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1. Introdução;
2. Conceito e classificação das taxas de juros;
3. Taxas equivalentes e proporcionais;
4. Juros pagos antecipadamente;
5. Conclusão.
José Dutra Vieira Sobrinho.
- Economista, Superintendente de
Controle Financeiro do Grupo
Unibanco, São Paulo.
1. INTRODUÇÃO
No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os
técnicos e executivos, reina muita confusão no que se
refere aos conceitos de taxas de juros nominal, efeti-
va e real.
O desconhecimento generalizado desses conceitos
tem dificultado o fechamento de negócios pela conse-
qüente falta de entendimento entre as partes.
Dentro dos programas dos diversos cursos de ma-
temática financeira existe uma verdadeira "polui-
ção" de taxas de juros. Além das mencionadas, tem-
se ainda a simples (ou linear), composta (ou exponen-
cial), equivalente, proporcional, aparente, antecipa-
da, etc., sem se falar nas taxas de desconto "por fo-
ra" (ou comercial ou bancário) e "por dentro" (ou
racional), simples e compostos.
As causas de confusão reinante são antigas e nu-
merosas, em cujo mérito não entraremos. Preferimo-
nos concentrar nas medidas que entendemos necessá-
rias para amenizar e, se possível, solucionar o proble-
ma existente. E a medida principal reside justamente
numa conceituação simples e clara das taxas mencio-
nadas, o que nos propomos a fazer.
2. CONCEITO E CLASSIFICAÇÃO DAS TAXAS
DE JUROS
A taxa de juros pode ser definida como a relação en-
tre os juros pagos (ou recebidos) no final do período
e o capital inicialmente tomado (ou aplicado). Assim,
se uma pessoa aplica Cr$ 1.000,00 recebe Cr$
1.300,00 no final de um certo período de tempo, a ta-
xa de juros é de 30010 nesse período, ou seja, é a rela-
ção entre os juros de Cr$ 300,00 recebidos no venci-
mento do prazo combinado e o capital de Cr$
1.000,00 inicialmente aplicado.
Entendemos que as taxas de juros podem ser classi-
ficadas:
a) quanto ao regime de capitalização: simples (ou li-
near) e composta (ou exponencial);
b) quanto ao valor do capital inicial tomado como
base de cálculo: nominal, efetiva e real.
Como se verifica mais adiante, essas duas classifi-
cações não são mutuamente excludentes, isto é uma
taxa pode ser nominal linear ou nominal exponen-
cial, efetiva linear ou efetiva exponencial e real linear
ou real exponencial.
2.1 Classificação quanto ao regime de capitalização
Como foi mencionado, as taxas de juros quanto ao
seu regime de capitalização podem ser simples ou
compostas.
Rev. Adm. Ernp., Rio de Janeiro,^ 21(1): 77-82,^ jan.lmar.^1981
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Taxade juros nominal, efetiva ou real?
A taxa de juros é simples (ou linear) quando o va- lor total dos juros é resultante da sua incidência so- mente sobre o capital inicial, ou seja, a taxa não inci- de sobre o valor dos juros acumulados periodicamen- te.
Exemplo:
Seja um capital de Cr$ 100.000,00 aplicado por
seis meses, à taxa de 4010 ao mês.
Solução:
J = C x i x n = 100.000,00 x 0,04 x 6 = 24.000,
o quadro 1 nos mostra os saldos mensais de capital
- juros, no início e fim de cada mês.
Quadro 1
N Saldo^ inicial^ Juros^ acumuladosJuros^ Saldo^ final (Cr$) (Cr$) (^) (Cr$) (Cr$)
I 100.000 4.000 4.000 104. 2 104.000^ 4.000^ 8.000^ 108. 3 108.000 4.000 12.000 112. 4 112.000 4.000 16.000 116. 5 116.000 4.000 20.000 120. 6 120.000 4.000 24.000 124.
78 A taxa de juros é dita composta (ou exponencial)
quando o valor total dos juros é resultante da sua in- cidência sobre o capital inicial e também sobre o va- lor dos juros acumulados periodicamente. Assim, pa- ra o mesmo exemplo acima, teremos a seguinte solu- ção:
Montante = M = C (1 + l)n = 100.000,00 (1,04)6 = = 100.000,00 x 1,26532 = 126.532, J = M - C = 126.532,00 -100.000,00 = 26.532,
Os juros mensais e acumulados, bem como os sal- dos iniciais e finais de capital mais juros, são mostra- dos no quadro 2.
