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8 – Equações de Estado
- 8.1 – Representação por Variáveis de Estado
- Exemplos - Exemplo 8.1 - Exemplo 8.2 - Exemplo 8.3 - Exemplo 8.4
- Matriz na forma companheira
- Exemplos
- 8.2 – A equação característica e os polos do sistema
- Exemplos
- Exemplo 8.7
- Exemplo 8.8
- Exemplo 8.9
- Exemplo 8.10
- 8.3 – Representações Equivalentes
- Exemplos
- Exemplo 8.11
- Exemplo 8.12
- Exemplo 8.13
- Exemplo 8.14
- Exemplo 8.15
- 8.4 – Transformação Função de Transferência para Equações de Estado
- Exemplos
- Exemplo 8.16
- Exemplo 8.17
- Exemplo 8.18
- 8.5 – Simulação Analógica
- Exemplos
- Exemplo 8.19
- Exemplo 8.20
- Exemplo 8.21
- Exemplo 8.22
- Exemplo 8.23
- Exemplo 8.24
- 8.6 – Conversão de Equação de Estado para Função de Transferência - Observação
- Exemplos - Exemplo 8.25 - Exemplo 8.26 - Exemplo 8.27 - Exemplo 8.28 - Exemplo 8.29
- Múltiplas entradas e múltiplas saídas - Exemplo 8.30
Para sistemas lineares e invariantes no tempo de ordem as equações de estado têm a forma
onde
A é uma matriz ×
B é uma matriz ×
C é uma matriz ×
D é uma matriz ×
p = número de entradas
q = número de saídas
No caso de sistemas com apenas uma entrada u(t), i.e., p = 1 e uma saída y(t) i.e., q = 1, temos que
ou seja, neste caso B é um vetor coluna, C é um vetor linha e D é uma constante d 1 (ou seja, D é uma matriz 1 x 1).
Exemplo 8.1:
Sistema carro-massa-mola
A equação diferencial ordinária (EDO) que descreve este sistema, conforme já visto no capítulo 2 (“ Modelização de Sistemas” ) é dada por:
eq. (7.1)
#%^
Neste exemplo, se definirmos a variável de estado
onde % = % = +,çã #* /00* * , +%/ %" %, %^ = %^ = 1"2 ,#/#" # /00* * , +%/ %" %.
então o par
representa o estado interno do sistema. Por exemplo, se
então isso significa que no instante t = 0 o “ estado ” do sistema é o carro passando pela origem (0 = 0) com velocidade – 3m/s, ou seja 3m/s para trás (0 = −3).
Com a definição de = 8^99 :;< acima temos
e, como = e = , então
Neste caso define-se as variáveis de estado como:
2 3
2
(^132)
X s s Y s
X s s Y s
s s s
U s X s Y s
o que implica que:
⇒⇒⇒⇒
1 1
2 1
3
1 3
2
1 2
s X s s X s s X s U s
s X s X s
s X s X s
Mas,
s X 1 (s) s X 2 (s ) 2 ⋅ = ⋅ e
1 (^ ) 3 (^ )
3
s ⋅ X s = s ⋅ X s
logo,
⇒⇒⇒⇒
1 1
2 3
2 3
1 2
s X s s X s s X s U s
s X s X s
s X s X s
e como s ⋅ X 1 (s) = X 2 (s) e s X 1 (s) X 3 (s) 2 ⋅ = , temos que:
⇒⇒ ⇒⇒
1
3 2 3
2 3
1 2
Y s X s
s X s X s X s U s
s X s X s
s X s X s
e portanto,
⇒
1
3 2 3
2 3
1 2
Y s X s
s X s X s X s U s
s X s X s
s X s X s
e desta formas obtemos as equações de estado do sistema:
[ ]
y x
x x u
Note que as matrizes A, B, C e D são neste caso:
− −
=
0 5 4
0 0 1
0 1 0
A
1
0
0
B C = [ 1 0 0 ] e D = 0
Exemplo 8.4:
Considere um sistema descrito pela equação diferencial ordinária (EDO)
#%^
#B
#%B^
+ ⋯ + /B
É fácil de se notar que a função de transferência deste sistema é dada por
D+
E+
+^ + /+B^ + ⋯ + /B+ + /
Matriz na forma companheira
A matriz A deste exemplo 8.4 acima é dita estar na forma companheira.
Note que ela tem
a) os elementos acima da diagonal principal têm todos o valor ‘1’ (um);
b) a última linha é constituída dos coeficientes do polinómio característico de A
+ = +^ + /+B^ + ⋯ + /B+ + /
com os sinais trocados e na ordem inversa;
além disso,
c) os demais elementos são todos igual a ‘0’ (zero).
Uma matriz quadrada (n x n) A que satisfaz as propriedades (a), (b) e (c) acima é dita estar na forma companheira.
Observe que as matrizes A do exemplos 8.1, 8.2 e 8.3, também estão ambas na forma companheira.
