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7 An´alise de covariˆancia (ANCOVA)
7.1 Introdu¸c˜ao
Em alguns experimentos, pode ser muito dif´ıcil e at´e imposs´ıvel obter unidades experimentais semelhantes. Por exemplo, pode-se n˜ao ter cobaias de mesmo peso, motores com o mesmo tempo de funcionamento, corpos de prova com mesmo ta- manho etc. Mas, em todos estes casos, quando a condi¸c˜ao inicial da unidade ex- perimental for conhecida e puder ser medida, e ainda, que seja conhecido que esta condi¸c˜ao inicial (uma vari´avel) tenha influˆencia sobre a vari´avel resposta, pode-se utilizar esta informa¸c˜ao para corrigir a vari´avel resposta. Tal, procedimento pode ser feito utilizando-se da t´ecnica de an´alise de covariˆancia.
A vari´avel medida na condi¸c˜ao inicial da unidade experimental ´e chamada de covari´avel (ou ainda, vari´avel auxiliar, vari´avel concomitante). Em um mesmo experimento, pode haver mais de uma covari´avel.
A covari´avel complementa o controle local e na grande maioria das situa¸c˜oes simplesmente o substitui.
Obviamente, a covari´avel necessita estar correlacionada com a vari´avel resposta para que se possa fazer uso de tal an´alise.
Quando a An´alise de Variˆancia ´e realizada com uma ou mais covari´aveis, usa- se chamar a an´alise de ANCOVA 2. A ANCOVA permite que se fa¸ca um “ajuste”do efeito de uma vari´avel resposta que sofreu influˆencia de uma vari´avel ou uma causa de varia¸c˜ao n˜ao controlada.
A ANCOVA, permite, portanto, um controle do erro experimental, aumen- tando a precis˜ao do experimento. ´e poss´ıvel tamb´em fazer o ajuste das m´edias dos tratamentos em fun¸c˜ao da(s) covari´avel(eis) e, em alguns casos, estimar observa¸c˜oes perdidas durante o experimento.
Para que uma covari´avel possa ser assim considerada, deve-se garantir que ela n˜ao seja afetada pelo tratamento. Por exemplo: ao utiliza-se como covari´avel o n´umero de animais sobreviventes em uma gaiola, deve-se garantir que a causa da morte ou da perda dos animais durante o experimento n˜ao seja causada pelo efeito do tratamento. Neste caso, o uso da covari´avel ´e incorreto, pois ser´a eliminado da an´alise uma poss´ıvel fonte de varia¸c˜ao conhecida: o pr´oprio efeito do tratamento. (^2) Analysis of covariance
Um situa¸c˜ao bastante comum ´e quando existem animais de pesos diferentes e a vari´avel resposta de interesse ´e o peso final dos animais. Neste caso, antes do in´ıcio do experimento, o peso inicial dos animais ´e obtido e utilizado como covari´avel no experimento.
Graficamente, a forma de corre¸c˜ao da vari´avel resposta atrav´es da ANCOVA pode ser vista na figura 14.
Figura 14: Metodologia de ajuste da an´alise de covariˆancia.
7.2 Modelo estat´ıstico
Considere um experimento com um fator e uma covari´avel. O modelo estat´ıstico pode ser escrito da seguinte maneira:
y (^) ij = μ + α (^) i + β(Xij − X¯) + � (^) ij (23)
onde
μ = constante; α (^) i =efeito do i-´esimo tratamento; X (^) ij = valor observado da covari´avel; X¯ = m´edia da covari´avel; β = coeficiente de regress˜ao linear entre a covari´avel (X) e a vari´avel resposta (Y), com β �= 0. Neste caso, a rela¸c˜ao deve ser linear.
