Baixe Calculo do Diâmetro e Espaçamento Entre Estribos de Armadura e outras Esquemas em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Cálculo do Diâmetro e Espaçamento entre Estribos
Utilizando a Formulação Proposta
Introdução
Neste capítulo apresenta-se um critério para o cálculo do diâmetro e
espaçamento entre estribos através da formulação proposta e comparam-se os
valores dos mesmos com os valores especificados em normas de projeto de
estruturas de concreto.
Curvas Γ vs. η Modificadas
A curva da Figura 4.24 é válida para qualquer tipo de arranjo das armaduras
considerado. Conforme o objetivo do projeto, basta introduzir os respectivos
valores de Γ ou η para cada caso em particular.
Por exemplo, para a seção da Figura 5.1, substituindo-se o valor da rigidez
dos estribos, K , da eq. (3.101) no valor do parâmetro adimensional de rigidez, η ,
expresso em (3.24) obtém-se o seguinte valor:
4 l
3
4 4 t
b s
192 L
Por outro lado, substituindo-se o momento de inércia da armadura
longitudinal na expressão de Γ tem-se:
4 l
2
E
64 PL
Dessa forma é possível alterar os valores de Γ e η das expressões (5.1) e
(5.2) e criar novos parâmetros com a finalidade de facilitar os cálculos dos
exemplos que serão apresentados. As variáveis adimensionais Γ e η foram
modificadas da seguinte forma:
4 l
3
4 4 t 1
b s
L
4 l
2 1
E
PL
Portanto a ordenada e abscissa dos gráficos da Figura 4.25 são alteradas
multiplicando-se as mesmas pelos fatores,
π
e
, respectivamente. Dessa
forma, obtém-se o gráfico da Figura 5.2 com os parâmetros de carga e rigidez
menores. A Figura 5.3 apresenta o trecho inicial da curva da Figura 5.2, com
valores pequenos do parâmetro de rigidez, η 1.
Dependendo do arranjo dos estribos na seção transversal, obtém-se um valor
diferente para a rigidez, K e para o parâmetro adimensional da rigidez dos apoios
laterais, η.
b
Figura 5.1 – Seção transversal do pilar.
Considerações Sobre a Carga de Flambagem para Dimensionamento
A carga de flambagem deve ser sempre maior que a carga de escoamento
em compressão por um fator γ > 1 , isto para garantir o uso de no
dimensionamento inicial, como é feito usualmente. No dimensionamento usual,
busca-se otimizar o projeto tomando
Py = fyA s
γ = 1. Como seria recomendável do ponto de
vista de segurança em regime pós-crítico, o uso de valores maiores também se
apresentam no presente trabalho casos de γ =1,2 e γ =1,.
Seqüência de Projeto com a Utilização das Curvas Γ vs. η
Uma seqüência possível de projeto com o uso dos gráficos Γ vs. η, seria
como se mostra a seguir:
1 - O valor de b vem da geometria da peça;
2 - O diâmetro da armadura longitudinal, φ l é usualmente determinado pelo
projetista;
3 - Busca-se uma carga de flambagem, Pcr = γ ⋅ Py e assim obtém-se Γ 1 ;
4 - Com o valor de Γ 1 entra-se na ordenada do gráfico Γ 1 vs. η 1 e descobre-
se o η 1 necessário na abscissa. Como já se dispõe dos valores de b e φ l , as
variáveis de projeto serão o espaçamento entre os estribos, s e o diâmetro
dos estribos, φ t , os quais serão calculados e adotados de forma compatível
com os limites das normas de projeto existentes. Caso o espaçamento
resulte muito pequeno, ou o diâmetro muito grande, é necessário reduzir
b ou usar estribos suplementares.
Cálculo do Diâmetro e Espaçamento entre Estribos para os Pilares
Descritos no Trabalho de Queiroga & Giongo (2000)
O resumo do trabalho de Queiroga & Giongo (2000) encontra-se no item
2.6. Pretende-se analisar os pilares de seção quadrada cujo arranjo das armaduras
na seção transversal apresenta-se na Figura 5.4 e o resumo das características dos
pilares apresenta-se na Tabela 5.1.
