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4.5 Conversão em Frequência e Demodulação
Assim como a modulação linear implica em translação do espectro de mensagem para adiante, a
demodulação implica na translação inversa, a fim de se recuperar a mensagem original que está contida
no sinal modulado.
Existem duas categorias de demodulação: os detectores síncronos e os detectores de envoltória.
Por sua vez, a translação (ou conversão) em frequência é usada para deslocar um sinal modulado para
uma nova frequência portadora (para cima ou para baixo no espectro), para fins de amplificação e outras
formas de processamento de sinais.
Conversão em frequência
A conversão em frequência começa com a multiplicação por uma senoide como, por exemplo, quando o
sinal DSB [ou seja, x ( t )cos ω 1 t ] é multiplicado por cos ω 2 t :
O produto consiste de frequências soma ( f 1 + f 2 ) e diferença (| f 1 − f 2 |), cada qual modulada por x ( t ).
Assumindo que f 2 ≠ f 1 , a multiplicação translada o espectro do sinal x ( t ) para duas novas frequências
portadoras.
Esta operação é chamada de heterodinagem ou mixing.
DSB
− f 2 0 f 2 f
− f 1 0 f 1 f
−( f 2 + f 1 ) − f 2 −( f 2 − f 1 ) 0 ( f 2 − f 1 ) f 2 ( f 2 + f 1 ) f
Com filtragem passa-banda apropriada, o sinal é up-converted ou down-converted.
Os dispositivos que realizam esta operação são chamados de conversores de frequência ou mixers.
Aplicações: oscilador de frequência de batimento, divisor de frequência regenerativo, embaralhador
de voz, analisador de espectro, etc.
Heterodinagem (ou mixing ):
A multiplicação translada o espectro do sinal x ( t ) para duas novas frequências portadoras.
DSB
cosω 2 t
sinal modulado em DSB, portadora f 1
mudança de portadora do sinal DSB anterior (??)
0 ( f 2 − f 1 ) f 2 ( f 2 + f 1 ) f
DSB, portadora ( f 1 + f 2 )
0 ( f 2 − f 1 ) f 2 ( f 2 + f 1 ) f
DSB, portadora ( f 2 − f 1 )
Exemplo 4.5-1: Transponder de satélite ( Full-duplex communication )
Transponder = Transmitter + Responder
A figura abaixo apresenta um esboço de um transponder de satélite de retransmissão que proporciona
comunicação bidirecional entre duas estações terrestres.
Diferentes frequências portadoras (6 GHz e 4 GHz) são usadas no uplink e downlink , a fim de se evitar
auto-oscilação devido a realimentação positiva do lado transmissor para o lado receptor.
A conversão de frequência translada o espectro do sinal amplificado de uplink para a banda passante
do amplificador de downlink.
Detecção Síncrona (detecção de produto ou detecção coerente)
Todos os tipos de modulação linear podem ser detectados pelo demodulador de produto , o qual está
mostrado na Fig. 4.5-3:
Assume-se que o oscilador local (LO) está sincronizado exatamente com a portadora de x (^) c(t ), tanto em
fase quanto em frequência.
Seja o sinal de entrada generalizado:
sendo que: Kc = 0 → portadora suprimida (SSB ou VSB)
x (^) q ( t )=0 → AM sendo [ ]
Kc = 0 e x (^) q ( t )=0 → DSB.
A entrada do filtro é dada por: y ( t ) =
ou seja: y ( t )
(mostrar isto!)
(1)
(2)
(3) (4)
(5)
(6) (7)
(1) mensagem X ( f ) (2)
455 kHz, sub-portadora = f c
(3) filtro mecânico, BPF-
(4) (5)
portadora SSB = f c
(6) filtro LC, BPF-
(7)
USSB
O primeiro oscilador a cristal opera na sub-portadora de 455 kHz, em torno da qual são construídos os filtros mecânicos.
