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6 – Vigas: Solicitações de Flexão
Introdução
Dando seqüência ao cálculo de elementos estruturais de concreto armado, partiremos agora para o cálculo e dimensionamento das vigas à flexão.
Ações
As ações geram solicitações nas estruturas. Estas solicitações são determinadas através de teorias de cálculo estrutural. No caso geral, tem-se:
F = Fk Fd = f Fk Sd
ou, em estruturas de comportamento linear,
F = Fk Sk Sd = f Sk.
No caso da flexão simples, tem-se: Fd Md.
Resistências
As resistências são determinadas através de teorias apropriadas, a partir dos dados da seção transversal e das características mecânicas dos materiais.
No caso da flexão simples tem-se, como dados:
fck (resistência do concreto); fyk (resistência da armadura); e dimensões relativas da seção transversal (concreto e armadura).
Através de teoria apropriada determina-se o momento resistente último, Mu
Verificações de Segurança
Existe segurança adequada quando é verificada a condição: Md Mu. Por razões de economia, faz-se Md = Mu.
Tipos de Ruptura na Flexão
Em geral, tem-se o seguinte tipo de ruptura:
se As = 0, ou muito pequena ruptura frágil (brusca) por tração no concreto; se As for muito grande (pequena deformação s) ruptura frágil (brusca) por esmagamento do concreto comprimido; e se As for “adequada” ruptura dúctil (com aviso), com escoamento da armadura e acompanhada de intensa fissuração da zona tracionada
3.6 Hipóteses de Cálculo na Flexão
Para o dimensionamento usual das vigas em concreto armado, deve-se respeitar as seguintes hipóteses de cálculo:
a) Manutenção da seção plana ;
As seções A e B passam para A’ e B’, quando fletidas, permanecendo planas conforme a figura a seguir:
b) Aderência perfeita entre concreto e armadura;
Inexiste qualquer escorregamento entre os materiais, em outras palavras, a deformação da armadura s é admitida igual à deformação da fibra de concreto c , junto a esta armadura.
c) Tensão no concreto nula na região da seção transversal sujeita a deformação de alongamento;
d) Diagramas tensão-deformação (de cálculo) no aço
aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento conforme a figura d1.
diagrama retangular simplificado
Figura e.
x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimida k = 0,85 , quando a largura da zona comprimida não diminui em direção à borda comprimida (seção retangular); em caso contrário usar 0,80.
f) Domínios de Deformação,
O estado limite último convencional ocorre quando o diagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B, na fig. f1).
Figura f.
Sendo:
d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimida x = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida)
Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2 quando a altura da zona comprimida obedece à condição:
x x 23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d
Por sua vez, o diagrama de deformação encontra-se no domínio 3 de deformação quando a altura da zona comprimida obedece à condição:
x 23 x x 34 = 0,0035 d / (0,0035 + yd)
Analogamente, o diagrama de deformação está no domínio 4 quando:
x 34 x d.
As
Mud x
k fcd
0,8x
deformação de estado limite último (u)
h
d
As
0,
yd 0,
A
B
x 34
x 23
D 4
D 3
D 2
4 3
2 Mud
A seção que atinge o ELUlt. nos domínios D 2 e D 3 é dita sub-armada ou normalmente armada. Quando o ELUlt. é atingido no D 4 , a seção é dita superarmada. Trata-se de situação antieconômica, pois a armadura não é explorada na sua plenitude. Procura-se evitar o dimensionamento neste domínio.
3.7 Dimensionamento à Flexão
3.7.1 Seção Retangular à Flexão
A seção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte forma:
a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular; a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda tracionada e pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade
Resultantes das tensões:
no concreto: Rcd = 0,85fcdb0,8x = 0,68bxfcd na armadura: Rsd = Assd
Equações de equilíbrio:
Força: Rcd = Rsd ou 0,68bxfcd = Assd (1) Momento: Mud = Rcd (d-0,4x) ou Mud = Rsd (d - 0,4x)
Substituindo o valor das resultantes de tensão, vem:
Mud = 0,68bxfcd(d - 0,4x) (2) Ou Mud = Assd(d - 0,4x) (3)
Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mud = Md (momento fletor solicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se adotar d 0,9 h. Dessa forma, a equação (2) nos fornece o valor de x:
h
d
b
x 0,8x
0,85fcd Rc d
Rsd
0, x d - 0,4x
Mud
As^ u sd
b /
a/
8 h (6h paralajeembalanco) b 2
f f 1
onde
0,6 emvaointernodeviga contínua
0,75 emvaoextremodevigacontínua
emvigaisostatica a
sendo l o vão correspondente da viga.
Se a altura comprimida (0,8 x) for menor ou igual à espessura da laje (hf), tem-se uma seção retangular com armadura simples, já vista. Quando x for maior do que hf, a forma da zona comprimida (sujeita à tensão 0,85fcd) tem a forma de um “T”. A análise da seção pode ser feita como se indica a seguir.
Figura 3.3.2.
