Baixe Introdução às Oscilações Elétricas em Circuitos RLC: Utilizando Números Complexos e outras Provas em PDF para Energia, somente na Docsity!
9.2 O circuito RLC
O fio do solenoide de um circuito LC tem naturalmente alguma resistência diferente de zero. Agora vamos tornar a descrição deste tipo de circuito um pouco mais realista considerando esta resistência. Pode haver também um resistor explicitamente no circuito. Então vamos analisar o circuito representado pela figura 9.2.1. A resistência do fio pode ser considerada como incluída no resistor que aparece no esquema explicitamente. Fig. 9.2.1 Circuito RLC
A lei das malhas deste circuito difere daquela do circuito sem resistor apenas pelo termo RI.
q dI RI L C dt
Com a relação entre corrente e carga q na placa na qual a corrente entra
dq I dt
obtemos a equação diferencial
2 2
dq q d q R L dt C dt
Da Física II reconhecemos que esta equação é do tipo de um oscilador amortecido. Mesmo sem ter visto este tipo de equação antes, podemos desconfiar que um circuito como este da figura 9.2.1 deva executar uma oscilação amortecida. Pois o resistor vai transformar irreversivelmente energia elétrica em energia térmica. A perda de energia elétrica será proporcional à energia eletromagnética armazenada no capacitor e no indutor. Isto indica um comportamento exponencial.
Fig. 9.2.2 Circuito RLC. O elemento R é apenas a resistência do fio da bobina. O capacitor é o bloquinho azul montado numa fita de placa de circuito com dois pinos banana. Esta fita de placa foi espetada nos borns dos terminais da bobina. Uma ponta de prova de um osciloscópio está grampeada nas pernas do capacitor. Veremos com uma experiência se esta suspeita corresponde à verdade. A figura 9.2.2 mostra uma fotografia de um circuito RLC. No caso a resistência do circuito é somente a resistência do fio do solenoide. A voltagem no capacitor foi monitorada por um osciloscópio. A figura 9.2.3 mostra este circuito junto com uma fonte que serve para criar uma condição inicial não trivial. Aparece na imagem a projeção do gráfico das voltagens captadas pelo osciloscópio. Percebemos uma linda oscilação amortecida.
R
L C (^) q I
-q
Fig. 9.2.3 Oscilação amortecida da voltagem no capacitor de um circuito RLC.
Com as considerações sobre perda de energia e com estes dados experimentais, temos
todo motivo de querer resolver a equação (9.2.3) com uma tentativa que combine uma oscilação com um decaimento exponencial.
( ) cos( 0 ) q t = Ae −β t ω + α t (9.2.4)
Mas há duas razões para não andar por este caminho. Primeiramente lembramos da Física II que às vezes o amortecimento de um oscilador pode ser tão forte que não há mais nenhum comportamento oscilatório. Neste caso, a tentativa (9.2.4) iria falhar. A segunda razão para evitar a aplicação da tentativa (9.2.4) é nossa preguiça de escrever longas fórmulas. Veja: a expressão do lado direito da fórmula (9.2.4) é um produto de duas funções. A derivada primeira deste produto gera dois termos. Na hora de derivar mais uma vez, cada um destes termos dá origem a dois termos. Muito trabalho! Toda
e o complexo conjugado
a + ib = a − ib (9.2.8).
Com o complexo conjugado pode-se escrever o módulo de um número na seguinte forma:
z = z z^ * (9.2.9).
O número real a é chamado de parte real do número a + ib e o número b é chamado de parte imaginária de a + ib. Então a parte imaginária de um número complexo é um número real! A divisão de um número complexo por um número real é definida como
def.
a ib a b i c c c
e a divisão de dois números complexos z , y é definida da seguinte forma
def^ =.^ *
z z y
y y y
O maior poder analítico que os números complexos fornecem se revela no estudo de funções diferenciáveis e complexas que dependem de variáveis complexas. Mas aqui vamos usar apenas funções complexas diferenciáveis que dependem de uma variável real. A derivada é calculada simplesmente derivando tanto a parte real como a parte imaginária:
d ( a ( ) ib ( )) da ( ) db ( )
i d d d
α + α (^) α α = + α α α
Para nossa investigação das oscilações, a função exponencial será de especial interesse. Na seção 5.8 definimos a função exponencial com a motivação da conta bancária:
A função ex é aquela função que cumpre a equação diferencial
d ex dx = ex e a condição inicial e^0 = 1.