Utilizando-se f c2=455 kHz, se dá uma margem de aproximadamente 2 f c2=910 kHz para a atuação do filtro LC (região de
transição), a qual é mais do que suficiente. #
f c1 f c1 +f c
f c
f c
f c
f c1 − f c2^ f c1 f c1 +f c
f c
f
fc (^) 2 − f fc (^) 2 + f
f
f
f
f
f
| (^) 910 kHz |
W
__________________________________________________________________________________
Recordação: Seção 4.
Transmissor de SSB:
f (^) c 2 f (^) c 1
BPF-2 BPF-
Receptor prático de SSB
Assim como o processo de geração de SSB prático usa dois estágios para modulação, o processo
inverso de demodulação também é executado em duas etapas:
Análise espectral:
RF ⊗ BPF FI FI ⊗ AF
< AGC
LPF
X-TAL X-TAL
mechanical filter
filter
antenna
loud speaker
f (^) c 1 f^ c 2
− 2 f (^) c 2 − f (^) c 2 0 f (^) c 2 2 f (^) c 2 (continua...)
455 kHz
− f (^) c 1 − f (^) c 2 − f (^) c 1 0 f (^) c 1 f (^) c 1 + f (^) c 2
− 2 f (^) c 1 − f (^) c2 − 2 f (^) c 1 − f (^) c 1 − f (^) c 2 0 f (^) c 2 f (^) c 1 2f (^) c 1 2 f (^) c 1 + f (^) c 2
f (^) c 2
− f (^) c 2 0 f (^) c 2
f
f
f
f
Xc ( f )
− f (^) c 1 0 f (^) c 1 f
455 kHz
3 a 30 MHz
mechanical filter
LPF
synchronous detector
RF ⊗ BPF FI FI ⊗ AF
< AGC
LPF
X-TAL X-TAL
mechanical filter
filter
antenna
loud speaker
f (^) c 1 f^ c 2
_________________________________________________
Como o sistema não transmite a portadora, não é possível implementar o AGC ( Automatic Gain
Control ou Controle Automático de Ganho) da forma convencional de AM.
É comum encontrar receptores de baixo custo com controle de ganho manual, no qual se ajusta o ganho
da etapa de FI para compensar as variações de distância entre o transmissor e receptor.
Uma outra alternativa, utiliza a amplitude do próprio sinal de áudio, o qual, após uma retificação de
pico , atua no AGC da etapa de FI.
Transceptor de SSB
Em comunicações ponto-a-ponto entre rádio-amadores ou operadores da faixa do cidadão, costuma-se
utilizar um equipamento que possa tanto transmitir quanto receber informações: o transceptor.
Em geral, utilizam a tecnologia PTT ( Push-To-Talk ), o qual emprega blocos comuns ao transmissor e
receptor. (continua...)
455 kHz
(Capítulo 7)
455 kHz
Permite transmitir e receber sinais, porém, não simultaneamente, através do comando dado por um
interruptor de pressão localizado no corpo do microfone (chaveia entre T e R).
455 kHz
455 kHz
455 kHz
Tx - transmitter
Rx - receiver
PTT
AF
{cos( 2 ' ') cos( ' ')} 2
()cos(ω + ω' +φ')= ω t ±ω t +ω t +φ + ±ω t −ω t − φ
A
x t t t c m m
c c c
O filtro passa-baixa remove as componentes de frequência dupla, produzindo na saída:
sendo KD = Ac /2.
♣ A deriva em frequência produz apenas um tom (com desvio de frequência, para mais ou para
menos), mas que também pode causar distúrbio, em particular, para transmissão musical.
No caso de transmissão de voz, derivas de frequência menores que ±10 Hz são toleráveis, mas no
caso contrário, soa como a “voz do Pato Donald”.
♠ Relativamente à deriva de fase , esta aparece como distorção de delay, sendo o caso extremo quando
0 , quando o sinal demodulado torna-se.
Contudo, o ouvido humano pode tolerar uma quantidade relativamente grande de distorção por delay ,
tal que o desvio de fase não é tão sério em sistema SSB para sinais de voz.