Os pilares P1, P4 e P6 foram selecionados para a realização dos testes
numéricos.
20 cm
20 cm
Figura 5.4- Seção e arranjo da armadura na seção dos pilares ensaiados por Queiroga
(1999).
Tabela 5.1 - Resumo das características dos pilares ensaiados por Queiroga (1999).
Pilar B (cm)
H
(cm)
L
(cm)
Arm. Long.
As (cm^2 )
Arm. Trans.
c mm
fc (MPa)
fy (MPa)
ε cc
(mm/m)
Pexp (kN)
Py (kN)
P1 20 20 120^8^ φ^^12 ,^5 1,25 φ^6^ ,^3 c/^15 17,5 59,60 502 2,543 2278 62, P2 20 20 120^8^ φ^^12 ,^5 1,25 φ^6^ ,^3 c/^15 17,5 64,35 502 2,543 2292 62, P3 20 20 120^8^ φ^^12 ,^5 1,25 φ^6^ ,^3 c/^10 17,5 53,40 502 2,850 1835 62, P4 20 20 120^8^ φ^^12 ,^5 1,25 φ^6^ ,^3 c/^10 17,5 53,40 502 2,850 1864 62, P5 20 20 120^8^ φ^^12 ,^5 1,25 φ^^6 ,^3 c/^5 17,5 55,90 502 3,878 2158 62, P6 20 20 120^8^ φ^^12 ,^5 1,25 φ^^6 ,^3 c/^5 17,5 55,90 502 3,878 2312 62,
Os valores calculados para o diâmetro e espaçamento entre os estribos
utilizando o critério proposto no item 5.4 apresentam-se na Tabela 5.2. O
procedimento completo de cálculo encontra-se no Apêndice. A seguir apresentam-
se os passos realizados para o pilar P1.
As propriedades da armadura são:
y mm 2
f = 502 N 12 , 5 mm
φ l = L = 1200 mm b = 139 , 9 mm mm 2
E = 210000 N
2
As = 125 mm P f A 5 , 46 10 N
4
y =^ y s = × s^ =^150 mm
Pretende-se calcular o diâmetro e espaçamento entre estribos para γ= 1 , 2
considerando-se a armadura sem emendas. Assim, busca-se uma carga de
flambagem, Pcr = γ ⋅ Py e obtém-se Γ 1
valores encontrados para o diâmetro dos estribos são mais altos, visto que um
certo valor do parâmetro de carga corresponde a valores mais altos de rigidez para
o caso onde uma das extremidades da armadura está livre e portanto, valores mais
altos para o diâmetro dos estribos são necessários.
A Tabela 5.4 apresenta os valores limites para o pilar P1, do espaçamento e
diâmetro dos estribos descritos em diversas normas de projeto de estruturas de
concreto, como está descrito no item 2.8 do presente trabalho. Verifica-se que o
espaçamento máximo entre estribos fica em torno de 150 mm para um diâmetro
dos estribos maior ou igual a 5 mm. De acordo com as diversas normas, estes
valores consideram no estado limite último, que a flambagem da armadura
longitudinal ocorreria no máximo em uma meia-onda entre estribos, pois se
considera que o comprimento de flambagem é o próprio espaçamento entre dois
estribos.
Nota-se que a imposição da flambagem entre dois estribos consecutivos se
vincula ao diâmetro da armadura longitudinal, ao arranjo das armaduras na seção
e ao diâmetro do estribo, entretanto surge a idéia de variar o espaçamento para
valores menores, com um menor uso de estribos suplementares.
Nesta tese apresenta-se uma análise dos valores de Γ 1 e η 1 quando a
flambagem ocorre entre dois estribos consecutivos, considerando-se o diagrama
tensão - deformação linear e os estribos como apoios. Procura-se uma carga de
flambagem igual a:
2
2
s
EI
Pcr
π
Substituindo-se (5.9) em (5.4), chega-se a eq. (5.10) para parâmetro Γ 1.
