
A Integral Definida Cálculo Diferencial e Integral
definição da região que se quer calcular a área. Nesse caso temos: a reta , o círculo
(ou no caso a função √ ) e o eixo horizontal. As interseções com o eixo horizontal ocorrem em e. Para encontrar a interseção das duas funções devemos substituir em ; daí se obtém e, consequentemente,
√ ⁄^ , já que a raiz negativa não interessa ao caso em questão. O que se observa agora é que temos duas áreas sob curvas a considerar: a área sob a curva entre 0 e
√ ⁄^ e a área sob a curva √ entre √ ⁄^ e 1. Assim a área em questão pode ser calculada por adição da seguinte maneira:
√ ⁄ √ ⁄^ (√^ )
Sabemos que uma primitiva de é
e que uma primitiva de (^) √ (como se encontra no Exemplo 7.7) é
portanto,
(
e, daí:
ou
Exercício 8.
- Calcule a área sob a curva dada, no intervalo indicado:
A) de 0 a 2; B) de 0 a ; C) de 0 a ⁄^ ; D) (^) √ de 0 a 4.
- Calcule a área entre as curvas e de 0 a ⁄.
- Calcule a área entre as curvas e
- Calcule a área entre as curvas e.
- Calcule a área da elipse de semi-eixos a e b.
- Calcule a área do quadrilátero de vértices: (0,0), (2,4), (3,1) e (4,0).
A Integral Definida Cálculo Diferencial e Integral
I) J)
K) L)
M) N)
O) P)
Cálculo Diferencial e Integral A Integral Definida
8.3 Integral Definida
O processo de cálculo de áreas, exposto anteriormente, faz parte, em sua essência, dos esforços de um grande número de matemáticos e, também, de outros estudiosos não necessariamente matemáticos, que durante os séculos XVI, XVII e posteriores refundiram a matemática de gerações anteriores, ampliaram consideravelmente os conhecimentos até então desenvolvidos e lançaram as bases do conhecimento matemático e de outros ramos científicos do mundo contemporâneo.
Em sua formulação do Cálculo Integral , Leibniz, ao mostrar o método do cálculo da área sob a curva entre a e b conforme o processo de limite que exibimos anteriormente definiu o valor dessa área como sendo a integral definida de de a até b, introduzindo o seguinte símbolo:
a partir da subdivisão , e, além disso, com , para todo [ ].
Segundo Courant e Robbins^2 , p.457, “ o símbolo (^) ∫ , e o nome foram introduzidos por Leibniz para sugerir a maneira pela qual o limite é obtido ”.
Na concepção de Leibniz exige-se que a função seja positiva em todo o intervalo [^ ]^ para garantir, evidentemente, que não apareçam, no somatório, parcelas negativas e, portanto, destituídas de significados, já que cada parcela representa o valor de uma área. Entretanto, do ponto de vista processual, o limite se calcula sobre uma soma e não há nenhuma restrição analítica que comprometa a existência do limite, caso apareçam parcelas negativas nessa soma. A existência do limite está vinculada à continuidade da função e a uma particularidade na subdivisão do intervalo em questão, como veremos a seguir.
Comecemos por considerar uma função contínua em [^ ]. Em seguida, vamos subdividir esse intervalo [ ], escolhendo pontos, , da seguinte maneira:
satisfazendo a seguinte propriedade:
Para todo , vamos considerar os números , sendo e os outros dois, respectivamente, o mínimo absoluto e o máximo absoluto de no intervalo [^ ]. Assim, teremos:
(^2) Courant, R. e Robbins H. O que é Matemática?.Rio de Janeiro:Editora Ciência Moderna Ltda., 2000