***** No caso de sistema de transmissão de dados, fac símile e vídeos com portadora suprimida, uma
sincronização cuidadosa é necessária.
x ˆ ( t )
(deriva em frequência)
(deriva na fase)
y (^) D ( t )
frequência dupla
Generalização para sinais DSB e SSB arbitrários
Considere-se a expressão geral para o sinal modulado:
e que o oscilador local seja:.
O produto será:
Após o filtro passa baixa: , KD = K μ /.
a) DSB [ x (^) q ( t )=0]
Neste caso, o sinal detectado resulta:
i) Se ω ’ ≠ 0 e φ ’ = 0 :
Como ω ’ << ω c cos(ω ’ t ) é uma função que varia lentamente no tempo: distorção na bx. freq.
x (^) c ( t )= K μ x ( t )cos ω c t − K μ xq ( t )sin ω c t
cos[( ω (^) c + ω') t + φ' )
{ (){cos[( 2 ') '] cos( ' ')} (){sin[( 2 ') '] sin( ' ')}} 2
()cos[( ') '] [ ()cos ()sin ] cos[( ') ']
ω ω φ ω φ ω ω φ ω φ
ω ω φ ω ω ω ω φ
μ
μ
+ + = − × + +
xt t t x t t t
K
x t t K xt t x t t t
c q c
c c c q c c
y (^) D ( t )= KD [ x ( t )cos( ω ' t + φ')+ xq ( t )sin( ω' t + φ' )]
y (^) D ( t )= KDx ( t )cos( ω ' t + φ' )
fator de distorção
y (^) D ( t )= KDx ( t )cos ω' t
− W W f − W − f’ − f’ f’ W + f’ f − W − f’ W + f’ f
X ( f ) YD ( f )
portadora ω ’
(continua...)
aliasing (^) distorção
x ( t ) arbitrário
distributiva
DSB
y (^) D ( t )= KDx ( t )cos( ω ' t + φ')
fator de distorção
ii) Se ω ’ = 0 e φ ’ ≠ 0 :
Se φ ’ variar lentamente no tempo (variações durante a trajetória de propagação atmosférica)
desvanecimento.
Se φ ’ = ± 90 0 y D ( t ) = 0.
b) SSB [ x (^) q ( t )= ]
Neste caso o sinal detectado resulta:
i) Se ω ’ ≠ 0 e φ ’ = 0 :
Ocorre uma distorção semelhante ( aliasing ) ao caso DSB, com a segunda parcela distorcendo ainda
mais o sinal modulado.
No caso de transmissão de voz, para f ’ >10Hz, ocorre o efeito de “voz do Pato Donald”.
ii) Se ω ’ =0 e φ ’ ≠ 0 :
Aplicando-se a TF:
y (^) D ( t )= KDx ( t )cos φ'
x ˆ( t )
y (^) D ( t )= KD [ x ( t )cos( ω' t + φ')+ xq ( t )sin( ω' t + φ' )]
y (^) D ( t )= KD [ x ( t )cos( ω ' t + φ') x ˆ( t )sin( ω' t + φ' )]
y (^) D ( t )= KD [ x ( t )cos ω ' t x ˆ( t )sin ω' t ]
(continua...)
portadora ω ’
y (^) D ( t )= KD [ x ( t )cos φ ' x ˆ( t )sin φ' ]
termo indesejado e que não pode ser eliminado por filtragem
Y (^) D ( f )= KD [ X ( f )cosφ ' X ˆ( f )sin φ']
Y (^) D ( f )= KD [ X ( f )cosφ ' X ˆ( f )sin φ' ]
Recordação:
Observe-se que:
sendo u ( f ) a função degrau unitário.
Portanto:
ou seja:
A distorção total sobre SSB é devido a um erro de fase (distorção de fase).
