Equação de Calor: Descrição e Solução, Exercícios de Energia

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A Equa

A Equaç

ção de Calor

ão de Calor

„ „

Uma das Uma das EDP

EDP´

´

s s cl

clá

ássica da F

ssica da Fí

ísica

sica-

Matem

Matemá

ática e a equa

tica e a equaç

ção diferencial

ão diferencial

parcial que descreve o fluxo de calor

parcial que descreve o fluxo de calor

em um corpo s

em um corpo só

ólido. E uma aplica

lido. E uma aplicaç

ção

ão

mais recente

mais recente é

é a que descreve a

a que descreve a

dissipa

dissipaç

ção de calor gerado pelo atrito

ão de calor gerado pelo atrito

em vôos espaciais na re

em vôos espaciais na re-

-entrada na

entrada na

atmosfera terrestre atmosfera terrestre.

.

Fluxo de calor

isolamento

Fluxo de calor

„„

Considere uma barra com se Considere uma barra com seç

ção uniforme de um

ão uniforme de um

material homogêneo. material homogêneo.

„ „

Seja Seja

u(x,t) u(x,t) a temperatura localizada em

a temperatura localizada em

x x no

no

tempo tempo

t t.

.

„ „

Desejamos desenvolver um modelo para Desejamos desenvolver um modelo para

determinar o fluxo de calor atrav determinar o fluxo de calor atravé

és da barra.

s da barra.

„„

Para isto devemos seguir alguns princ Para isto devemos seguir alguns princí

ípios b

pios bá

ásicos

sicos

das das fisica

fisica:

:

„ „

A A.

A quantidade de calor fluindo atrav

.

A quantidade de calor fluindo atravé

és da barra

s da barra

é é proporcional

proporcional é

é proporcional a

proporcional a

multiplicado por uma constante de multiplicado por uma constante de

proporcionalidade proporcionalidade

k(x)

k(x)

chamada a chamada a

condutividade condutividade

t té

érmica

rmica do material.

do material.

x

u

∂

∂

/

Analogamente

Analogamente

, no

, no

ponto

ponto

x + x +

Δ Δ

x x,

temos

temos

„ „

Se no intervalo [

Se no intervalo [

x, x+

x, x+

x x], no tempo

], no tempo

t t ,

,

existe alguma outra fonte de calor adicional,

existe alguma outra fonte de calor adicional,

como

por exemplo rea

como

por exemplo reaç

ções qu

ões quí

ímicas,

micas,

aquecimento ou correntes el

aquecimento ou correntes elé

étricas com

tricas com

densidade de energia

densidade de energia

Q(x,t) Q(x,t),

a varia

,

a variaç

ção

ão

total de calor

total de calor

E

E est

está

á dada pela f

dada pela fó

órmula:

rmula:

).

,

(

u

t

B)

of

)(

(

)

(

t

x

x

t

area

x x k x x H

Δ

∂

∂ Δ Δ + − = Δ +

Δ Δ

E = entrada de calor A E = entrada de calor A –

• sa

saí

í

da de da de

calor B + calor gerado. calor B + calor gerado.

„ „

Com

Com

E = c(x) m

E = c(x) m

u

u, onde

, onde

m = m =

ρ ρ

(x) (x)

V

V ,

,

dividindo por

dividindo por

x)(

x)(

t)

t), e tomando limites

, e tomando limites

com

com

x x , e

, e

t t

0, obtemos:

, obtemos:

„ „

Assumindo que

Assumindo que

k, c, k, c,

ρ ρ

são constantes,

são constantes,

temos:

temos:

) , ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) (

t

x

t

u x x c t x Q t x x

u

x

k

x

∂

∂

=

⎤ ⎥⎦

⎡ ⎢⎣

∂

∂

∂

∂

ρ

)

,

(

2

2

t

x

p

u

u

2

x

t

∂ ∂

=

∂

∂

2

2

L x x f x u

t t L u t u

t L x t x x

u

t

x

t

u

β

A equa

A equa

ç

ç

ão de calor unidimensional

ão de calor unidimensional

„ „

Propomos uma solu

Propomos uma soluç

ç

ão da forma

ão da forma

u(x,t) = X(x) T(t)

u(x,t) = X(x) T(t).

.

„ „

Substituindo na equa

Substituindo na equaç

ç

ão obtemos ão obtemos:

:

O m

O mé

é

todo de separa

todo de separaç

ç

ão de

ão de

vari

variá

áveis

veis

. 0 ) ( ) ( ' '

and

0 ) ( ) ( '

have

we

Thus

Constants.