Podemos incluir a regra da cadeia e definir logo uma função exponencial com alguma constante de proporcionalidade no expoente x = a α com a = const .:
A função e a α^ é aquela função que cumpre a equação diferencial
d ea α^ d α = a ea αe a condição inicial e a ×^0 = 1.
Agora vejam a seguinte função:
f ( α ) def = . cos ( α) + i sen( α ) (9.2.13)
Calculando a derivada obtemos:
sen ( ) cos( )
df i d
α = − α + α α
Se escrevermos o fator − 1 que multiplica o seno na forma de i^2 e colocarmos um fator i em evidência, perceberemos que esta função obedecerá a uma equação diferencial muito simples:
( ) ( sen^ (^ )^ cos(^ )) (^ )
df i i i f d
α = α + α = α α
Veremos qual é o valor desta função no ponto α = 0 :
f ( 0 ) = cos 0( ) + i sen 0( ) = 1 (9.2.16)
Então pela nossa definição na caixinha com margem dupla, devemos chamar esta
função de ei α^.
cos (^) ( ) sen( )
e i α^ = α + i α
Esta fórmula é a famosa fórmula de Euler^1.
Fig. 9.2.4 Leonhard Euler Pintado por Jakob Emanuel Handmann - Kunstmuseum Basel A imagem foi transferida de en.wiki (en:Image:Leonhard Euler.jpg) under the {{PD-old}} license tag. Wars 16:56, 25 June 2006 (UTC), Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=893656. A expressão no lado direito desta fórmula fornece uma interpretação geométrica simples do número ei α^. Podemos representar os números complexos por pontos num plano euclidiano de duas dimensões usando a parte real e a parte imaginária do número como coordenadas cartesianas neste plano. A distância entre dois pontos P z , P w que
representam dois números complexos z e w é dada
pelo módulo do número z - w.
Com (^) ( ) ( )
2 2
cos α + sen α = 1 , percebemos que os pontos imagem da função ei α
ficam todos com a distância 1 do número zero. A definição geométrica das funções cosseno e seno revela logo o significado do número α : este é o ângulo que o segmento
de reta entre zero e o número ei α^ faz com o eixo real. A figura 9.2.5 mostra esta interpretação geométrica.
Fig. 9.2.5 Representação do número ei α^ no plano complexo.
Se considerarmos ângulos α que aumentam com o tempo da forma α = ω + α t 0 , teremos meios de
descrever uma oscilação como parte real de uma função exponencial. Falta somente um jeito de combinar isto com o fator e −β^ t. O leitor pode mostrar o seguinte teorema (Exercício E 9.2.X):
(^1) Leonhard Euler 15/04/1707 – 18/09/1783 foi o matemático mais produtivo de todos os tempos. Pierre-
Simon Laplace dizia: “Leiam Euler, leiam Euler! ele é o nosso mestre!”
Re ( z )
Im ( z )
1
α
z = eiα
A constante ajustável q 0 também pode ser complexa. Com a fórmula de Euler,
podemos escrever esta constante na forma q 0 = q 0 e^ i α^0. Esta maneira de escrever um
valor complexo q 0 é chamada de forma polar do valor q 0 , e o ângulo α 0 é chamado
de argumento do valor q 0. Com o teorema, cuja demonstração ficou como exercício e
que estabelece a propriedade e ea^ b = e (^ a^ + b ) da função exponencial, podemos arrumar o aspecto da solução de tal forma que o decaimento exponencial apareça separado de um movimento circular no círculo unitário:
( ) 0 2 (^0 )
R t
q t = q e^ −^ L ei^ ω +α t (9.2.24)
Na figura 9.2.6 mostro a trajetória que o número complexo q (^) ( t ) /q 0 percorre quando o
tempo avança. Fig. 9.2.6 Trajetória do número
exp { −β + t i ( ω + α t 0 )}.
