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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – UFSCar
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM
MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL PROFMAT
RODRIGO DOMINGOS DIAS
TRAÇADOS DE CALDEIRARIA NO DESENVOLVIMENTO
DA GEOMETRIA NO ENSINO MÉDIO
São Carlos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – UFSCar
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM
MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL PROFMAT
RODRIGO DOMINGOS DIAS
TRAÇADOS DE CALDEIRARIA NO DESENVOLVIMENTO
DA GEOMETRIA NO ENSINO MÉDIO
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Rede Nacional – PROFMAT – da Universidade Federal de São Carlos, como parte dos requisitos para obtenção do título de mestre em Matemática, sob a orientação do Prof. Dr. João Carlos Vieira Sampaio.
São Carlos
Dedicatória
À minha esposa Alexandra que sempre foi inspiradora e motivadora, inclusive nos momentos mais difíceis quando eu já me encontrava sem forças e disposto a desistir ela sempre sabia como me apoiar, mesmo com todas as dificuldades que ela mesma sentiu com minhas ausências. Se hoje posso enxergar mais longe, é com certeza por estar em pé sobre os ombros desta mulher.
Resumo
Um curso de Qualificação Profissional Traçador de Caldeiraria tem por objetivo o desenvolvimento das capacidades de calcular, traçar, planificar peças, elaborar desenho técnico de modelagem de conjuntos e subconjuntos, porem o objetivo deste trabalho não é a formação em Traçagem de Caldeiraria, mas trabalhar alguns tópicos de traçagem de caldeiraria com o intuito de levar o aluno do ensino médio a enxergar e entender melhor alguns conceitos básicos de geometria do ensino médio, visto que desta forma ele terá a oportunidade de vivenciar uma atividade prática, dando assim maior significado ao seu aprendizado. Como introdução, é delineado um resumo da história da geometria, a forma com que ela vem sendo desenvolvida e trabalhada por milhares de anos, e como a evolução da matemática desenvolvida por grandes personagens influenciaram o desenvolvimento e crescimento de sociedades assim como da humanidade como um todo, e mais ainda, como a geometria ainda hoje é trabalhada na sociedade de forma geral. Neste trabalho procuramos analisar de que forma e até que ponto uma aula mais técnica e voltada para uma atividade profissionalizante pode auxiliar nas necessidades do currículo do Ensino Médio e mais ainda, se o currículo do Ensino Médio atende as necessidades dos desafios contemporâneos da sociedade do século XXI que cada vez mais é caracterizada pelo uso intensivo do conhecimento, seja para trabalhar, conviver ou exercer a cidadania. A metodologia de pesquisa utilizada foi a Engenharia Didática que nos orientou na confecção e aplicação planejada de uma sequência didática em um grupo de alunos no ensino e aprendizagem de conceitos geométricos, elaborado a partir da constatação da dificuldade que os alunos enfrentam para compreender esses conceitos.
Palavras-chaves: história da geometria; ensino da geometria no Ensino Médio; caldeiraria; traçados geométricos; planificação; geometria.
Abstract
A course of Professional Qualification in Boiler Tracing aims to develop the capacities to calculate, chart, plan parts, prepare technical design, modeling sets and subsets. However the aim of this work is not training in Tracing the Boilers, but working some topics of boiler tracing in order to bring the student to see and better understand some basic concepts of geometry inherent to high school instruction, since in this way he will have the opportunity of a practical activity. We begin by presenting a brief history of geometry, delineating how it has being developed and crafted for thousands of years, and how the evolution of mathematics developed by great characters influenced the development and growth of societies as well as humanity as a whole, and further, how geometry is still crafted in society in general. In this work we examine how and to what extent a more technical classroom professionalizing activity can assist the needs of the curriculum of high school and even more, wondering whether the high school curriculum meets the needs of the contemporary challenges of the 21 st. century society, which is increasingly characterized by intensive use of knowledge, either to work, socialize or exercise citizenship. The research methodology used was the Didactical Engineering, that guided us in the creation and use of a planned teaching sequence, in a group of students, for the teaching and learning of geometric concepts, drawn from the observation of the difficulty faced by students to understand these concepts.
Keywords: history of geometry; teaching geometry in high school; boiler; Geometric strokes; planning; geometry.
- Figura 1 – Perpendicular por ponto P pertencente à reta..........................................................
- Figura 2 – Perpendicular por ponto P não pertencente à reta...................................................
- Figura 3 – Cópia de ângulos.....................................................................................................
- Figura 4 – Divisão de ângulo reto em três ângulos Congruentes..............................................
- Figura 5 – Bissetriz...................................................................................................................