H (^) Q ( f )
X ( f ) X ˆ^ ( f )=(− j sgn f ) X ( f )
filtro de
Hilbert
ˆ (^) ( ) sgn ( ) ( ) ( ) X f j f X f je X f
j π uf =− =
( ) [ ( )cos ' ( )sin ' ]
() φ φ
π Y f K X f je X f
juf D = D
±
( ){cos ' ( )sin '} ( ) para 0
( ){cos ' ( )sin '} ( ) para 0 ( ) '
'
K X f j K X f e f
K X f j K X f e f Y f j D D
j D D D φ
φ
φ φ
φ φ
( ) ( ){cos ' [ ]sin ' }
() φ φ
j π uf YD f = KDX f je
hermitiano
1 ( ) 0
( 1) para 0 sgn ( 1) para 0
j j u f jπ
je j j f j f je je j j f
π π ^ =^ −^ = −^ > − = = (^)
=^ +^ =^ <
H ( f + fc )+ H ( f − fc )= C =constante
_______________________________________________
Observe-se que X ( f ) = 0 para | f | > W , logo, a equação acima deve ser satisfeita apenas quando | f | < W.
Portanto, o filtro deve apresentar a característica de corte com simetria complementar ao redor da
portadora:
H ( ω)
ω 0
H ( ω + ω c )
ω
( )[ ( ) ( )]
y (^) D ( t )↔ X f H f + fc + H f − fc
forma geral do
filtro vestigial
sistema passa banda, H ( f )]
banda base, H ( f + f (^) c ) (^) Esta característica satisfaz a condição:
H ( f + fc )+ H ( f − fc )= C =constante
W
Detecção de Envoltória (ou Detecção Assíncrona)
Como a envoltória de um sinal AM tem a mesma forma da mensagem, independentemente da frequência
e fase da portadora, a demodulação pode ser realizada extraindo-se a envoltória, sem preocupação com
sincronismo.
Na ausência de C 1 , R 2 e C 2 , a tensão v seria a
versão retificada (meia-onda) da entrada v (^) in.
Porém, R 1 C 1 atua como um filtro passa baixa,
respondendo apenas às variações nos picos de
v (^) in , desde que:
Sob tais condições, C 1 descarrega ligeiramente entre os picos da portadora e v se aproxima da envoltória
de v (^) in.
Finalmente, R 2 C 2 age como um bloqueio DC para remover o bias da componente de portadora não
modulada. (continua...)
(ver discussão a seguir)
filtro passa alta sinal AM de entrada
bias
Sinal de AM
Mensagem
Detector de envoltória
Importante:
Desde que o bloqueio DC distorce as componentes de baixa
frequência da mensagem, os detectores de envoltória
convencionais não são adequados para sinais com importante
conteúdo de baixa frequência.
Bloqueio DC (HPF)
Resumo:
Escolha da constante de tempo RC
O capacitor C 1 se carrega rapidamente até o valor de pico do sinal modulado, através de uma pequena
resistência direta oferecida pelo diodo em condução, e então, descarrega lentamente através da
resistência R 1 (a qual é bem maior que a resistência do diodo).
Se a constante de tempo é escolhida adequadamente, a tensão de saída se parece muito com a envoltória.
Para operação apropriada, o inverso da constante de tempo é escolhida para ser pequena o suficiente
para frequências da mensagem, e, ao mesmo tempo, grande o suficiente para a frequência da portadora:
Se a constante de tempo for muito pequena , a saída do detector tem o aspecto da figura abaixo: em
vez da envoltória desejada, a forma de onda de saída possui um excessivo ripple de RF.
A inclinação (em módulo) de cada
descarga capacitiva é bem maior que
a inclinação (em módulo) da envoltória
em cada instante de tempo.
1 1
c
R C
f W
(continua...)
modulação de tom
Na figura a seguir, mostra-se como a tensão do capacitor v (^) c ( t ) segue (aproximadamente) a envoltória,
quando a constante de tempo R 1 C 1 é selecionada adequadamente.
O módulo da inclinação da curva de descarga do capacitor, i.e., , deve ser maior que o módulo
da inclinação da envoltória, ou seja, , para operação apropriada: ≥.
