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Autor: Gil da Costa Marques
4-Hidrostática: Lei de Stevin e princípio de
Pascal
4-1 HIDROSTÁTICA E VARIAÇÃO DA PRESSÃO
Na hidrostática procuramos entender as condições mediante as quais um fluido é capaz de se encontrar em repouso, bem como das consequências que essa condição acarreta. Ou seja, na hidrostática estamos interessados nas condições de equilíbrio dos fluidos e suas consequências. Neste caso, admitiremos que a velocidade de cada ponto do fluido é nula. O problema a ser resolvido, do ponto de vista dinâmico, é aquele envolvendo o equilíbrio de forças agindo sobre o fluido como um todo, ou sobre um elemento infinitesimal de volume do mesmo. Assim, a primeira equação da hidrostática é aquela que estabelece a condição de não haver movimento do fluido. Escrevemos:
V 0
Na hidrostática, admitimos ademais que os campos associados à pressão e à densidade não dependem do tempo. Ou seja, essas grandezas podem depender apenas dos pontos do espaço.
x y z P P x y z
A situação mais simples a ser analisada é aquela na qual admitidos que a densidade do fluido é constante. Ou seja, no caso em que o fluido é incompressível; 0 Muitas vezes, essa condição é válida dentro de uma boa aproximação. Por exemplo, quando líquidos ocupam um pequeno recipiente. Certamente essa não é uma boa aproximação para a atmosfera terrestre. Pois sua densidade varia com a altura. A metade da massa da atmosfera terrestre se encontra numa esfera de pouco mais de 5 km acima de nós. Vamos agora falar de dois temas importantíssimos na hidrostática. Ou seja, abordaremos a lei de Stevin e também do princípio de Pascal. Vamos falar das aplicações dessa lei e desse princípio, pois existem muitas aplicações. Vamos relembrar que nós estamos falando da hidrostática onde admitimos que o fluido esteja em repouso, que a densidade e a pressão não mudam com o tempo. O nosso problema aqui é descrever uma equação para pressão que depende da densidade. Mas
Autor: Gil da Costa Marques vamos simplificar tudo, que é válida sob determinadas circunstâncias. O que agente tem que entender é quando uma aproximação muito simples é válida Já notaram que os mergulhadores utilizam uma roupa especial denominada escafandro, para mergulharem? Isso ocorre por que quando adentramos um fluido como a água vamos perceber que a pressão varia com a profundidade. Quanto maior a profundidade maior será a pressão. Assim, o uso do escafandro visa nos proteger, ou seja, minorar os efeitos da pressão. Porquanto, quando mergulhamos cada vez mais fundo podemos começar a sentir dores no ouvido como um dos primeiros sintomas. O escafandro visa reduzir o efeito da pressão sobre o nosso corpo, quando mergulhamos. Sabemos, igualmente, que a grandes altitudes a pressão se reduz significativamente trazendo também conseqüências do ponto de vista do funcionamento do corpo humano. O fato é que quanto mais subimos na atmosfera terrestre menor será a pressão. Podemos escrever uma expressão bem simples para as diferenças de pressão num fluido. Se denominarmos a pressão no nível do fluido, no nível do mar como sendo pressão atmosférica então a pressão a uma profundidade h , é dada por: ^1 Pressão no po 2 Pressão no p onto 2 nto 1 profundidade P P g h Onde g é a aceleração da gravidade local, é a densidade do líquido, P 2 é a pressão em pontos do líquido localizados a uma profundidade h dos pontos acima que exibem uma pressão P 1
Autor: Gil da Costa Marques
4.1.2 DEDUZINDO A LEI DE STEVIN
Para deduzir a Lei de Stevin, vamos admitir que a densidade seja constante É fato muito conhecido, por parte dos mergulhadores, que, à medida que mergulhamos cada vez mais fundo no mar, a pressão aumenta. Qualquer objeto imerso num fluido fica submetido a uma pressão e essa pressão aumenta quando nele submergimos buscando profundidades maiores. É fácil entender por que a pressão varia com a profundidade em um fluido. A pressão varia como resultado da força peso (por unidade de área) exercida pela parte do fluido que está acima. À medida que mergulhamos aumentamos a quantidade de fluido acima de nós e, consequentemente, a pressão. Vamos determinar como a pressão no fluido varia em função da profundidade admitindo que o fluido tenha uma densidade constante. Um volume cilíndrico do fluido e dois pontos situados a uma distância h (na vertical) Sejam dois pontos situados no interior de um fluido, localizados ao longo de um eixo imaginário na vertical, e situados a uma distância h. Eles serão denominados 1 e 2 (vide figura 16,5). Agora consideremos uma coluna do fluido de altura h e área A 9perpendicular ao eixo imaginário citado9. Ou seja, a coluna cilíndrica que tem esses dois pontos em cada uma das superfícies da base do cilindro. O peso do fluido contido na coluna citada (que está acima do ponto 2 e termina no ponto 1 é: Mg Ahg
Portanto, a pressão adicional, P , devido ao peso do fluido, é:
2 1 gAh P P P gh A
Logo, a pressão no ponto 2, P 2 , a uma altura h abaixo do ponto 1 será dada por: P 2 P 1 gh
Autor: Gil da Costa Marques em que P 1 é a pressão no ponto 1. Este resultado vale para todos os pontos localizados a uma mesma altura dentro do fluido e é conhecido por Lei de Stevin. Isso explica a variação de pressão na medida em que nós nos aprofundamos na água. Ou seja, na medida em que nós aumentamos a nossa distância a partir da superfície a pressão será maior. Essa dependência é uma dependência linear e tudo o que fizemos foi transmitir a força gravitacional constante e admitimos também a densidade constante. Lembre-se que isso no caso da água não tem problema algum.