2
3 2 1
64 s
L
Os valores de Γ 1 e η 1 , para o caso no qual ocorrerá a flambagem entre dois
estribos nos pilares P1 , P4 e P6 de Queiroga (1999) está explicitado no Apêndice
e os respectivos valores para o diâmetro e espaçamento entre os estribos.
Tabela 5.2– Cálculo do diâmetro e espaçamento entre estribos para os pilares de
Queiroga (1999) a partir da formulação proposta. Armadura fixa nas extremidades.
Formulação Proposta. Armadura fixa nas extremidades Queiroga
(1999)^ γ^ =1,2^ γ^ =1,
Pilar Arm. Arm. Transv. Arm. Transv.
Transv. Γ 1 η 1 s
mm
φ t
mm
φ tcomercial
mm
Γ 1 η 1 s
mm
φ t
mm
φ tcomercial
mm
P1 φ^6 ,^3 c /^15 18,39 149,10 150 5,20 6,3 22,99 242,86 150 5,85 6,
P4 φ^6 ,^3 c /^10 18,39 149,10 100 4,68 5 22,99 242,86 100 5,29 6,
P6 φ^6^ ,^3 c/^5 18,39 149,10 50 3,94 5 22,99 242,86 50 4,45 5
Obs: Para o diâmetro do estribo, φ t=6,3 mm
encontra-se um espaçamento máximo de 328 mm.
Obs: Para o diâmetro do estribo,
φ t=6,3 mm encontra-se um
espaçamento máximo de 201 mm.
Tabela 5.3 - Cálculo do diâmetro e espaçamento entre estribos para os pilares de
Queiroga (1999) a partir da formulação proposta. Consideração das emendas.
Formulação Proposta. Armadura livre em uma das Extremidades. Consideração das emendas Queiroga das barras de armadura
Pilar Arm. Arm. Transv. Arm. Transv.
Transv. Γ 1 η 1 s
mm
φ t
mm
φ tcomercial
mm
Γ 1 η 1 s
mm
φ t
mm
φ tcomercial
mm
P1 φ^6 ,^3 c /^15 18,39 566,30 150 7,23 8 22,99 790,81 150 8,26 10
P4 φ^6 ,^3 c /^10 18,39 566,30 100 6,54 8 22,99 790,81 100 7,47 8
P6 φ 6 , 3 c/ 5 18,39 566,30 50 5,50 6,3 22,99 790,81 50 6,28 6,
Obs: Para o diâmetro do estribo, φ t=6,3 mm
encontra-se um espaçamento máximo de 86 mm.
Obs: Para o diâmetro do estribo,
φ t=6,3 mm encontra-se um
espaçamento máximo de 62 mm.
Tabela 5.5- Resumo das características dos pilares ensaiados por Sheikh & Uzumeri
(1980).
Características Mecânicas e Geométricas Armadura Longitudinal Armadura transversal Pilar
φ l
mm
f y
MPa
E t
MPa
E r
MPa
Designação φ t
mm
s mm
Et
MPa
(a) seção sem o cobrimento: 267 mm x 267 mm 4A1-13 22,22 438 9670 27400 CS7-3 4,76 57,1 5000 2A5-14 15,87 404 8100 23900 CS5-3 9,52 76,2 5000 2A6-15 15,87 404 8100 23900 CS5-3 6,35 35 5000 4B3-19 19,05 392 6250 19300 CS6-4 7,94 101,6 5000 4B4-20 19,05 392 6250 19300 CS6-4 4,76 38,1 5000 4B6-21 19,05 392 6250 19300 CS6-4 6,35 47,7 5000
Os valores calculados para o diâmetro e espaçamento entre os estribos
utilizando o critério proposto no item 5.4 apresentam-se nas Tabelas 5.6 e 5.7. O
procedimento completo de cálculo encontra-se no Apêndice sendo idêntico ao
procedimento descrito considerando-se os pilares do trabalho de Queiroga (1999).