O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retângulos (1 e 2). As resultantes de tensão sobre as partes 1 e 2 valem:
Resultante do concreto na aba colaborante: Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hf (1) Resultante do concreto na alma: Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x) (2)
A equação de equilíbrio de momento fornece:
Mud = Md = Mcfd + Mcwd = Rcfd (d - hf / 2) + Mcwd
ou
Mcwd = Md - Rcfd (d - hf / 2)
Este momento deve ser resistido pela parte 2 que é uma seção retangular bw por d. Portanto
cd
2 w
cwd 0 , 425 b d f
M
x 1 , 25 d 1 1
bf
bw
Rsd
d
hf Mud
1 2 1 x 0,8x
0,85fcd (^) Rcfd
Rcwd
u As
Com a posição da linha neutra, obtém-se a resultante do concreto na alma, Rcwd, através de (2).
A equação de equilíbrio de força permite escrever:
Rsd = As fyd = Rcfd + Rcwd
De onde se obtém a área de aço, As, necessária para resistir ao esforço solicitante.
Seção Retangular com Armadura Dupla
Quando se tem, além da armadura de tração As , outra A’s posicionada junto à borda oposta comprimida, diz-se que se tem seção com armadura dupla. Normalmente, ela é empregada para se conseguir uma seção sub-armada sem alterar as dimensões da seção transversal. A armadura comprimida A’s introduz uma parcela adicional na resultante de compressão permitindo, assim, aumentar a resistência da seção.
Seja o esquema de cálculo mostrado a seguir:
Figura 3.3.3.
Equilíbrio de força: Rsd = Rcd + R’sd As sd = 0,68 b x fcd + A’sd ’sd (a)
Equilíbrio de momento: Md = Rcd (d - 0,4 x) + R’sd (d - d’) Md = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) + A’sd ’sd (d - d’) (b)
Tem-se duas equações, (a) e (b) e três incógnitas: x, As e A’s (pois, as tensões nas armaduras dependem de x). Costuma-se adotar um valor de x (naturalmente, menor ou igual a x 34 ), por exemplo, x = d/2.
Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras As e A’s como se indica a seguir. As equações (a) e (b) sugerem a decomposição mostrada na figura seguinte.
h d
d’
A’s
As
b
x ’s
c
0, x
d’ Rcd^ R’sd
Rsd
Md
que permite obter ’sd (no diagrama x da armadura).
Finalmente:
A’s = R’sd / ’sd e As = As1 + As2.
Alojamento das Armaduras
A área As da armadura necessária para resistir a um momento fletor M, numa dada seção
de viga, é conseguida agrupando-se barras conforme as bitolas comerciais disponíveis. Geralmente, adotam-se barras de mesmo diâmetro . Uma das hipóteses básicas do dimensionamento de peças submetidas a solicitações normais é a da aderência perfeita. Para a garantia desta aderência é fundamental que as barras sejam perfeitamente envolvidas pelo concreto; por outro lado, a armadura deve ser protegida contra a sua corrosão; para isso adota-se um cobrimento mínimo de concreto para estas armaduras. A figura 3.7.2.1. mostra a disposição usual com armaduras isoladas entre si. Eventualmente, pode-se adotar armadura formada por feixes de 2 ou 3 barras.
Figura 3.7.2. A tabela 3.7.2.1 apresenta as bitolas usuais de armaduras de concreto armado.
Tabela 3.7.2.
(mm) 3,2 4 5 6,3 8 10 12,5 16 20 25 32 As1(cm^2 ) 0,08 0,125 0,2 0,315 0,5 0,8 1,25 2,0 3,15 5,0 8,
As (^3) a camada 2 a camada 1 a camada
estribo
armaduras de pele
porta estribos
c t
eh
ev
c
c = cobrimento mínimo da armadura
= diâmetro nominal (mm)
As1 = área nominal da seção transversal de uma barra em cm
Os valores de cobrimento mínimo recomendado pela NBR-6118 devem ser seguidos segundo o descrito no Módulo 02.
Para alojamento das armaduras, sem emendas, deve-se procurar proceder conforme indicado abaixo:
e (^) h cm agr
; e (^) v cm agr
onde = diâmetro da barra agr = diâmetro máximo do agregado
Figura 3.7.2.
Na ocasião de emendas, deve-se procurar alojar as armaduras como mostrado na figura abaixo (figura 3.7.2.3):
Figura 3.7.2.
bw
c t (^) bs t c
ev eh
c
2
(^) > 2
Nota: prever espaço para passagem do vibrador.
b) armadura junto à borda com abas tracionadas (figura 3.7.2.6)
Recomenda-se distribuir parte da armadura de tração nas abas tracionadas devidamente ligadas à alma da viga através de armaduras de costura.
Figura 3.7.2.
c) vigas altas (h > 60 cm)
Posicionar as armaduras de pele (Asl) conforme indicado na figura 3.7.2.7.
Figura 3.7.2.
3.8 Armaduras Mínimas de Máximas
As armaduras mínimas em vigas podem ser determinadas segundo o mesmo processo usado em lajes de concreto armado.
As armaduras longitudinais máximas (soma de As e A’s) não podem ultrapassar 4%.Ac.
d / 3 30 cm
entre 6 e 20 cm
Asl = 0,05% bw h (de cada lado)
vib + 1 cm
Asw
Asf2 ,f2 hf /
As = Asw + Asf1 + Asf
Asf1 ,f1 hf /