- Figura 6 – Bissetriz com vértice inacessível.............................................................................
- Figura 7 – Paralela por ponto P não pertencente à reta.............................................................
- Figura 8 – Paralela com distância determinada.........................................................................
- Figura 9 – Triângulo equilátero, conhecendo seu lado..............................................................
- Figura 10 – Triângulo retângulo dado a hipotenusa e um dos catetos......................................
- Figura 11 – Encontrar o centro de um arco...............................................................................
- Figura 12 – Baricentro................................................................................................................
- Figura 13 – Incentro..................................................................................................................
- Figura 14 – Circuncentro..........................................................................................................
- Figura 15 – Ortocentro..............................................................................................................
- Figura 16 – Inscrição do triângulo equilátero em uma circunferência......................................
- Figura 17 – Inscrição de um quadrado em uma circunferência................................................
- Figura 18 – Inscrição de um pentágono em uma circunferência..............................................
- Figura 19 – Inscrição de um hexágono em uma circunferência................................................
- Figura 20 – Inscrição de um polígono qualquer em uma circunferência..................................
- Figura 21 – Espiral de dois cetros.............................................................................................
- Figura 22 – Espiral de três centros............................................................................................
- Figura 23 – Espiral de quatro centros.......................................................................................
- Figura 24 – Espiral de cinco centros.........................................................................................
- Figura 25 – Oval sendo dado o eixo menor..............................................................................
- Figura 26 – Oval com duas circunferências..............................................................................
- Figura 27 – Oval com Três circunferências..............................................................................
- Figura 28 – Espiral sendo dados eixos maior e menor.............................................................
- Figura 29 – Elipse.....................................................................................................................
- Figura 30 – Concordância de arco de raio R com reta por ponto P na reta..............................
- Figura 31 – Concordância de arco de raio R entre dois seguimentos.......................................
- Figura 32 – Tangente por um ponto A na circunferência.........................................................
- Figura 33 – Tangente por um ponto A fora da circunferência..................................................
- Figura 34 – Tangente externa entre duas circunferências.........................................................
- Figura 35 – Tangente interna entre duas circunferências..........................................................
- Figura 36 – Desenvolvimento da circunferência......................................................................
- Figura 37 – Planificação da virola............................................................................................
- Figura 38 – Planificação da derivação de 90^0 ...........................................................................
- Figura 39 – Planificação da derivação de 120^0 .........................................................................
- Figura 40 – Planificação da intersecção de 90^0 .........................................................................
- Figura 41 – Planificação da intersecção de 120^0 .......................................................................
- Figura 42 – Planificação da intersecção de 90^0 de diâmetros diferentes.................................
- Figura 43 – Planificação de Tronco de cone reto......................................................................
- Figura 44 – Planificação de Tronco de cone obliquo................................................................
- Figura 45 – Planificação da curva de gomos............................................................................
- Figura 46 – Planificação de quadrado para redondo.................................................................
- Figura 47 – Planificação de bifurcação.....................................................................................
- Figura 48 – Planificação de calota esférica...............................................................................
- Figura 49 – Planificação de hélice transportadora....................................................................
- Figura 50 – Atividade de avaliação...........................................................................................
- Figura 51 – Atividade de avaliação...........................................................................................
- Figura 52 – Atividade de avaliação...........................................................................................
- Figura 53 – Atividade de avaliação...........................................................................................
- Figura 54 – Atividade de avaliação...........................................................................................
- Figura 55 – Digitalização de traçados efetuados por aluno......................................................
- Figura 56 – Digitalização de traçados efetuados por aluno......................................................
- Figura 57 – Digitalização de traçados efetuados por aluno......................................................
- Figura 58 – Digitalização de traçados efetuados por aluno......................................................
- Figura 59 – Digitalização de traçados efetuados por aluno......................................................
- Figura 60 – Digitalização de traçados efetuados por aluno......................................................
- Figura 61 – Desenvolvimento de elipse....................................................................................
- Figura 62 – Foto traçagem calota elipsoide..............................................................................
- Figura 63 – Foto traçagem calota elipsoide..............................................................................
- Figura 64 – Foto armação calota elipsoide...............................................................................
- Figura 65 – Foto armação calota elipsoide...............................................................................
- Figura 66 – Foto aplicação calota elipsoide..............................................................................
- Figura 67 – Foto aplicação calota elipsoide..............................................................................
- Figura 68 – Foto aplicação calota elipsoide..............................................................................
- Figura 69 – Foto aplicação calota elipsoide..............................................................................
- Figura 70 – Digitalização de traçados efetuados por aluno......................................................
