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4.2 A lei da conservação do momento
angular
4.2.1 O momento angular e o torque
Até agora, não fizemos uso da segunda parte das experiências de Mach, ver capítulo 2, Eq. (2.3). Heis aqui outra vez esta lei, mas com novos índices:
r 1 x m 1 a 1 + r 2 x m 2 a 2 = 0 (1)
Esta equação vale para todo tipo de interação. No caso do movimento de rotação, tem muita vantagem o conceito de torque que desempenha um papel análogo ao da força no movimento de translação.
O torque M (ou τ ) da força F em relação a um ponto fixo O, num sistema inercial, é definido como o produto vetorial
M := r x m a = r x F (2)
O vetor r dá a posição da partícula em relação ao ponto O. r = vetor-posição. Compare esta definição com a definição dada na seção 2.1. Com a noção do torque podemos reformular a equação (1):
M 1 + M 2 = 0 (3)
Vamos ver, agora, que esta equação contém uma nova lei de conservação, uma lei que segue sendo válida quando a interação deixa de existir. Eq. (3) mesma tem somente significado físico, se houver interação.
Primeiramente introduzimos uma nova grandeza, a saber, o momento angular L para uma partícula de massa m:
L := r x p (4).
A relação (4) representa um vínculo entre movimento de translação e movimento de rotação. O momento angular total de um sistema é a soma dos momentos angulares de suas partículas. Para dois massas m 1 e m 2 temos
L = L 1 + L 2 = r 1 x p 1 + r 2 x p 2 (5)
Este vetor tem a notável propriedade de ser independente do tempo, pois
Para a demonstração disso, ver 4.2. São as condições iniciais que determinam comprimento, direção e sentido do vetor L. Sendo L , então, independente do tempo, vale
L = L 1 + L 2 = r 1 x p 1 + r 2 x p 2 = const. (7)
O resultado L = const. significa que a direção de L fica inalterada e, com isso a orientação do plano do movimento, determinado pelos vetores v 1 e v 2 , permanecerá fixo no espaço. Além disso, permanecem inalterados, como já foi dito, o módulo e o sentido de L. Isso tem também como conseqüência que as duas partículas, que estão interagindo, tem que mover-se sempre no mesmo plano sem poder modificar o sentido do seu movimento. Se o seu centro de massa (CM) estiver movendo-se com movimento retilíneo uniforme, veja 4.1.1, o plano das massas se moveria juntamente com o CM. Com o seguinte programa podemos observar este comportamento:
- reset(): /duas partículas de mesma massa ligadas por uma haste* se movem girando pelo espaço ao longo da reta do CM/* x1:=2cos(2PIt): //Partícula 1* y1:=3t+2sin(2PIt):** z1:=2t:* curva1:=plot::Curve3d([x1(t),y1(t),z1(t)], t=0..u,u=0..2,Color=RGB::Red):
p1:=plot::Point3d([x1,y1,z1],PointSize=3unit::mm, t=0..2,Color=RGB::Red):*
x2:=-2cos(2PIt)://Partícula 2 y2:=3t-2sin(2PIt): z2:=2t:**
curva2:=plot::Curve3d([x2(t),y2(t),z2(t)], t=0..u,u=0..2,Color=RGB::Blue):
p2:=plot::Point3d([x2,y2,z2],PointSize=3unit::mm, t=0..2,Color=RGB::Blue):*
Enunciemos agora a lei da conservação do momento angular :
O momento angular total de um sistema isolado é constante em módulo, direção e sentido.
Esta lei é uma das leis fundamentais de conservação da natureza, tendo sido verificada mesmo em situações, às quais as leis de Newton não se aplicam (p.ex. quando estão envolvidas partículas a altas velocidades ou de dimensões subatômicas.)
Até aqui, o nosso sistema constava de só duas partículas, mas é fácil de comprovar que a lei é válida para qualquer sistema de partículas.
Um exemplo que mostra a validade de L = const. é o sistema solar que pode ser tratado como isolado. Este sistema, como um total, tem momento angular constante relativamente a seu centro de massa.