Quadro 2
Saldo inicial Juros (^) acumuladosJuros^ Saldo final N (Cr$)^ (Cr$)^ (Cr$) (Cr$)
I 100.000 4.000 4.000 104. 2 104.000 4.160 8.160 108. 3 108.160 4.326 12.486^ 112. 4 112.486 4.500 16.986 116. 5 116.986 4.679 21.665^ 121. 6 121.665 4.867 26.532 126.
Através dos exemplos podemos verificar que os ju- ros acumulados, e respectivos montantes de capital mais juros, crescem linearmente num regime de capi- talização simples e exponencialmente num regime de capitalização composta. O cálculo do primeiro, por
Revista de Administraçllo de Empresas
ser extremamente simplificado, continua sendo am- plamente utilizado no mercado, embora apresente distorções que se agravam em função do crescimento do prazo.
2.2 Classificação quanto ao valor do capital inicial tomado como base de cálculo
Na maior parte dos compêndios de matemática fi- nanceira, quer de autores nacionais ou estrangeiros, as taxas são classificadas como nominal ou efetiva em função da divisão de certo período (normalmente um ano), em subdivisões de períodos de capitalização (mensal, trimestral, semestral), segundo uma concei- tuação extremamente confusa e cuja dificuldade de entendimento pude comprovar ao longo da minha experiência como professor e como homem ligado ao mercado financeiro. Vejamos um exemplo típico: "Calcular a taxa efetiva anual de juros correspon- dente à taxa nominal de 10% ao ano, capitalizada mensalmente. "
A solução pretendida é a seguinte:
- Taxa mensal = i = taxa nominal anual = 0, n 12
= 0,008333, em que n representa o número de perío- dos de capitalização.
- Taxa equivalente anual = (1 + l)n - 1 (1,008333)12-1 = 0,10471 ou 10,471%
Se esse problema fosse "calcular a taxa efetiva anual de juros, correspondente à taxa no~inal de 10% ao ano, capitalizada trimestralmente", a solu- ção seria:
i = 0,10 = ° 025
4 '
taxa equivalente anual = (1,025)4 - 1 = 10,381%
Observa-se que, de acordo com os conceitos difun- didos, a solução do problema implica a utilização de cálculos feito segundo regimes distintos de capitaliza- ção, isto é, simples e composto. E, segundo nos pare- ce, a grande confusão reinante é, em boa parte, con- seqüência dessa mistura de regimes.
No mundo financeiro atual, em que somente faz sentido o raciocínio em termos de capitalização com- posta, a utilização da taxa nominal de juros, tal co- mo conceituada, é totalmente inadequada, visto as distorções que apresenta quando se consideram dife- rentes períodos de capitalização. Para ilustrar, va- mos admitir que um banco fixe em 60% ao ano a sua taxa nominal de juros, válida para qualquer plano de pagamento (mensal, trimestral, semestral ou anual) escolhido pelo cliente. Procedendo-se de acordo com o conceito corrente de taxa nominal e considerando que o banco calcula suas taxas efetivas com base no regime de capitalização composta, teremos o quadro
1979 por Cr$ 100.000,00 (valor de emissão) para ser resgatada por Cr$ 155.000,00 um ano depois, teve o seguinte rendimento real:
- Imposto de renda pago na fonte 55.000,00 = 4.950,
0,09 x
- Valor pago pelo título = 104.950,
100.000,00 + 4.950,
- Taxa bruta (nominal) = 155.000,00 - 1 = 55070 100.000,
- Taxa líquida (efetiva) = 155.000,00 __ 1 104.950,
= 47,689%
- Taxa real = -=--....:.+----=.;tax=:..:;a'----'-'ef:...;:e;..;;.ti'-v..::;a'---_- 1
ou seja, o aplicador teve um prejuízo de 28,6% em termos reais. E como numa transação financeira o prejuízo de uma das partes significa lucro para a ou- tra, o tomador de recursos seguramente teve um ren- dimento real nesse período.