- Figura 71 – Digitalização de traçados efetuados por aluno......................................................
- Figura 72 – Planificação realizada por aluno............................................................................
- Figura 73 – Virola construída por aluno...................................................................................
- Figura 74 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno...............................................
- Figura 75 – Planificação realizada por aluno............................................................................
- Figura 76 – Derivação 90^0 construída por aluno.......................................................................
- Figura 77 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno...............................................
- Figura 78 – Planificação realizada por aluno............................................................................
- Figura 79 – Derivação 120^0 construída por aluno.....................................................................
- Figura 80 – Planificação realizada por aluno............................................................................
- Figura 81 – Intersecção 90^0 construída por aluno.....................................................................
- Figura 82 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno...............................................
- Figura 83 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno...............................................
- Figura 84 – Planificação realizada por aluno............................................................................
- Figura 85 – Intersecção 120^0 construída por aluno...................................................................
- Figura 86 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno...............................................
- Figura 87 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno...............................................
- Figura 88 – Intersecção 90^0 de diâmetros diferentes construída por aluno...............................
- Figura 89 – Planificação realizada por aluno............................................................................
- Figura 90 – Cone construído por aluno.....................................................................................
- Figura 91 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno...............................................
- Figura 92 – Planificação realizada por aluno............................................................................
- Figura 93 – Cone Oblíquo construído por aluno.......................................................................
- Figura 94 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno...............................................
- Figura 95 – Planificação realizada por aluno............................................................................
- Figura 96 – Curva de gomos construída por aluno ..................................................................
- Figura 97 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno...............................................
- Figura 98 – Planificação realizada por aluno............................................................................
- Figura 99 – Quadrado para redondo construído por aluno.........................................................
- Figura 100 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno.............................................
- Figura 101 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno.............................................
- Figura 102 – Planificação realizada por aluno..........................................................................
- Figura 103 – Bifurcação construída por aluno..........................................................................
- Figura 104 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno.............................................
- Figura 105 – Planificação realizada por aluno..........................................................................
- Figura 106 – Calota esférica construída por aluno....................................................................
- Figura 107 – Digitalização de pré-traçagem realizada por aluno.............................................
- Figura 108 – Planificação realizada por aluno..........................................................................
- Figura 109 – Hélice transportadora construída por aluno.........................................................
- Figura 110 – Desenvolvimento da derivação 90^0 .....................................................................
- Figura 111 – Desenvolvimento do tronco de cone reto............................................................
- Figura 112 – Desenvolvimento do tronco de cone reto............................................................
- Figura 113 – Desenvolvimento do tronco de cone reto............................................................
- Figura 114 – Desenvolvimento da curva de gomos..................................................................
- Figura 115 – Desenvolvimento de quadrado para redondo......................................................
- Figura 116 – Desenvolvimento da hélice transportadora..........................................................
- Figura 117 – Imagem ENEM 2009...........................................................................................
- Figura 118 – Imagem ENEM 2009...........................................................................................
- Figura 119 – Imagem ENEM 2009...........................................................................................
- Figura 120 – Imagem ENEM 2009...........................................................................................
- Figura 121 – Imagem ENEM 2009...........................................................................................
- Figura 122 – Imagem ENEM 2010...........................................................................................
- Figura 123 – Imagem ENEM 2010...........................................................................................
- Figura 124 – Imagem ENEM 2010...........................................................................................
- Figura 125 – Imagem ENEM 2010...........................................................................................
- Figura 126 – Imagem ENEM 2010...........................................................................................
- Figura 127 – Imagem ENEM 2010...........................................................................................
- Figura 128 – Imagem ENEM 2010...........................................................................................
- Figura 129 – Imagem ENEM 2010...........................................................................................
- Figura 130 – Imagem ENEM 2011...........................................................................................
- Figura 131 – Imagem ENEM 2011.........................................................................................
- Figura 132 – Imagem ENEM 2011.........................................................................................
- Figura 133 – Imagem ENEM 2011.........................................................................................
- Figura 134 – Imagem ENEM 2011.........................................................................................
- Figura 135 – Aluna realizando divisões em circunferência....................................................
- Figura 136 – Alunos realizando traçados de ovais e elipses...................................................
- Figura 137 – Aluna ajudando a traçar elipse com barbante....................................................
- Figura 138 – Desenvolvimento da virola................................................................................
- Figura 139 – Desenvolvimento da virola na lousa..................................................................
- Figura 140 – Desenvolvimento da derivação 90^0 na lousa.....................................................
- Figura 141 – Derivação realizada por aluna...........................................................................