Vale ressaltar que ao se calcular a rigidez do sistema de estribos das seções
A e B , consideram-se as pernas dos estribos como barras de treliça. Para a seção
A, as primeiras barras a flambarem são as barras de canto onde a rigidez da
armadura transversal é:
b
2 EA
K = t (5.11)
onde Et é o módulo de elasticidade do estribo. Na seção B , a menor rigidez é:
b
3 EA
K = t (5.12)
Dessa forma o parâmetro adimensional da rigidez dos estribos, η para a seção A
torna-se
4 l
2 4 t t 4 l
2 4 t t
t 4 4
Ebs
32 E L
E
4 bs
2 E L
EI
L
bs
2 EA
EI
kL
φ
φ η πφ
πφ
Assim
4 t
4 l
2 t
32 EL
Eb
s
φ η φ
Caso se deseje utilizar o gráfico modificado da Figura 5.2, basta substitui no
valor de η , o valor de η 1 multiplicado por 192, já que η 1 é dado pela eq. (5.3) e a
eq. (5.14) transforma-se em:
4 t
4 1 l
2 t
EL
6 Eb
s
φ η φ
Para a seção B tem-se:
4 l
2 4 t t 4 l
2 4 t t
t 4 4
4 Ebs
192 E L
E
4 bs
3 E L
EI
L
bs
3 EA
EI
kL
φ
φ η πφ
πφ
Assim,
4 t
4 l
2 t
192 EL
4 Eb
s
φ η φ
Nesse caso utilizam-se os gráficos da Figura 5.2 e a eq. (5.17) transforma-se em:
4 t
4 1 l
2 t
EL
4 Eb
s
φ η φ
A Tabela 5.6 apresenta os valores calculados para os Pilares 4A1-13 , 2A5-
14 , 2A6-15 , 4B3-19 , 4B4-20 e 4B6-.
Na linha correspondente ao pilar 4A1-13 , quando se considera a carga de
flambagem igual à carga de esmagamento multiplicada pelo fator γ = 1 , 2 , os
valores encontrados para o diâmetro considerando-se um espaçamento
s = 57 , 1 mm foi de aproximadamente φ t = 6 , 90 mm. Nota-se que o valor
encontrado para o diâmetro é um pouco maior do que o dimensionado no trabalho
de Sheikh & Uzumeri (1980) e verifica-se na Tabela 5.6 que para um diâmetro
φ t = 4 , 76 mm poder-se-ia adotar um espaçamento s = 27 mm. A mesma
verificação pode ser feita para todos os pilares da Tabela 5.6.
A Tabela 5.7 apresenta o caso onde as barras de armadura são livres numa
extremidade. Nota-se que para γ = 1 , 2 , com os mesmos valores considerados para
o espaçamento, os valores do diâmetro dos estribos são altos, visto que para um
determinado valor do parâmetro de carga, o parâmetro de rigidez teria valores
mais altos e conseqüentemente a relação entre o diâmetro do estribo e
espaçamento seria menor e assim os valores adotados no trabalho de Sheikh &
Uzumeri (1980) ficam compatíveis com esse caso, pois se trata de seções bastante
confinadas.
consiste de 22 barras de 16 mm de diâmetro, e o cobrimento é de 3 cm , conforme
apresentado na Tabela 5.8. Nomeou-se este Pilar de P1 e as verificações
realizadas de acordo com a NBR 6118/2003, se encontram no Apêndice.
Tabela 5.8 - Resumo das características do pilar P1.