Existe uma relação entre a constante de tempo R 1 C 1 , o índice de modulação (μ) e a maior frequência
do sinal de modulação ( fm = W ), que deve ser satisfeita no caso de detecção de envoltória de um sinal
de AM com tom único.
dt
dvc ( t )
dt
dA ( t )
dt
dvc ( t )
dt
dA ( t )
(continua...)
charge/
para não haver descolamento diagonal
a justificativa é dada a seguir
derivada da envoltória em t 0
derivada da descarga em t 0
modulação de tom
Regra prática: para uma detecção eficiente do sinal de modulação, pede-se que:
Prova:
a) Limite inferior:
Sabe-se que o tempo para um capacitor descarregar 99% de sua carga inicial é de aproximadamente
5 R 1 C 1.
Note-se, ainda, que a saída não deve decair apreciavelmente entre dois picos consecutivos da onda
modulada.
O tempo entre dois picos da onda modulada é 2 π / ω c , tal que, 5 R 1 C 1 >> 2 π / ω c R 1 C 1 >> 2 π /(5 ω c ).
Como 2 π /5 ≅ 1 R 1 C 1 >> 1/ ω c o limite inferior é R 1 C 1 = 1/ ω c , abaixo do qual se produz muito
ripple na saída.
(O valor exato das constantes 5 e 2 π não precisa ser específico, desde que a inequação acima está
sendo satisfeita, e que 5 (que vem de 5 R 1 C 1 ) não é um limite exato de qualquer forma.)
Por fim, ressalta-se que o importante para detecção apropriada é operar próximo ao outro extremo,
i.e., o limite superior , imediatamente antes que ocorra o descolamento diagonal ; assim, a
determinação do limite superior é essencial.
W
RC
c μ^ π
μ
ω 2
2
1 1
(continua...)
charge/
b) Limite superior:
Procura-se garantir que a tensão no capacitor v (^) c ( t ) siga a envoltória, no caso da modulação tonal em
fm = W , com um mínimo de ripple e próximo ao limite de deslocamento diagonal.
A fim de v (^) c ( t ) seguir a envoltória A ( t ), é necessário que ≥ , em qualquer t 0.
Por outro lado:
Assim, deve-se impor que:
sendo que tal inequação deve ser satisfeita para todo t 0.
dt
dvc ( t )
dt
dA ( t )
− −
=
11
0
( ) 0
RC
tt
vc t Ee
1 1
0
1 1 1 1
0
1 1
0 1 1
[ 1 cos 2 ]
0 0
0
11
0
0
R C
A Wt
RC
At
RC
E
v t RC
Ee dt RC
dv t
c
tt tt
c
tt
RC
tt
tt
c
+μ π
= =
=
(^) − −
=
2 sin (^20)
() [ 1 cos 2 ]
0
A W Wt dt
dAt A t A Wt c
tt
= c +μ π =μ π π
=
0 1 1
0 2 sin 2
[ 1 cos 2 ] A W Wt RC
A Wt c
c μ π π
μ π ≥
2 sin 2
1 cos 2 0 0
0 1 1 f t W Wt
Wt R C =
μ π π
μ π
(continua...)
descarga capacitiva
W
RC c μ^ π
μ
ω 2
1 1
2
1 1
− ≤ ≤
Como a inequação deve ser satisfeita para todo t 0 , fica claro que t 0 passa a ser uma nova variável.
O pior caso ocorre quando o lado direito da inequação é mínimo, uma vez que, se for menor, ocorre o
descolamento diagonal.
O valor mínimo de f ( t 0 ) é obtido a partir de d [ f ( t 0 )]/ dt 0 =0, o qual conduz a:.
Daí, calcula-se:
Portanto, o mínimo valor possível de f ( t 0 ) é:
Em resumo, a constante R 1 C 1 não pode ser maior que este valor mínimo de f ( t 0 ) e, portanto,
c.q.d. #
_____________________
Esta relação dá origem a:.
Para um dado W e uma constante de tempo R 1 C 1 , existe um limite superior no índice de modulação
para que o detector de envoltória possa demodular com sucesso.