- Figura 142 – Desenvolvimento da intersecção 90^0 na lousa...................................................
- Figura 143 – Traçados do desenvolvimento do cone na lousa................................................
- Figura 144 – Traçados do desenvolvimento do quadrado para redondo na lousa..................
- Introdução................................................................................................................................. Sumário
- Capítulo 1 – Da Geometria Descritiva ao Desenho Técnico....................................................
- Capítulo 2 – Discussão Pedagógica..........................................................................................
- 2.1 – Engenharia didática..................................................................................
- 2.2 – Análises prévias........................................................................................
- 2.3 – Construção e análises a priori...................................................................
- Capítulo 3 – Desenvolvimento das atividades..........................................................................
- 3.1 – Divisão das atividades..............................................................................
- 3.2 – Traçados geométricos...............................................................................
- 3.2.1 – Perpendicular por um ponto P pertencente à reta........................
- 3.2.2 – Perpendicular por um ponto P não pertencente à reta ................
- 3.2.3 – Cópia de ângulos..........................................................................
- 3.2.4 – Divisão de ângulo reto em três ângulos congruentes...................
- 3.2.5 – Bissetriz........................................................................................
- 3.2.6 – Bissetriz com vértice inacessível.................................................
- 3.2.7 – Paralela por ponto P não pertencente à reta.................................
- 3.2.8 – Paralela com distância determinada.............................................
- 3.2.9 – Triângulo equilátero, conhecendo seu lado..................................
- 3.2.10 – Triângulo retângulo, dado a hipotenusa e um dos catetos .......
- 3.2.11 – Encontrar o centro de um arco...................................................
- 3.2.12 – Baricentro de um triângulo........................................................
- 3.2.13 – Incentro de um triângulo............................................................
- 3.2.14 – Circuncentro de um triângulo....................................................
- 3.2.15 – Ortocentro de um triângulo........................................................
- equilátero.................................................................................................. 3.2.16 – Dividir a circunferência em 3 e inscrever o triângulo
- 3.2.17 – Dividir a circunferência em 4 e inscrever o quadrado...............
- regular...................................................................................................... 3.2.18 – Dividir a circunferência em 5 e inscrever o pentágono
- regular...................................................................................................... 3.2.19 – Dividir a circunferência em 6 e inscrever o hexágono
- 3.2.20 – Dividir a circunferência em N partes iguais...............................
- 3.2.21 – Espiral de dois centros...............................................................
- 3.2.22 – Espiral de três centros.................................................................
- 3.2.23 – Espiral de quatro centros............................................................
- 3.2.24 – Espiral de cinco centros..............................................................
- 3.2.25 – Oval sendo dado eixo menor......................................................
- 3.2.26 – Oval com duas circunferências...................................................
- 3.2.27 – Oval com três circunferências....................................................
- 3.2.28 – Oval sendo dados eixos maior e menor......................................
- 3.2.29 – Elipse..........................................................................................
- pertencente à reta..................................................................................... 3.2.30 – Concordância de arco de raio R com reta por ponto P
- concorrentes............................................................................................. 3.2.31 – Concordância de arco de raio R entre dois segmentos
- circunferência........................................................................................... 3.2.32 – Tangente por um ponto A pertencente à
- 3.2.33 – Tangentes por um ponto A externo à circunferência.................
- 3.2.34 – Tangentes externas a duas circunferências................................
- 3.2.35 – Tangentes internas a duas circunferências.................................
- 3.3 – Desenvolvimento das planificações.........................................................
- 3.3.1 – Desenvolvimento da circunferência.............................................
- 3.3.2 – Planificação da virola...................................................................
- 3.3.3 – Derivação 90º...............................................................................
- 3.3.4 – Derivação 120º.............................................................................
- 3.3.5 – Intersecção 90º.............................................................................
- 3.3.6 – Intersecção 120º...........................................................................
- 3.3.7 – Intersecção de 90º de diâmetros diferentes..................................
- 3.3.8 – Tronco de cone reto......................................................................
- 3.3.9 – Tronco de cone obliquo................................................................
- 3.3.10 – Curva de gomos..........................................................................
- 3.3.11 – Quadrado para redondo..............................................................
- 3.3.12 – Bifurcação..................................................................................
- 3.3.13 – Calota esférica............................................................................
- 3.3.14 – Hélice transportadora.................................................................
- Capítulo 4 – Aplicação das atividades......................................................................................
- 4.1 – Traçados geométricos...............................................................................
- 4.1.1 – 1º Dia (aulas 1 e 2).......................................................................
- 4.1.2 – 2º Dia (aulas 3 e 4).......................................................................