4.2.2 Decomposição do momento angular
Com freqüência é conveniente decompor o momento angular total em relação a um ponto fixo O no momento angular relativo ao CM (referencial C) e no momento angular da massa total do sistema que se supõe concentrada no CM, ou seja:
L = ∑ mi ( r' i x v' i ) + r (^) c x M vc := Lint + Lext (8)
r (^) c e vc são posiçaõ e velocidade do CM em relação ao ponto O, r' i e v' i são posição e velocidade da partícula i em relação ao CM. O é um ponto fixo no laboratório que pode ser considerado um sistema inercial (referencial L).
O primeiro termo à direita dá o momento angular interno (o spin ) relativo ao CM. O segundo termo é o momento angular externo relativo ao ponto O no referencial L. Chama-se Lext = r (^) c x M vc também de momento angular orbital. No caso do átomo de hidrogênico, o momento angular do átomo consta do spin e do momento angular orbital do elétron.
A figura 4.2.2 mostra o caso de duas partículas. O vetor posição da massa m 2 em relação à massa m 1 é o vetor r = r 2 - r 1 := r 12 que aponta da partícula 1 à 2. Os vetores p 1 '^ e p 2 '^ tem a soma zero: p 1 '^ + p 2 '^ = 0 , eles formam um par de vetores.
O momento interno é Lint = r 1 '^ x p 1 ' + r 2 ' x p 2 ' , onde p 1 ' = m 1 v 1 ' e p 2 ' = m 2 v 2 '. Com a massa reduzida do sistema de duas partículas, designada por μ e definida por 1/μ = 1/m 1 + 1/m 2 , podemos chegar a uma forma muito simples para o vetor L.
Com P' = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 ' = 0 obtemos
Lint = μ( r 1 ' x v 1 ' - r 1 ' x v 2 ' - r 2 ' x v 1 ' + r 2 ' x v 2 ' ) = μ[( r 2 ' - r 1 ' ) x ( v 2 ' - v 1 ' )]
Introduzindo os vetores r = r 2 ' - r 1 ' = r 2 - r 1 e v = v 2 ' - v 1 ' = v 2 - v 1 , obtemos, finalmente, a expressão
Lint = μ r x v (9)
O momento angular interno de um sistema de duas partículas é, então, igual ao momento angular de uma partícula fictícia de massa μ e vetor posição r = r 2 - r (^1) que se move com a velocidade v = v 2 - v 1.
Na expressão (9) não aparecem mais coordenadas com respeito ao referencial C, somente encontramos quantidades relativas.
Se quisermos calcular o momento angular interno do sistema elétron-próton no átomo de hidrogênio, então r e v significam vetor-posição e vetor-velocidade do elétron medidos em relação ao próton. μ é a massa reduzida das duas partículas. Desde que a massa m 1 do próton é 1836 vezes maior do que a massa m 2 do elétron, resulta μ ≈ m 2. Isso podemos ver facilmente, notando que μ = m 1 ·m 2 /(m 1 +m 2 )= m 2 /(1+m 2 /m 1 ).
Fig.4.2-
O sistema Terra-satélite artificial tem μ ≈ m (^) satélite , já que a massa m 1 da Terra é muito maior do que a massa m 2 do satélite.
É muito interessante que também a segunda lei de Newton se deixa formular para a massa fictícia μ. Pois as equações do movimento das duas massas, a saber
m 1 ·d^2 r 1 /dt 2 = - F e m 2 ·d^2 r 2 /dt 2 = F ,
Primeira lei (lei das órbitas):
Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos.
Segunda lei (lei das áreas):
O segmento de reta que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais, ou seja, a taxa dA/dt com que o segmento varre áreas A é constante.
Terceira lei (lei dos períodos):
O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da sua órbita.
Lendo bem estes leis, notamos que a segunda lei e a parte da primeira que se refere a um movimento planar devem ser conseqüências da lei da conservação do momento angular.
Olhemos à seguinte figura, que ilustra o problema análogo do sistema "Terra-satélite".
Fig.: 4.2-
No instante t = 0, o satélite estava na posição r (^) o e teve a velocidade vo. De Lc = const. podemos deduzir que o vetor relativo r = r (t) se encontra sempre no plano definido pelos vetores r (^) o e vo. No intervalo de tempo ∆t, o vetor r varre a área ∆A que tem, aproximadamente, a forma de um triângulo, ou seja
∆ A ≈ [ r x ( r + ∆ r )]/2 = ( r x ∆ r )/2, veja o parágrafo 2.2.3 sobre o produto vetorial.