Neste modelo, assume-se que a vari´avel resposta e a covari´avel est˜ao rela- cionadas linearmente.
e βˆ = E^ xy E (^) xx
O valor de F para tratamentos ´e obtido por:
F =
SQE �^ −SQE A− 1 SQE a(n−1)− 1
E a hip´otese H 0 : β = 0 pode ser testada por
F =
(Exy ) 2 Exx Eyy − (Exy Exx^ )^2 a(n−1)− 1
∼ Fα (1, a(n − 1) − 1) (26)
O ajuste da vari´avel observada Y , pode ser entendido como
y (^) ij − β(X (^) ij − X¯) = μ + α (^) i + � (^) ij (27)
O ajuste de m´edias de tratamentos, pode ser feito da seguinte maneira
y¯ � i. = ¯y (^) i. − βˆ(¯x (^) i. − x¯ (^) .. ) (28)
7.3 Exemplo:
Considere o seguinte conjunto de dados onde foi medido a resistˆencia de fios de algod˜ao. A resposta avaliada foi o comprimento (cm) que o fio atingiu antes de se romper. Como cada fio possui um diˆametro diferente, e isso afeta a resistˆencia, utilizou-se essa informa¸c˜ao como covari´avel. Os dados est˜ao na tabela 60. Trˆes tipos de m´aquinas foram comparadas neste experimento.
O primeiro passo da an´alise ´e verificar se existe rela¸c˜ao linear entre a vari´avel e a covari´avel. Esta rela¸c˜ao deve ser pelo menos aproximada.
O passo seguinte ´e calcular as somas de quadrados e produtos cruzados.
S (^) yy =
�^3
i=
�^5
j=
y (^) ij^2 − (y^ ..^ )^
2 an = (36^2 +^...^ + 32^2 )^ −^
(603) 2 3 × 5 = 346,^40
Tabela 60: Comprimento (Y) e diˆametro (X) de fios de algod˜ao. M´aquina 1 M´aquina 2 M´aquina 3 Observa¸c˜ao Y X Y X Y X 1 36 20 40 22 35 21 2 41 25 48 28 37 23 3 39 24 39 22 42 26 4 42 25 45 30 34 21 5 49 32 44 28 32 15 Total 207 126 216 130 180 106
S (^) xx =
�^3
i=
�^5
j=
x (^2) ij − (x^ ..^ )^
2 an = (20^2 +^...^ + 15^2 )^ −^
(362) 2 3 × 5 = 261,^73
S (^) xy =
�^3
i=
�^5
j=
(x (^) ij )(y (^) ij ) − (x^ .. an^ )(y ..^ )= (20 × 36 +... + 15 × 32) − (362)(603) 3 × 5 = 282, 60
T (^) yy =
�^3
i=
(y (^) i. ) 2 n −^
(y (^) .. ) 2 an =^
(207 2 +216 2 +180 2 ) 5 −^
(603) 2 15 = 140,^4
T (^) xx =
�^3
i=
(x (^) i. ) 2 n −^
(x (^) .. ) 2 an =^
(126 2 +130 2 +106 2 ) 5 −^
(362) 2 15 = 66,^13
T (^) xy =
�^3
i=
(x (^) i. )(y (^) i. ) n −^
(x (^) .. )(y (^) .. ) an =^
(126×207+130×216+106×180) 5 −^
(362)(603) 15 = 96
E (^) yy = 346, 4 − 140 , 4 = 206, 0 E (^) xx = 261, 73 − 66 , 13 = 195, 6 E (^) xy = 282, 6 − 96 = 186, 6
SQE �^ = 346, 4 − (282 261 ,,6) 73 2 = 41, 27
SQE = 206 − (186,6)^
2 195 , 6 = 27,^99 SQE �^ − SQE = 41, 27 − 27 , 99 = 13, 28 que ´e a soma de quadrados de tratamentos ajustada para a covari´avel.
O Coeficiente de regress˜ao βˆ pode ser obtido por
βˆ = E^ xy E (^) xx^ =
195 , 6 = 0,^954
Pode-se testar a hip´otese H 0 : β = 0 por
Fβ = (186,^ 6)^
