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Equação de Estado
Introdução
No capítulo anterior, foi apresentado um método para representação de redes elétricas. O método apresentado contém integrais de tensão e corrente, que foram resolvidas utilizando o método de integração trapezoidal, daí o seu nome. É possível descrever uma rede utilizando apenas equações diferenciais de primeira ordem, sem integrais. Esta representação mínima da rede elétrica em equações vetoriais diferenciais de primeira ordem é conhecida como equações de estado [11]. As variáveis deste conjunto de equações, chamadas variáveis de estado, são o conjunto mínimo de variáveis capaz de, junto com as fontes independentes, gerar qualquer variável do sistema, consequentemente, as que observamos, usualmente denominadas de saída. Há vantagens em representar a rede deste modo, já que existe na literatura [7,8,12], uma grande quantidade de conhecimento matemático para resolver este conjunto de equações que podem ser diretamente aplicadas na rede estudada. Esta representação pode ser naturalmente estendida para redes variantes no tempo e não-lineares, o que se verá mais à frente neste trabalho.
Escrevendo as equações de estado
3.2. Ordem de complexidade de uma rede
As equações de estado organizadas na forma matricial tem o aspecto geral para sistemas lineares e invariantes no tempo
𝑑𝐱 𝑡 𝑑𝑡 =^ 𝒜𝐱(𝑡)^ +^ ℬ𝐞(𝑡)^ (3.1)
e a equação do vetor de saídas 𝐰(𝑡)
𝐰 𝑡 = 𝒞𝐱 𝑡 + 𝒟𝐞(𝑡) (3.2)
onde 𝐱 𝑡 é o vetor de variáveis de estado, 𝐞(𝑡) o vetor de entradas e 𝐰(𝑡) o vetor de saídas. A ordem de complexidade da rede corresponde à dimensão do vetor de variáveis de estado e portanto, ao mínimo de informação que junto à do vetor de entradas permite alcançar qualquer variável da rede, como indicado na equação (3.2) do vetor de saídas. A ordem de complexidade corresponde ao número de pólos do sistema [5]. A ordem de complexidade de uma rede é igual ao número de condições iniciais independentes que podem ser especificadas na rede. Naturalmente, a ordem de complexidade não pode exceder o número de elementos armazenadores de energia da rede. Agora, se existe em uma rede um circuito contendo apenas capacitores e fontes independentes de tensão, ou circuito de capacitores, a lei de Kirchhoff dos circuitos diz que a soma das tensões neste circuito deve ser igual a zero, ou seja, a tensão inicial de um dos capacitores será função linear das tensões iniciais dos outros capacitores e das fontes independentes. O mesmo vale para um corte contendo apenas indutores e fontes independentes de corrente, ou corte de indutores. A lei de Kirchhoff dos nós pode ser estendida para cortes e diz que em um corte, a soma das correntes deve ser igual a zero. Sendo assim, a corrente inicial de um dos indutores será função das outras correntes do corte.
Semelhantemente, 𝑼 𝑸𝑙^ 𝒊 𝒊𝑡𝑙 = 𝒊𝑡 + 𝑸𝑙 𝒊𝑙 = 𝟎,
sabendo as correntes dos coelos, pode-se determinar todas as outras correntes. Logo, todos indutores devem ser colocados na coárvore. No caso de formulação da rede por equações de estado, considera-se as fontes independentes como elos separados e não mais acompanhados de um elemento, como foi necessário no método nodal. Como a tensão de uma fonte de tensão independente é previamente conhecida, também não se pode colocar esta fonte na coárvore, pois haveria a contradição de sua tensão independente ser determinada a partir das tensões de ramos da árvore. O mesmo vale para as correntes de fontes independentes de corrente. Não se pode colocá-las na árvore, pois suas correntes não poderiam ser determinadas a partir das correntes da coárvore. Em resumo, deve-se sempre colocar as fontes independentes de tensão na árvore e as fontes independentes de corrente na coárvore. Assumimos que não existam circuitos contendo apenas fontes de tensão independentes e capacitores, bem como cortes contendo apenas fontes de corrente independentes e indutores. Caso existam serão destruídos pela introdução de resistores virtuais (com valores apropriados a não alterar o comportamento do circuito em relação ao do original). Vamos agora à formulação das equações de estado. Para facilitar o entendimento, apresentaremos o procedimento junto com o desenvolvimento de um caso típico ilustrativo,
Formulação
Figura 3.1 - Rede linear
Dada a rede da Figura (3.1), escolhe-se uma árvore normal. No capítulo anterior, foi utilizada uma convenção, ao escrever as matrizes da rede, de primeiro numerar os ramos e depois os coelos. Então ao numerar os elos da rede, primeiro numera-se os elos que estarão na árvore e em seguida, os que estarão na coárvore. De forma a aumentar ainda mais a clareza do texto, vamos além e adotaremos a seguinte ordem para a numeração dos ramos e coelos:
Ramos fontes de tensão Ramos capacitores Ramos resistores Coelos resistores Coelos indutores Coelos fontes de corrente
A árvore selecionada deverá conter todas as fontes de tensão independentes e todos os capacitores. Todos os indutores e as fontes de corrente independentes estarão na coárvore. Logo, a árvore escolhida para a rede está representada na Figura (3.2), onde as linhas cheias representam os ramos e as linhas tracejadas representam os coelos.
