Baixe Cálculo de determinantes e inversa de matrizes usando diferentes métodos e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
5. DETERMINANTES
5.1. Definição e Propriedades
Definição 1 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por
definição a aplicação
2 2
11 12 11 12 11 22 21 12 21 22 21 22
det :
det
M IR IR
a a a a A A a a a a a a a a
× →
Exemplo 1: ⇒
A ( ) 3 ( 1 ) ( 2 ) 5 7
A = × − − − × =
det =
Definição 2 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 é por
definição a aplicação
det : 3 3
det 21 22 23 21 22 23
M IR IR
a a a a a a
A a a a A a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a a a a
×
= det (^) ( ) det (^) ( ) det( ) 11 11 12 12 13 13
onde
ij
A é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e coluna j.
Exemplo 2: =
= 2 ( 5 − 8 ) −( 5 + 12 ) =− 23
Definição 3 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é por
definição a aplicação
1 11 11 12 12 1 1
det :
det det det 1 det
n n
n n n
M IR IR
A A a A a A a A
×
→ = − + L+ −
onde
ij
A é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e coluna j.
Exemplo 3:
( 4 0 ) ( 3 2 ) ( 0 1 ) 4 1 1 4
=− − =− × − × − ×
Exercício 2: Calcule
Exercício 3: Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas as
propriedades:
b c a
c a b
a b c
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
Exercício 4: Sem calcular o valor dos determinantes, demonstre a
igualdade:
5.2. Técnicas Para o Cálculo de Determinantes
5.2.1. Regra de Sarrus
O determinante de uma matriz de terceira ordem pode ser calculado
utilizando uma regra conhecida por Regra de Sarrus.
Os "termos positivos" de uma matriz A de terceira ordem obtêm-se
multiplicando os elementos da diagonal principal e multiplicando os
vértices dos triângulos que se podem construir de base paralela à diagonal
principal:
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
Assim, segundo o esquema de cima, os "termos positivos" são:
11 22 33
a a a ,
12 23 31
a a a ,
21 13 32
a a a.
Os "termos negativos" da matriz A obtêm-se multiplicando os elementos
da diagonal secundária e multiplicando os vértices dos triângulos que se
podem construir de base paralela à diagonal secundária:
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
Assim, segundo o esquema de cima, os "termos negativos" são:
13 22 31
a a a ,
21 12 33
a a a ,
11 23 32
a a a.
Subtraindo a soma dos “termos negativos” à soma dos “termos positivos”,
obtemos o valor do determinante de A.
Ou seja,
( ) 11 22 33 12 23 31 21 13 32 13 22 31 21 12 33 11 23 32
det A = a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a
Exercício 6: Calcule
usando a eliminação de Gauss.
5.2.3. Fórmula de Laplace
Por definição o determinante é calculado usando o desenvolvimento
segundo a primeira linha. Este, no entanto, pode ser calculado usando o
desenvolvimento segundo qualquer linha i ou qualquer coluna j do
seguinte modo:
Fórmula de Laplace segundo a linha i :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) in in
i n
i 2 i 2
i 2
i 1 i 1
i 1
det A 1 a det A 1 a det A 1 a det A
= − + − +L+ −
Fórmula de Laplace segundo a coluna j :
( ) ( ) (^ )^ ( ) (^ )^ ( ) (^ ) nj nj
n j
2 j 2 j
2 j
1 j 1 j
1 j
det A 1 a det A 1 a det A 1 a det A
= − + − +L+ −
onde
ij
A é a matriz de ordem n − 1 obtida de A por eliminação da linha i e
da coluna j e os sinais ( )
i j
− podem ser obtidos da seguinte matriz de
sinais:
M M M
L
L
L
Exercício 7: Calcule o valor do
7.1: segundo a 4ª linha;
7.2: segundo a 2ª coluna.
5.3. Menores, Menores Complementares e Complementos Algébricos
Definição 4 Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, chama-se
submatriz quadrada de A de ordem m à matriz formada pelos elementos
comuns a m linhas e m colunas ( m ≤ n ).
Chama-se menor de ordem m ao determinante de uma submatriz de
ordem m.
Dois menores dizem-se complementares sempre que em cada um deles
estão representadas as linhas e as colunas que não figuram no outro.
Chama-se complemento algébrico de um menor ao produto do seu menor
complementar por ( )
s
− 1 onde s é a soma das ordens das linhas e das
colunas envolvidas no menor complementar.
Um menor de A diz-se principal se a sua diagonal é totalmente
constituída por elementos da diagonal principal de A.
Nota: Para a formação do expoente s podemos usar as colunas e as linhas
envolvidas no menor em vez do menor complementar.
5.4. Inversa de uma Matriz
5.4.1: Definição e propriedades
Definição 5 Uma matriz quadrada A de ordem n, diz-se invertível , se
existir uma matriz B de ordem n tal que AB = BA = I.
A matriz B chama-se inversa de A e representa-se por
− 1
A , isto é,
1
B A
−
Exemplo 7: Calcule a inversa de
A usando a definição
Resolução:
x x
AX I
x x
x
x x
x x x
x x x
x x
x
⎡ ⎤ ⎡^ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢^ ⎥ ⎢ ⎥
⎪ ⎢^ ⎥^ ⎢^ ⎥
⎪ ⎣^ ⎦^ ⎣^ ⎦
Então, usando o algoritmo de Gauss, vem:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
x
x
x
x
L L L L
Logo
A
Exemplo 8:
A não é invertível, pois não é possível resolver o
sistema AX = I.