Pilar B
(cm)
H
(cm)
L
(cm)
Arm. Long. c cm
fck (MPa)
fyk (MPa) P1 25 110 350^22^ φ^16^3 20
Considera-se inicialmente que o arranjo das armaduras na seção transversal
seja dado pela Figura 5.6. Dessa forma, calcula-se o valor da rigidez K dos
estribos e com este valor entra-se na expressão do parâmetro de rigidez dos
estribos, η , apresentado na eq. (3.24). Para o cálculo da rigidez K dos estribos,
adotou-se o modelo apresentado na Figura 5.7 onde a perna do estribo é
considerada como uma viga fixa nas extremidades. A flexibilidade do estribo
associada a cada barra pode ser obtida aplicando uma carga transversal
concentrada unitária isoladamente em cada ponto central da barra. Nota-se que
isto corresponde a admitir-se que o início da flambagem se dá na barra menos
restringida. Assim, avalia-se o ponto crítico como correspondente a uma barra que
contribui com a menor rigidez do estribo. Para o modelo da Figura 5.7 isto ocorre
no centro da viga, e neste caso a rigidez fica sendo:
3
t
b
38 , 4 EI
K = (5.19)
onde o vão livre de flexão é b = 1100 − 2 (^ 30 + 5 )^ − 16 = 1014 mm supondo
inicialmente o diâmetro do estribo igual a 5 mm. Considerando os estribos como
base elástica e substituindo-se k = K/s no parâmetro η chega-se a:
4 l
3
4 4 t 3
4 t
4
b s
38 , 4 L
b sEI
38 , 4 EIL
EI
kL
φ
φ
Da eq. (5.20) tem-se:
4
4 l
3 1 4
4 l
4 3 t
38 , 4 L
192 b
38 , 4 L
b
s
φ η φ η φ
110 cm
25 cm
Figura 5.6– Caso 1 : Arranjo das armaduras na seção transversal do pilar P1.
b
P P P^ P^ P^ P^ P^ P^ P a
Figura 5.7- Posições de cargas para cálculo da rigidez K referente ao caso 1.
Pretende-se calcular o diâmetro e espaçamento entre estribos para γ= 1 , 2
considerando-se a armadura sem emendas. Dessa forma, busca-se uma carga de
flambagem, Pcr = γ ⋅ Py e obtém-se Γ 1.
Pcr = γ ⋅ Py = 104 , 4 kN (5.22)
4 l
2 cr 1
E
P L
φ
Γ
A partir da eq. (5.23) tem-se que:
3
4
t 6 , 38 10
s
= ×
Estipularam-se alguns valores para o espaçamento entre estribos de acordo
com os limites impostos pela NBR 6118/2003. Para que a base elástica possa
impedir a flambagem da armadura longitudinal os diâmetros encontrados são
dados na Tabela 5.9. Os valores encontrados para o diâmetro do estribo foram
altos, visto que este modelo é bastante flexível.
Tabela 5.9 – Dimensionamento dos estribos para o caso 1.
s (mm) 190 150 50
φ t (mm) 33,18^ 31,28^ 23,
b
P P P P
a
Figura 5.9- Posições de cargas para cálculo da rigidez K referente ao caso 2.
Tabela 5.10 – Dimensionamento dos estribos para o caso 2.
s (mm) 190 150 50
φ t (mm) 16,26^ 15,32^ 11,
Apresenta-se na Figura 5.10 o modelo para este caso, nota-se que do caso 1
até o caso 4 que ainda será apresentado, as armaduras estão distribuídas ao longo
da seção com igual espaçamento. Supôs-se um espaçamento entre as faces da
armadura longitudinal para os quatro primeiros casos da seguinte forma:
( ) (^) ( )
85 , 4 mm
h 2 c 11
s l t l =
supondo inicialmente o diâmetro do estribo é φ t = 5 mm. O modelo simplificado
para o cálculo da rigidez K apresenta-se na Figura 5.11 e como só existem duas
barras longitudinais, qualquer carga que simula a armadura longitudinal na Figura
5.11 pode contribuir para a menor rigidez dos estribos que é dada por:
3
t
b
162 EI
K = (5.29)
onde o vão livre de flexão é b = 304 , 2 mm.
Substituindo-se a eq. (5.29) no valor de η chega-se a:
4 l
3
4 4 t 3
4 t
4
b s
162 L
bsEI
162 EIL
EI
kL
Da eq. (5.30) tem-se:
4
4 l
3 1 4
4 l
4 3 t
162 L
192 b
162 L
b
s
Dessa forma, obtém-se os valores apresentados na Tabela 5.11 que apresenta o
dimensionamento dos estribos.