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Finalmente, cabe observar que as três taxas men- cionadas podem ser coincidentes. Assim, se não hou- ver nenhum pagamento, recebimento ou retenção ex- tra, a taxa nominal é igual à efetiva. E, na hipótese de
inflação zero, a taxa real será igual à taxa efetiva.
3. TAXAS EQUIVALENTES E
PROPORCIONAIS
3.1 Taxas equivalentes
A conceituação de equivalência- de taxas estabelece que duas taxas, referentes a períodos distintos de ca- pitalização, são equivalentes quando produzem o mesmo montante, no final de um determinado tem- po, pela aplicação de um capital inicial de mesmo va- lor. Em outros termos, isso significa que se um capi-
tal C aplicado à taxa mensal im, durante 12 meses,
produz um montante M, e se esse mesmo capital C
aplicado a uma taxa anual ia, por prazo idêntico,
produz o mesmo montante M, diz-se que as taxas im
(mensal) e ia (anual) são equivalentes.
A partir dessa colocação, entendemos que o con- ceito de taxas equivalentes é válido para os dois regi- mes de capitalização existente, isto é, simples e com- posta. Assim, podemos afirmar que, num regime de capitalização simples, a taxa de juros de 2% ao mês equivale a 24% ao ano, e que 48% ao ano equivalem a 12% ao trimestre ou a 4% ao mês; já num regime de capitalização composta, 2% ao mês equivalem a 26,824070 ao ano, e 48% ao ano equivalem a 10,297% ao trimestre ou 3,321 % ao mês.
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Os diversos autores, e o mercado em geral, ao mencionarem taxas equivalentes, estão-se referindo implicitamente à capitalização composta.
3.2 Taxas proporcionais
O conceito de taxas proporcionais é utilizado somen- te para capitalização simples, no sentido de que o va"- lor dos juros é linearmente proporcional ao tempo. Assim, a taxa proporcional de 3% ao mês, para 10 meses, é de 30%; a de 12% ao ano, para três meses, é de 4%, e assim sucessivamente.
A proporcionalidade linear é uma característica da capitalização simples. Por isso, entendemos que o fa- to de "taxas proporcionais" serem apresentadas em destaque, como parte de um programa de matemáti- ca financeira, apenas confunde o aluno ou o leitor, que pensa tratar-se de mais um tipo de taxas de juros.
4. JUROS PAGOS ANTECIPADAMENTE
É muito comum, em determinadas operações de em- préstimo ou financiamento, a cobrança "antecipada de juros". A operação típica, e que é muito comum em nosso mercado, é a seguinte:
"Uma pessoa solicita um empréstimo de Cr$
10.000,00 a um capitalista, o qual cobra juros anteci-
pados de 4% ao mês. Sendo o prazo de seis meses, o capitalista desconta juros correspondentes a 24% do valor pedido, entregando ao solicitante um valor lí- quido de Cr$ 7 .600,00."
Efetivamente, do ponto de vista teórico, dizer que os juros são antecipados se constitui uma blasfêmia, visto que os mesmos somente existem em função de tempo decorrido. No caso do nosso exemplo, o valor efetivamente emprestado é de Cr$ 7 .600,00, e a taxa de juros, para o período de seis meses, é a calculada como segue:
Taxa efetiva de juros juros^ no período^ = capital inicial
2.400,00 = 0,31579 ou 31,579% 7.600,
A taxa mensal correspondente é de 5,263% (de acordo com o regime de capitalização simples) ou de 4,680% (de acordo com o regime de capitalização composta). Na verdade, todas as operações de des- conto bancário se enquadram dentro deste enfoque.
3. CONCLUSÃO
No campo da matemática financeira existem dois re- gimes distintos de capitalização, o simples e o com- posto, com características próprias bem definidas, e que não podem e não devem ser misturados. Assim, antes de falar-se em taxa nominal, efetiva ou real, é
fundamental que se defina qual o critério de capitali- zação considerado.
Segundo nosso entendimento, podemos ter taxas nominais, efetivas ou reais tanto no regime exponen- cial, como no linear, visto que o fator determinante é o capital inicial tomado como base de cálculo. Para maior clareza, vamos voltar ao segundo exemplo da- do no subitem 2.2.1, em que as taxas encontradas pa- ra o período de seis meses foram:
a) nominal: 50,000010; b) efetiva: 42,857%; c) real: 14,286%.