Teorema 1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, então A é invertível
sse car ( A ) = n (sse A é não singular), isto é, após a eliminação de
Gauss, a matriz em escada de linhas não tem nenhum zero na diagonal
principal.
Propriedades: Sejam A e B matrizes não singulares de ordem n. Então
1
A
−
é única.
• ( A ) A
1 1
− −
T 1
1 T
A A
−
−
1 1 1
AB B A
− − −
- Se A e B são matrizes quadradas tais que AB = I , então também
BA = I e, consequentemente,
1
B A
−
- Se A e B são duas matrizes quadradas, então
det ( AB ) = det( A ) ⋅det( B ) e consequentemente, se A é invertível,
( A )
A A
1 1
det
det = det =
− −
- Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível sse A é não
singular sse car ( A ) = n sse det( A ) ≠ 0.
Exercício 11: Calcule inversa de cada uma das matrizes usando a matriz
adjunta.
A 11.2:
A
5.5. Resolução de Sistemas de Equações Lineares: Regra de Cramer
Consideremos o sistema de equações lineares:
Ax b
b
b
b
x
x
x
a a a
a a a
a a a
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
3
2
1
3
2
1
31 32 33
21 22 23
11 12 13
31 1 32 2 33 3 3
21 1 22 2 23 3 2
11 1 12 2 13 3 1
Suponhamos que det ( A ) ≠ 0 , então existe a inversa
1
A
−
de A , logo
( )
( )
( )
( ) ( ) (^) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
det
det det det
det det det
2 det 12 22 32 2
3 det^ det^ det 3
det
Ax b A Ax A b Ix A b x A b x Adj A b
A
A A A
x b
x A A A b
A
x b
A A A
A b
x
( ) (^) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
det det
det
det det det
2 det
det det det
3 det
A b A b
A
A b A b A b
x
A
A b A b A b
x
A
onde
ij
A é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e coluna j.
Daqui resulta:
( A )
b a a
b a a
b a a
x
3 32 33
2 22 23
1 12 13
1
det
( A )
a b a
a b a
a b a
x
31 3 33
21 2 23
11 1 13
2
det
( A )
a a b
a a b
a a b
x
31 32 3
21 22 2
11 12 1
3
det
Esta propriedade pode ser generalizada através da seguinte regra:
Regra de Cramer : Seja A uma matriz quadrada de ordem n não singular,
então o sistema Ax = b tem uma única solução dada por
( )
( A )
C
x
j
j
det
det
onde
j
C é a matriz que se obtém de A substituindo a coluna j pela matriz
coluna b.
Exercício 12: Use a regra de Cramer para resolver os sistemas:
x 2 y 7
2 x y 8
3 x y 2 z 2
x 5 y 4 z 0
2 x y z 1
- Calcule, da forma que achar mais conveniente (pode evidentemente misturar as t´ecnicas
aprendidas) os seguinte determinantes:
(a)
; (b)
(c)
; (d)
- Sendo A n × n, qual ´e a rela¸c˜ao com detA de :
(a) det(2A)? (b) det(−A)? (c) det(A
2 )?
- Se A ´e uma matriz invert´ıvel de ordem n, mostre que det(A
− 1 ) =
det(A)
- Relativamente a cada uma das matrizes seguintes, use determinantes para encontrar os
valores dos parˆametros para os quais a matriz ´e invert´ıvel.
(a)
α β 0
1 α β
β 0 0
; (b)
1 λ 1 1
1 λ 1 λ
; (c)
1 α α
2
0 1 α β
1 α α
2
- Duas matrizes A e B dizem-se semelhantes se existir T invert´ıvel tal que A = T BT
− 1 .
Prove que se A e B forem semelhantes ent˜ao det A = det B.
- Calcule o determinante
- Mostre que a matriz A =
3 a − 4 0 a + 1
´e n˜ao singular, independentemente do
valor de a.
- considere a fun¸c˜ao f (x) = det
a b x
a
2 b
2 x
2
, com a e b n´umeros reais distintos.
(a) Mostre que f (x) ´e uma fun¸c˜ao quadr´atica, isto ´e, ´e dada por um polin´omio de grau 2
em x.
(b) Explique porque ´e que f (a) = f (b) = 0. Conclua que f (x) = k(x − a)(x − b) para
uma certa constante k. Calcule k.
(c) Para que valores de x ´e que esta matriz ´e invert´ıvel?
- A matriz B foi obtida a partir da matriz A (4X4), atrav´es das seguintes opera¸c˜oes ele-
mentares: 2L 1 , L 2 ↔ L 3 e L 4 = L 4 + 2L 1.
(a) Sabendo que det(A) = 1, calcule det(B).
(b) Se C =
3 10 13 π
1 10
, calcule det(BC
− 1 B
T ).
- Resolva as seguintes equa¸c˜oes:
(a)
x x + 1
− 4 x + 1
= 0 (b)
x − 4 0
1 −x 1
2 x 5
= 2 (c)
x + a b c
c x + b a
a b x + c
- Calcule a matriz adjunta de:
(a)
(b)
(c)
- Considere as matrizes A =
α 0 1
2 α − 1
e b =
β
, com α, β ∈ IR.
(a) Discuta o sistema Ax = b em fun¸c˜ao dos parˆametros α e β.
(b) Determine os valores do parˆametro α para os quais a matriz ´e invert´ıvel.
(c) Considere α = −2 e β = 2.
i. Determine, usando o m´etodo da adjunta, a matriz inversa de A.
ii. Calcule, usando as propriedades dos determinantes, det
(A
− 1 )
2 A
T
iii. Resolva o sistema Ax = b, usando a regra de Cramer.