Para ∆t −> 0, o área do triângulo se torna igual à área ∆A varrido pelo satélite. Podemos escrever
μ d A /dt = μ ( r x d r /dt)/2 = μ r x v /2 = Lc /2, ou seja:
Esta equação exprime matematicamente a segunda lei de Kepler.
A parte da primeira lei que se refere à forma elíptica da órbita não se pode deduzir da lei L = const.. Somente se introduzirmos uma força da forma F = F(r)· r o^ como F(r) = - k/r n^ , ou seja, uma força central, obtém-se com n = 2 e k > 0 órbitas elípticas com o centro da força em um dos focos.
(Para n = -1 e k > 0, isso é o caso do oscilador harmónico, obtém-se também órbitas elípticas, mas o centro da força fica, neste caso, no centro da elípse. Veja capítulo 6.)
As leis de Kepler serão tema do capítulo 5. Aqui queria só mostrar o vínculo da primeira e da segunda lei com a lei da conservação do momento angular.
Para terminar esta seção, consideramos o caso de uma partícula só que se move uniformemente ao longo de uma reta.
Fig.: 4.2-
Poder-se-ia pensar que tal partícula não está efetuando rotação nenhuma e que, por isso, não pode ter momento angular. Mas temos que ver que o vetor posição sim gira
com respeito ao ponto fixo O. Se a partícula for chegando de - ∞ para ir a + ∞, o
ângulo α vai variar de 180o^ até 0o^.
L = m r x v = m r x r eφ ·dφ/dt = mr 2 ω k , ver 3.4.
(Ajuda: Seja r perpendicular a ω , ou seja, r = r(cosφ i + senφ j ). Então
r x eφ = r(cosφ i + senφ j ) x (-senφ i + cosφ j ) = r(cos 2 φ( i x j ) - sen^2 φ( j x i )= r k )
Então temos, neste caso,
L = mr 2 ω k (19)
r é a distância vertical da partícula do eixo de rotação. Somando os momentos angulares L iz = m (^) i r (^2) i ω k de todas as partículas, obtemos como momento angular total com respeito ao eixo-z
L z = I (^) z·ω k , (20)
onde I (^) z := ∑ m (^) i r (^2) i é o momento de inércia do sistema de partículas.
Para o torque das forças externas M (^) ext = d L /dt temos, agora,
M (^) ext = I· d ω /dt (21)
Vê-se, então, que o torque necessário para dar a um sistema de partículas uma certa velocidade ω é tanto maior quanto maior é o momento de inércia, daí vem o nome. O momento de inércia desempenha na rotação um papel análogo ao da massa na translação.
Podemos considerar um corpo rígido que gira ao redor de um eixo fixo com velocidade angular ω como um sistema de um número muito grande de partículas. Cada partνcula do corpo percorrerá um círculo cujo raio é a sua distância até o eixo de rotação. O momento de inércia do corpo em relação ao eixo será I := ∑ m (^) i r (^2) i. Sendo o corpo um contínuo, esta soma precisa ser substituída por uma integral:
onde ρ é a densidade de massa do corpo e dV ι um elemento de volume.
4.2.4 Com lápis e papel
a.
Para demonstrar a Eq. (6), partimos da relação d( r x p )/dt = d r /dt x p + r xd p /dt e escrevemos
= v 1 x m 1 v 1 + r 1 x m 1 a 1 + v 2 x m 2 v 2 + r 2 x m 2 a 2 = 0
já que v 1 x m 1 v 1 = v 2 x m 2 v 2 = 0, e devido à Eq. (3) temos r 1 x m 1 a 1 + r 2 x m 2 a 2 = 0.
O que sobra é d L /dt = O.
b.
Resta, agora, demonstrar a fórmula (17): ω = r x v /r 2.
Fig.: 4.2-
Sabendo-se que ω = ∆φ/∆t, pode-se escrever ω ≈ AB/(r·∆t) = |∆ r |·senα'/(r·∆t). Quando ∆t −>0, temos para o módulo de ω a expressão ω = dφ/dt = senα·v/r.
O vetor ω está perpendicular às vetores r e v , ou seja ω ≈ r x v.
O fator de proporcionalidade deve ser 1/r 2 , para que ω = dφ/dt = v·senα/r. ( | r x v |/r 2 = r·v·senα/r 2 = v·senα/r). Fica, assim, demonstrada a relação ω = r x v /r 2.