)

(

) ( ' ' ) (

)

(

'

eq.

following

the

to

leads

this

. 0 0 , ) ( ) ( ' ' ) ( ' ) (

=

−

=

−

=

=

<

<

=

x

kX

x

X

t

kT

t

T

x

X

x

X

t

T

t

T

L, t

x t T x X t T x X

β

β

β

Que conduz à seguinte equação

k

temos

e

„„

Caso (i): Caso (i):

k = 0 k = 0.

Neste caso temos

.

Neste caso temos

X(x) = 0 X(x) = 0,

a

,

a

solu soluç

ç

ão trivial ão trivial

„ „

Caso ( Caso (ii

ii):

):

k > 0

k > 0.

Seja

.

Seja

k = k =

λ λ

2 2

,

então

,

então subsituindo

subsituindo

temos temos

X X

′

′ ′

′

λ λ

2 2

X = 0 X = 0.

O conjunto fundamental

.

O conjunto fundamental

de solu de soluç

ções

ões é

é: {

: {

e e

λλ

x x

, e

, e

λ λ

x x

}. E a solu }. E a soluç

ção geral est

ão geral está

á

dada por : dada por :

X(x) = c X(x) = c

1 1

e

e

λ λ

x x

• c
• c

22

e e

λ λ

xx

X(0) = 0 X(0) = 0

⇒ ⇒

c c

1 1

c c

2 2

= 0

= 0,

e

,

e

X(L) = 0 X(L) = 0

⇒ ⇒

c

c

1 1

e

e

λ λ

L L

• c
• c

2 2

e e

λ λ

L L

= 0 = 0 ,

assim

,

assim

c

c

1 1

(e

(e

22

λ λ

L L

-1) = 0

1. = 0

⇒ ⇒

c c

1 1

= 0

= 0

e c e c

2 2

= 0. = 0.

Mais uma vez obtemos a solu Mais uma vez obtemos a soluç

ç

ão trivial ão trivial

X(x) X(x)

≡

≡

0 0

. .

Ainda Ainda

bem bem

que que

temos temos

mais mais

um um

caso

caso

(iii)

(iii)

quando

quando

k < 0 k < 0

.

.

„ „

Novamente come

Novamente começ

ç

amos com amos com

k = k =

λ λ

2 2

λ

λ

.

X

X

(x) + (x) +

λ

λ

2 2

X(x) = 0 X(x) = 0,

,

cuja equa

cuja equa

ç ç

ão caracter ão caracter

í

í

stica stica

é é

r

r

2 2

λ λ

2 2

ou

ou

r = r = ±

λ

λ

i i.

.

A solu

A solu

ç

ç

ão geral: ão geral:

X(x) = c

X(x) = c

1 1

e e

i i

λ λ

xx

• c

• c

22

e e

-i

i

λ λ

x x

ou: ou:

X(x) = c

X(x) = c

1 1

cos cos

λ

λ

x

• c

x

• c

2 2

sin sin

λ λ

x

x.

.

Para

Para

T T

′

′

(t)

(t) -

β

β

kT(t

kT(t) = 0,

k =

) = 0,

k = -

λ λ

2 2

„ „

Re

Re-

escrevendo esta equa escrevendo esta equa

ç ç

ão como:

ão como:

T

T

β β λ

λ

2 2

T = 0

T = 0

ou

ou

T

T

β

β λ

λ

2 2

T

T.

.

Vemos que as solu

Vemos que as soluç

ções são da forma

ões são da forma

n

t

L

n

n

T

t

b

e

π

β

⎛

⎞

⎜

⎟

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

u(x,t u(x,t

) = ) =

∑ ∑

u u

n n

(x,t (x,t),

),

para para todo

todo n.

n.

„ „

Mais precisamente,

Mais precisamente,

„ „

Isto conduz novamente

Isto conduz novamente à

à questão se

questão se é

é

poss

possí

ível representar a

vel representar a

f(x) f(x) por uma s

por uma sé

érie de

rie de

Fourier em senos?

Fourier em senos?

.

)

(

sin

)

0

,

(

:

have

must

We

.

sin

)

,

(

1

1

2

x f x L n c x u

x L n e c t x u

n

t

L

n

n

=

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

=

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

=

∑ ∑

∞

⎞⎟ ⎠

⎛⎜ ⎝

−

∞

π

π

π

β

Devemos ter

As equa

As equa

ç

ç

ões no estado transit

ões no estado transit

ó

ó

rio e no

rio e no

estado estacion

estado estacion

á

á

rio

rio

Laplace

Equação de calor