Se o polinómio característico de uma matriz quadrada (n x n) A tem o coeficiente de seu termo de mais alto grau um valor ao ≠ 0, ou seja,
+ = /T+^ + /+B^ + ⋯ + /B+ + /
então a matriz A na forma companheira terá a forma mais geral:
(^) −
(^) −
(^) −
(^) −
(^) −
=
− − − o o
n o
n o
n o
n a
a a
a a
a a
a a
a
A
1 2 3 1
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
L
L
M M M M M M
L
L
L
No caso particular, mas bastante comum, de ao = 1, a matriz A na “ forma companheira ” tem o seguinte aspeto:
an an− 1 an− 2 an − 3 a 1
A
L
L
M M M M M M
L
L
L
onde, a 1 , … , an-1 , an , são os coeficientes da equação característica p(s)
n 1 n
n 2 2
n 1 1
p( s) = sn^ + as + a s + + a s + a
−
− − L
Exemplo 8.5:
Se a equação diferencial ordinária (EDO) também tivesse derivadas de u, a escolha acima não seria apropriada. Considere o sistema descrito por:
A função de transferência do sistema é:
D+ E+
+^ + 2+ + 2
Define-se neste caso:
F
G
H
G
IJ+ =
E+
+^ + 2+ + 2
J+ =
+ E+
+^ + 2+ + 2
⇒ U
+J+ = J+
+J+ + 2+J+ + 2J+ = E+
u(t) (^) S y(t)
ou seja,
D+ =
−+ + 7 E+
+^ + 4 + − 2
Agora definindo as variáveis de estado
J+^ =
E+
+^ + 4 + − 2
J+^ =
+E+
+^ + 4 + − 2
temos que
+J+ =
+E+
+^ + 4 + − 2
= J+
+J+^ = − 4 +J+^ + 2 J+^ + E+^ =
e logo,
Portanto,
= 7 − 1!^ + 2!^
Observe que a matriz A aqui neste exemplo também está na forma companheira.
C D
A
C
B
8.2 – A equação característica e os polos do sistema
Um sistema descrito na forma de equação de estados [eq. (8.1)]:
tem o seu polinómio característico dado por:
+ = det+] −
Já os polos do sistema são os “ autovalores ”(ou “ valores próprios ”) de A , podendo ser repetidos, i.e., duplos, triplos, etc.
Como é sabido, os autovalores de A são as raízes do polinómio característico + = det+] − .
Exemplo 8.7:
Observe que para o sistema do exemplo 8.2 acima, o polinómio característico é dado por:
+ = det+] − = #"%
^ _ `+ +^
a _b
= +^ +
e, no caso de m = 1, & = 5 e k = 4
+ = $+^ + &+ + ' = +^ + 5+ + 4
Logo, a equação característica pode ser escrita como:
+^ + 5+ + 4 = 0
e para encontrar os polos , calcula-se as raízes de p ( s ), ou seja, os autovalores de A
c = −1 e c = −
Observe que a polinómio característico p(s) e os polos c " c obtidos aqui são os mesmos que os obtidos através da função de transferência.
u(t)^ S y(t)
8.3 – Representações Equivalentes
Considere o sistema:
cuja variável de estado é x(t). Definindo-se agora uma nova variável de estado ̅ como sendo:
̅ = f
sendo P inversível. Logo, como:
̅ = f
temos que:
W
= fB̅
= fB̅
e substituindo na eq. (8.3) obtém-se:
W
fB̅ = fB̅ +
= fB̅ +
⇒ W
̅ = f fB̅ + f
= fB̅ +
Portanto, a representação em Equações de Estado não é única. O sistema das equa- ções da eq. (8.3) acima pode ser representado na forma equivalente.
̅ = ̅̅ + g, ̅ 0 = ̅ = ̅ ̅ + h
g
u(t)^ S y(t)
h
eq. (7.3)
onde:
̅ = f fB
g (^) = f
̅= fB
h^ =
Note que a entrada u e a saída y não se alteraram. Somente a representação interna do sistema ( variáveis de estado ).
Exemplo 8.11:
Considere um sistema de 2ª ordem do exemplo 8.5, cujas equações de estado são:
W
= ^2 1!^ + 0!^
Portanto, a variável de estado original é:
Agora, escolhendo-se,
f = 8
temos que
̅ = f = (
Ou seja, a nova variável de estado ̅ é a antiga variável de estado x com a ordem das componentes trocadas.
Calculando ̅, g, ̅ " h^ pela eq. (8.5) obtemos
−
A PAP
1
eq. (7.4)
Exemplo 8.12:
Considere agora um sistema de sistema de 3ª ordem do exemplo 8.4.
[ ]
y 1 0 0 x
u
x
x&
Para que a nova variável de estado ̅ ser igual à antiga x apenas trocando a terceira componente L pelo dobro: ̅L = 2L, P deve ser:
f = i
j
e desta forma temos que
− −
=
⋅
− −
⋅
= − = 0 2 , 5 2
0 0 1
0 1 0
0 0 2
0 1 0
1 0 0
0 5 4
0 0 1
0 1 0
0 0 0 , 5
0 1 0
1 0 0 A PAP^1
⋅
= = 3
0
0
3
0
0
0 0 1
0 1 0
2 0 0 B PB
[ ] [ 0 , 5 0 0 ]
0 0 1
0 1 0
0 , 5 0 0 C CP 1 0 0 1 =
= = ⋅ − e D =D= 0
logo, as equações abaixo são uma representação diferente do mesmo sistema em equações de estado.
A B
C
[ ]
y 1 0 0 x
u
6
x
0 10 4
x&
Exemplo 8.13:
Considere novamente o sistema do exemplo 8.2,
= ^1 0!^
onde
%^ = posição do carro
% = velocidade do carro
Vamos definir uma nova variável de estado ̅ de tal forma que a sua primeira compo- nente ̅ é igual à primeira componente da variável de estado original ;
entretanto, a sua segunda componente
̅ é uma combinação linear das duas componentes da variável de estado original ,
Por exemplo: ̅ é igual a primeira componente de mais a 2 vezes a segunda componente de (i.e., ̅ = + 2).
A B
C
̅ g
h^ = 0