Admitindo-se o regime de capitalização simples te- remos as seguintes taxas, equivalentes mensais (den- tro do nosso conceito de taxas equivalentes):
- taxa nominal mensal 50,000%^ 8,333% 6
- taxa efetiva mensal 42,857%^ 7,143% 6
- taxa real mensal 14,286%^ = 2,381% 6
Se quisermos as taxas trimestrais respectivas, bas- tará dividirmos por 2 as taxas correspondentes ao pe- ríodo de seis meses.
Considerando-se agora um regime de capitalização composta, as taxas equivalentes mensais seriam obti- das como segue:
- taxa nominal mensal = (1,50)1/6 - 1 = 0, ou 6,991 %
- taxa efetiva mensal = (1,42857)1/6 - 1 = 0, OU 6,125%
- taxa real mensal = (1,14286)1/6 - 1 = 0, ou 2,251%
As taxas equivalentes trimestrais seriam obtidas da mesma forma, somente substituindo, na fórmula, o expoente 6 pelo 2.
Seguindo-se a mesma linha de raciocinio, tería- mos, no caso do primeiro exemplo do subitem 2.2.1, as seguintes taxas equivalentes mensais:
a) capitalização simples (linear):
= 37,5% = 3 125% 12 '
b) capitalização composta (exponencial):
- taxa nominal = (1,30)1/12 - 1 = 0,02210 ou 2,210%
- taxa efetiva = (1,375)1/12 - 1 2,689%
0,02689 ou
No mundo dos negocios, principalmente dentro das médias e grandes empresas, o regime de capitali- zação composta, por ser o correto, é o mais utilizado nos estudos que envolvem cálculos financeiros e eco- nômicos. No mercado de capitais brasileiro, mor- mente entre aplicadores e tomadores de dinheiro, pessoas físicas, o critério mais popular, por ser o mais prático, é da capitalização linear. Assim, no ca- so da aquisição de um título de renda fixa, com um ano de prazo e rendimento de 48% pago no venci- mento, o aplicador facilmente verifica que a taxa de rendimento mensal é de 4% (capitalização linear); mas esse mesmo aplicador certamente não seria ca- paz de calcular a taxa equivalente mensal segundo o critério de juros compostos (que no caso é de 3,321 %), visto que, além de conhecimento, o mesmo necessitaria de uma tabela específica ou de uma cal- culadora científica.
O grande inconveniente da capitalização simples é a distorção crescente que a taxa de juros apresenta, à medida que o prazo aumenta, se comparada com a taxa de juros composta, que, como já mencionamos, é a correta. Para maior clareza vamos analisar o qua- dro 4.
Quadro 4
Prazo Taxa^ no^ período^ Taxa^ mensal^ equivalente^ (OJo) (meses) (OJo) Exponencial Linear
6 21,655^ 3,321^ 3,609^ 81
12 48,000 3,321 4, 18 80,050 3,321^ 4, 24 119,040^ 3,321^ 4, 30 166,474^ 3,321^ 5, 36 224,179 3,321 6,
Os números do quadro falam por si. Em termos de capitalização composta, as taxas mensais equivalen- tes, relativas às taxas dos períodos considerados de 6 a 36 meses, são todas iguais, ou seja, de 3,321 %. Já as taxas mensais, calculadas de acordocom o regime de capitalização simples, crescem com o prazo, che- gando, no prazo de 36 meses, a ter um valor de quase duas vezes a taxa mensal exponencial. Essas distor- ções, que são relevantes, desaconselham totalmente a utilização do critério linear para prazos relativamente longos.
Se de um lado a utilização generalizada dos chama- dos juros simples, pelos leigos e semileigos, tem suas justificativas, a utilização de taxas de descontos nas operações com LTN, quer pelos especialistas do mer- cado, quer pelo Banco Central, não tem o menor sen- tido. De fato, a taxa de desconto é totalmente inade- quada como referência para se determinar a rentabi- lidade ou custo de qualquer operação financeira. Pa- ra exemplificar, vamos admitir que num determinado leilão de LTN os papéis de 91, 182 e 365 dias de prazo (que são os atualmente existentes) fossem adquiridos, ou subscritos, a uma taxa de desconto de 20% ao ano. As taxas efetivas de juros correspondentes a es-
Taxa de juros