Pelo mesmo motivo, embora a máxima eficiência de potência em AM ocorra para μ=1, a rádio-difusão
comercial usa μ tipicamente na faixa de 0,85 a 0,95.
cos 2 π Wt 0 =− μ
2 2 2 2 1 − sin 2 π Wt 0 (^) = cos 2 π Wt 0 (^) = − μ 1 − sin 2 π Wt 0 (^) = μ sin 2 π Wt 0 = 1 −μ
W W^ W
f t μ π
μ
μ π μ
μ
μ π μ
μ μ
min{ ( }}
2
2
2
(^02)
W
RC
μ π
μ
2
1 1
2 1 ( 2 1 1 )
π WR C
μ
Mostrar
isto!
2 sin 2
1 cos 2 0 0
0 1 1 f t W Wt
Wt R C =
μ π π
μ π
W
RC
c μ^ π
μ
ω 2
2
1 1
Obs: ≤ ≤
______________________________________
b) Para LSSB ( − ):
Resumo:
(+) → USSB (−) → LSSB
Envoltória:
Se A / ALO <<1 (sendo ), então, ( A / ALO )
2 ≅ 0, e:
Im
Re
ω m t
ALO
φ( t )
A ( t ) A
v t A t
v t A A t
q m
i LO m
ω
ω
() sin
() cos
v t A t
v t A A t
q m
i LO m
ω
ω
() sin
() cos
t A
A
A
A
A AA t A A
At v t v t A AA t A t A t
m LO LO
LO LO m LO
i q LO LO m m m
ω ω
ω ω ω
cos
[ 2 cos ] 1
() [ () ()] [ 2 cos cos sin ]
2 2 21 / 2
2 2 1 / 2 2 2 2 2 2 1 / 2
(continua...)
t A
A
A t A m
LO
LO cos^ ω
v t A t
v t A A t
q m
i LO m
ω
ω
() sin
() cos
(+) → USSB
, in phase
, quadrature
( ) 1
2
j (^) mt
LO
v A e
v A
− ω
Em f = f (^) c
A = Ac Am / 2
Ac A m A =
grande portadora gerada localmente
t A
A
A t A m
LO
LO cos^ ω
___________________________________________
Série de Taylor:
Se ALO for grande o suficiente, 2 A / ALO <<1, e assim
ou seja, um sinal AM:
Vantagens: O sinal x ( t ) pode ser extraído por um detector de envoltória.
Não é usado nenhum multiplicador, mas apenas o somador (linear, mais simples).
Problemas: Erros de frequência e de fase no oscilador local podem demandar circuitos complicados
de ajuste automático do sincronismo.
1 + = 1 + + x <
x x
Ac A m A =
cos 2
cos
( ) 1 xt
A
A t A
A
t A A
A
A t A
c m m LO
c m LO LO
LO = + = +
≅ + ω ω
()cos[ ( )] 2
( ) ()cos[ ()] xt t t
A
v t At t t A c
c out ω c^ φ LO ω +^ φ
vout
(representação de envoltória e fase)
grande portadora gerada localmente
tom na frequência de áudio envoltória
yD
Detector retificador
Deve ficar claro que o mecanismo responsável pela demodulação por detector de envoltória é a não
linearidade do diodo retificador, o qual torna o circuito de saída não-linear.
Por outro lado, um diodo semicondutor também pode ser usado para recuperar o sinal de mensagem
quando usado como chave eletrônica ( sistema variante no tempo ).
O sinal retificado equivale à multiplicação dos valores positivos do sinal de mensagem por +1 , e,
dos valores negativos, por zero ; o sistema é variante no tempo. (^) (continua...)
é usado um filtro passa-baixa
(não é um detector de envoltória)
sinal de AM
bloqueio DC
(LPF)
sinal filtrado
sinal retificado/chaveado
sinal AM
sinal detectado
impedância de entrada alta impedância de saída baixa
Solução gráfica:
(multiplicação temporal)
(convolução espectral)
filtro passa baixa
chaveamento pelo diodo
Sinal de AM
produto síncrono
(continua...)
observe-se a grande quantidade de energia desperdiçada com a filtragem