110 cm
25 cm
Figura 5.10– Caso 3 : Arranjo das armaduras na seção transversal do pilar P1.
b
P P a
Figura 5.11- Posições de cargas para cálculo da rigidez K referente ao caso 3.
Nota-se que este caso é bem mais rígido. Para se adotar um diâmetro do
estribo φ t = 6 , 3 mm , o espaçamento entre estribos deveria ser aproximadamente
. A Tabela 5.11 apresenta também os valores dos parâmetros do estribo
considerando-se apenas modos de deformação simétricos e nota-se que este
modelo é bastante conservador, já que os deslocamentos da armadura só poderiam
ocorrer para fora e, portanto, estes valores são um pouco maiores do que os
valores encontrados quando se considera um modo de deformação geral.
s = 40 mm
Tabela 5.11 – Dimensionamento dos estribos para o caso 3.
Modo de deformação geral s (mm) 190 150 50
φ t (mm) 9,38^ 8,84^ 6,
Modo de deformação simétrico s (mm) 190 150 50
φ t (mm) 10,55^ 9,94^ 7,
Apresenta-se na Figura 5.12 o arranjo das armaduras na seção transversal
apresentando quatro estribos suplementares. O modelo simplificado para o cálculo
da rigidez K apresenta-se na Figura 5.13 e expressão de K é dada por:
10 a ( 13 b 528 ab 640 a 144 ba )
3 bEI
K 3 3 2 t 3 2
3
A carga mais distante do apoio fixo contribui para a menor rigidez do
estribo. O valor de K pode ser escrito em função apenas de b , basta se conhecer a
relação entre a e b. Este modelo apresenta rigidez maior que no caso 2, porém os
deslocamentos na direção da armadura longitudinal mais distante do apoio ainda
são altos e logo se tem uma rigidez pequena necessitando-se assim de estribos
maiores como apresenta a Tabela 5.13. Para a obtenção dos valores encontrados
na Tabela 5.13, utilizou-se a eq. (5.36) obtida a partir da expressão de η em
( )
bL
640 a 13 b 528 ab 640 a 144 ba
s 3 4
4 3 3 2 3 2 1 l
4
φ t = ηφ + − − = (5.36)
110 cm
25 cm
4,6 cm
Figura 5.14– Caso 5 : Arranjo das armaduras na seção transversal do pilar P1.
b
P P P P a
Figura 5.15- Posições de cargas para cálculo da rigidez K referente ao caso 5.
Tabela 5.13 – Dimensionamento dos estribos para o caso 5.
s (mm) 190 150 50
φ t (mm) 15,32^ 14,44^ 10,
A Figura 5.16 apresenta o arranjo das armaduras na seção. Para o cálculo da
rigidez K dos estribos, adotou-se o modelo apresentado na Figura 5.17. A
expressão da rigidez para a barra menos restringida a qual se encontra mais
distante do apoio fixo é:
a ( 21 b 192 ab 128 a 108 b a )
6 b EI
K 3 3 2 t 3 2
3
onde e. A expressão para o cálculo do dimensionamento
dos estribos apresenta-se na eq. (5.38) sendo obtida a partir das expressões de
b = 507 mm a = 46 mm
η e
K apresentadas em (3.24) e (5.37), respectivamente.
[ ( )]
3 4
4 3 3 2 3 2 1 l
4 t
bL
32 a 21 b 192 ba 128 a 108 ba
s
Nota-se através da Tabela 5.14 que os valores encontrados para o diâmetro
apesar de ainda altos são bem menores em relação aos valores encontrados no
caso 2 e no caso 5.
110 cm
25 cm
4,6 cm
Figura 5.16– Caso 6 : Arranjo das armaduras na seção transversal do pilar P1.
b
P P P a
Figura 5.17- Posições de cargas para cálculo da rigidez K referente ao caso 6.
Tabela 5.14 – Dimensionamento dos estribos para o caso 6.
φ t (mm)
s (mm)