O que falta é sair do mundo fictício das grandezas complexas e voltar para o nosso mundo real com cargas elétricas verdadeiras que não possuem nenhuma parte imaginária. Para esta volta é essencial que a multiplicação de um valor complexo por um valor real não misture a parte real e a imaginária. Isto significa que vale para qualquer valor real r e para qualquer valor q a seguinte relação:
Re (^) ( r q) = r Re (^) ( q (^) ) com r real (9.2.25)
Como o tempo t é real, podemos também comutar a tomada da parte real e a derivação de uma função temporal:
Re ( ) Re
d d dt dt
q q
Como os fatores R , 1/ C e − L são reais, podemos gerar da solução complexa uma solução real tomando a parte real da equação diferencial e aplicando as fórmulas (9.2.25) e (9.2.26):
2 2
2 2
Re Re
Re Re Re
d d R L dt C dt
d d R L dt C dt
^ ^
+^ =^ ^ −
q q q
q q q
Isto significa que a função
Im( q / q 0 )
Re( q / q 0 )
q t ( (^) ) = Re q (^) ( t ) (9.2.28)
é também uma solução da equação diferencial, e esta “vive” no nosso mundo real. Com a fórmula de Euler obtemos da solução complexa (9.2.24) imediatamente a desejada solução real:
( ) 0 2 cos( 0 )
R t
q t = q e^ − L ω + α t (9.2.29).
Isto é exatamente a nossa tentativa (9.2.4) que abandonamos por causa da preguiça de manusear os termos gerados pela regra de produto. Os parâmetros desta tentativa têm agora valores bem determinados:
2 2
R R
L LC L
β = ω = − (9.2.30).
O leitor provavelmente pergunta: por que abandonamos a outra solução w − da equação
quadrática (9.2.20)? Esta solução descreve um movimento no plano complexo que gira no sentido contrário, dando a mesma solução real. Então para a nossa finalidade esta segunda solução não traz nada de novo. A situação é diferente se os parâmetros do
circuito são tais que 1/ LC < R^2 / 4 L^2. Neste caso, as duas soluções da equação
quadrática dão origem a duas soluções reais que descrevem decaimentos exponenciais sem comportamento oscilatório. Este é o caso de um oscilador superamortecido. Há
ainda a possibilidade de amortecimento crítico quando 1/ LC = R^2 / 4 L^2. Neste caso a tentativa (9.2.18) fornece somente uma solução, e uma segunda solução linearmente independente tem que ser construída com um outro método. O leitor que não aprendeu estes detalhes na Física II pode consultar o livro de Física II de H. M. Nussenzveig.
Exercícios:
E 9.2.1: No exercício E 9.1.1 consideramos um circuito LC com um capacitor de 10,0 nF e uma bobina de 10,0 cm de comprimento enrolada com 200 espiras formando um cilindro de 10,0 mm de raio. Vamos supor que cada espira encoste na sua espira vizinha. Então temos como calcular o diâmetro do arame. Mas temos que considerar ainda que este arame possui uma camada de verniz. Vamos supor que este verniz tenha
uma espessura de 0,05 mm. O cobre tem uma resistividade de (^) ( ) (^2 ) 0,0172 Ω mm m−.
Como esta resistividade é diferente de zero, temos na verdade um circuito RLC.
(a) Determine se este circuito pode oscilar, ou seja, se o amortecimento é subcrítico.
(b) Caso ele for subcrítico, calcule em quantas oscilações a amplitude de oscilação decai por um fator 1/ e.
E 9.2.2: Demonstre o Teorema 9.2.1.
E 9.2.3: Use a fórmula de Euler e a propriedade e ea^ b = e (^ a^ + b ) da função exponencial para deduzir as fórmulas trigonométricas cos (^) ( α + β) = cos (^) ( α (^) ) cos (^) ( b ) − sen (^) ( α (^) ) sen( β (^) ) e
sen (^) ( α + β) = cos (^) ( α (^) ) sen (^) ( b ) +sen (^) ( α (^) ) cos( β (^) ). Faça esta dedução sem papel e lápis com os
olhos fechados!
E 9.2.4: Escreva os pontos de destaque desta seção.