- 4.1.3 – 3º Dia (aulas 5 e 6).......................................................................
- 4.1.4 – 4º Dia (aulas 7 e 8).......................................................................
- 4.1.5 – 5º Dia (aulas 9 e 10).....................................................................
- 4.1.6 – 6º Dia (aulas 11 e1 2)...................................................................
- 4.1.7 – 7º Dia (aulas 13 e 14)...................................................................
- 4.2 – Planificações.............................................................................................
- 4.2.1 – 8º Dia (aulas 15 e 16)...................................................................
- 4.2.2 – 9º Dia (aulas 17 e 18)...................................................................
- 4.2.3 – 10º Dia (aulas 19 e 20).................................................................
- Capítulo 5 – Análise a posteriori e conclusão...........................................................................
- 5.1 – Análise dos traçados geométricos.............................................................
- 5.1.1 – 1ª Aula..........................................................................................
- 5.1.2 – 2ª Aula..........................................................................................
- 5.1.3 – 3ª Aula..........................................................................................
- 5.1.4 – 4ª Aula..........................................................................................
- 5.1.5 – 5ª Aula..........................................................................................
- 5.1.6 – 6ª Aula..........................................................................................
- 5.1.7 – 7ª Aula..........................................................................................
- 5.2 – Análise dos desenvolvimentos das planificações.....................................
- 5.2.1 – 8ª Aula..........................................................................................
- 5.2.2 – 9ª Aula..........................................................................................
- 5.2.3 – 10ª Aula........................................................................................
- 5.3 – Conclusões das atividades........................................................................
- Capítulo 6 – Considerações finais.............................................................................................
- Referências................................................................................................................................
- Anexo I – Atividades ENEM.......................................................................................................
- Anexo II – Fotos em Sala de Aula...........................................................................................
vida como aluno (inclusive neste curso de mestrado) e também como professor. Em segundo lugar pela grande quantidade de cursos em Caldeiraria^1 (SENAI, IFESP, instituições profissionalizantes particulares) devido ao número de empresas que necessitam deste tipo de mão de obra, mas sobretudo por perceber a crescente melhora no desempenho em matemática dos alunos que iniciam algum tipo de curso profissionalizante. Procuraremos desta forma, associar os conteúdos de geometria trabalhados em um curso de Caldeiraria ao conteúdo proposto para o Ensino Médio dentro de um contexto pertinente ao proposto por este curso de Mestrado. Neste sentido este trabalho procura desenvolver atividades ligadas às tecnologias necessárias em Traçados de Caldeiraria privilegiando os desenvolvimentos geométricos vinculados a esta prática, associando estes conteúdos ao desenvolvimento das Propostas Curriculares do Ensino Médio. Hoje em dia a formação profissional e a formação geral já não se excluem pois o universo do trabalho vem sofrendo grandes modificações e a LDB segue na tendência destas mudanças na organização do trabalho e promove a sincronia entre educação profissional e básica sendo que uma das finalidades do Ensino Médio é promover a possibilidade do educando continuar aprendendo e se preparar para o trabalho promovendo a cidadania e proporcionando aperfeiçoamentos posteriores. Esta dissertação foi dividida em seis capítulos e segue uma breve descrição do conteúdo de cada um deles. No primeiro capítulo damos ênfase a Geometria descritiva e a forma como ela dá fundamento ao Desenho técnico. No segundo capítulo fazemos uma discussão pedagógica sobre as orientações seguidas por este trabalho discutindo brevemente alguns conceitos da Engenharia Didática que nos ajudaram a montar uma sequência didática utilizada nas Atividades. No terceiro capítulo trataremos das atividades desenvolvidas em sala de aula, desde traçados geométricos, até o desenvolvimento de planificações de caldeiraria. No quarto capítulo relatamos como foi a aplicação das atividades. No quinto capítulo fazemos uma análise das peças desenvolvidas pelos alunos e da construção da peça final (Estrutura de uma calota elíptica). No sexto capítulo discutimos nossas considerações finais.
(^1) Entende-se por “Caldeiraria” a área da metalmecânica onde se desenvolve a traçagem, corte, conformação e calibragem em chapas, cantoneiras ou vigas de metal de acordo com projetos em Desenhos Técnicos.
Esperamos com este trabalho cumprir uma das principais motivações proposta no início deste Mestrado Profissional: montar um material que possa contribuir no ensino como um todo e especificamente na área da geometria, certos que a experiência adquirida ao longo da elaboração, discussão e aplicação dessa pesquisa tenha contribuído para o nosso aperfeiçoamento como profissional da educação.