4.2 VERIFICANDO, EXPERIMENTALMENTE, A LEI DE STEVIN
Vasos Comunicantes Uma forma fácil de verificar essa lei, é por meio do uso de vasos que se comunicam. Tendo em vista que a pressão depende apenas da altura, quando colocamos um líquido nos vasos comunicantes eles atingem a mesma altura. Ou seja, os líquidos ficam nivelados, independentemente da sua forma geométrica. O princípio dos vasos comunicantes. O nivelamento é uma consequência da lei de Stevin. Uma das aplicações da Lei de Stevin é a de entender o princípio dos vasos comunicantes.
Mecânica dos fluidos A pressão se transmite num intervalo de tempo muito curto, até podemos dizer instantaneamente. Quando aplicamos uma pressão sobre, por exemplo, água, nós comprimimos essa primeira camada de átomos que vai comprimir a próxima camada de átomos por que eles se repelem. De forma que essa força é transmitida para os seguintes e depois transmitida aos átomos próximos e, finalmente transmitida para os seguintes (vide figura abaixo). É uma descoberta empírica feita por Pascal. É um princípio fenomenológico, ou seja, baseado em experiências. E, baseado nessas experiências, ele concluiu isso. Naquela época se sabia pouco, ou quase nada, da estrutura da matéria. Mas hoje, uma vez entendida a estrutura atômica da matéria, sabemos que átomos e moléculas se repelem. Fica, portanto, fácil entender por que essa pressão é transmitida. Podemos fazer muitos usos desse princípio. No desenho abaixo, a pressão exercida sobre a parte A fluido. De forma que a pressão será transmitida a todos os pontos do fluido a parte da superfície de área A 1. E ela é transmitida integralmente. Ou seja, é a mesma ao longo dos pontos localizados ao longo do fluido. Assim, mesma pressão exercida na superfície de área A Mecânica dos fluidos – Lei de Stevin e princípio de Pascal Autor: Gil da Costa Marques pressão se transmite num intervalo de tempo muito curto, até podemos dizer Quando aplicamos uma pressão sobre, por exemplo, água, nós comprimimos essa primeira camada de átomos que vai comprimir a próxima camada de átomos por que eles se repelem. De forma que essa força é transmitida para os seguintes e depois transmitida aos átomos próximos e, finalmente transmitida para os seguintes (vide figura abaixo). É uma descoberta empírica feita por Pascal. É um princípio fenomenológico, ou seja, baseado em experiências. E, baseado nessas experiências, ele concluiu isso. Naquela época se sabia pouco, ou quase nada, da estrutura da matéria. Mas hoje, uma vez a a estrutura atômica da matéria, sabemos que átomos e moléculas se repelem. Fica, portanto, fácil entender por que essa pressão é transmitida. Podemos fazer muitos usos desse princípio. No desenho abaixo, a pressão exercida sobre a parte A 1 ela é transmitida integralmente ao fluido. De forma que a pressão será transmitida a todos os pontos do fluido a parte da E ela é transmitida integralmente. Ou seja, é a mesma ao longo dos pontos localizados ao longo do fluido. Assim, a pressão na superfície de área A mesma pressão exercida na superfície de área A 2. E estas podem possuir áreas diferentes. pressão se transmite num intervalo de tempo muito curto, até podemos dizer Quando aplicamos uma pressão sobre, por exemplo, água, nós comprimimos essa primeira camada de átomos que vai comprimir a próxima camada de átomos por que eles se repelem. De forma que essa força é transmitida para os seguintes e depois transmitida aos átomos próximos e, finalmente transmitida para os seguintes (vide figura abaixo). É uma descoberta empírica feita por Pascal. É um princípio fenomenológico, ou seja, baseado em experiências. E, baseado nessas experiências, ele concluiu isso. Naquela época se sabia pouco, ou quase nada, da estrutura da matéria. Mas hoje, uma vez a a estrutura atômica da matéria, sabemos que átomos e moléculas se repelem. itida integralmente ao fluido. De forma que a pressão será transmitida a todos os pontos do fluido a parte da E ela é transmitida integralmente. Ou seja, é a mesma ao longo dos na superfície de área A 1 é a
. E estas podem possuir áreas diferentes.
Autor: Gil da Costa Marques A força F 1 exercida na superfície A 1 é dada por: 1 1 1
F
P
A
Por outro lado, a força F 2 exercida na superfície A 1 é tal que: 2 2 2
F
P
A
Sendo as pressões iguais, inferimos que a força F 2 se relaciona com a força F 1 de tal sorte que ela depende da relação entre as áreas. Ou seja, 2 2 1 1
A
F F
A
APLICAÇÕES DO PRINCIPIO DE PASCAL
Elevador Hidráulico
A expressão acima leva a um mecanismo eficaz de aumento da força aplicada. Basta construir dispositivo com área, na outra extremidade, bem maior que a área original na qual aplicamos a força. Este é o princípio de funcionamento do elevador hidráulico. Ao aplicarmos uma força não muito grande em uma das extremidades, podemos levantar um carro na outra extremidade. Ou seja, com um dedo podemos levantar um carro.