C1 C2 L
R R
R
L
1 2 3
J
Em seguida, escreve-se as relações v-i das fontes e dos elementos reativos:
𝑖 1 = 𝐶 1 𝑑 𝑑𝑡𝑣^1
𝑖 2 = 𝐶 2 𝑑 𝑑𝑡𝑣^2
𝑣 6 = 𝐿 6 𝑑 𝑑𝑡𝑖^6
𝑣 7 = 𝐿 7 𝑑 𝑑𝑡𝑖^7
Substituindo as correntes de capacitores e as tensões de indutores de (3.7) em (3.6), tem-se:
𝐶 1 𝑑 𝑑𝑡𝑣^1 = −𝑖 4 − 𝑖 5 − 𝑖 6 + 𝑖 8
𝐶 2 𝑑 𝑑𝑡𝑣^2 = 𝑖 5 + 𝑖 6 − 𝑖 7
𝐿 6 𝑑 𝑑𝑡𝑖^6 = 𝑣 1 − 𝑣 2 − 𝑣 3
𝐿 7 𝑑 𝑑𝑡𝑖^7 = 𝑣 2
Devemos agora eliminar as correntes e tensões de resistores do lado direito de (3.8). Para isso, primeiro escrevemos as relações v-i dos elementos resistivos, utilizando a relação 𝑖 = 𝐺𝑣 para os ramos e a relação 𝑣 = 𝑅𝑖 para os coelos.
Substituindo (3.9) nas equações equivalentes de (3.6) e rearrumando os termos de modo que as correntes e tensões dos resistores fiquem do lado esquerdo das equações e as correntes de indutores, as tensões de capacitores e as tensões e correntes de fontes fiquem do lado direito tem-se:
𝐺 3 𝑣 3 − 𝑖 5 = 𝑖 6 𝑅 4 𝑖 4 = 𝑣 1 𝑅 5 𝑖 5 + 𝑣 3 = 𝑣 1 − 𝑣 2
Este sistema pode ser facilmente resolvido para 𝑣 3 , 𝑖 4 e 𝑖 5. Logo,
𝑣 3 = 𝑅 5 𝐺𝑣 31 + 1 − 𝑅 5 𝐺𝑣 32 + 1 + 𝑅 5 𝑅𝐺^53 𝑖 +^6
𝑖 4 = 𝑅𝑣^1
4 𝑖 5 = (^) 𝑅 5 𝐺𝐺^33 𝑣 +^1 1 − (^) 𝑅 5 𝐺𝐺^33 𝑣 +^2 1 − (^) 𝑅 5 𝐺𝑖 36 + 1
Finalmente, substituindo (3.11) em (3.8), tem-se:
𝐶 1 𝑑 𝑑𝑡𝑣^1 = 𝐺 4 + 𝑅 𝐺^3
5 𝐺 3 +^1
𝑣 1 + 𝑅 𝐺^3
5 𝐺 3 +^1
𝑣 2 − 𝑅𝑅^5 𝐺^3
5 𝐺 3 +^1
𝐶 2 𝑑 𝑑𝑡𝑣^2 = 𝑅 𝐺^3
5 𝐺 3 +^1
𝑣 1 − 𝑅 𝐺^3
5 𝐺 3 +^1
𝑣 2 + 𝑅𝑅^5 𝐺^3
5 𝐺 3 +^1
𝐿 6 𝑑 𝑑𝑡𝑖^6 = 𝑅𝑅^5 𝐺^3
5 𝐺 3 +^1
𝑣 1 − 𝑅𝑅^5 𝐺^3
5 𝐺 3 +^1
𝑣 2 − 𝑅 𝑅^5
5 𝐺 3 +^1
𝐿 7 𝑑 𝑑𝑡𝑖^7 = 𝑣 2
Reescrevendo (3.12) em forma matricial compacta, tem-se:
Formulação Sistemática das Equações de Estado
Nesta seção, apresentaremos uma formulação sistemática para as equações de estado. Consideraremos aqui que a ordem de complexidade da rede é igual ao número de elementos reativos, ou seja, não existem circuitos contendo apenas capacitores e fontes de tensão, nem cortes contendo apenas indutores e fontes de corrente. O primeiro passo é escolher uma árvore normal. Novamente aqui vamos utilizar uma numeração para os elos de forma a manter o texto mais claro e compacto. A ordem para a numeração dos elos será a mesma da seção anterior:
Ramos fontes de tensão Ramos capacitores Ramos resistores Coelos resistores Coelos indutores Coelos fontes de corrente
Como não existem circuitos de capacitores e cortes de indutores, todos os capacitores estarão na árvore e todos os indutores estarão na coárvore. Neste caso a matriz de corte pode ser escrita da forma:
onde cada linha de 𝑸𝑓 corresponde a um corte fundamental representado por um
ramo da árvore. Como foi visto no capitulo anterior, podemos separar a matriz de corte em duas partes, correspondentes aos ramos e coelos. Caso a numeração dos cortes seja igual à numeração escolhida para os ramos, teremos:
𝑸𝑓 = 𝑼^ 𝑸𝑙 (3.18)
Utilizando como base as equações de Kirchhoff das tensões para os circuitos e as equações de Kirchhoff das correntes para os cortes, pode-se escrever as equações de estado utilizando as seguintes relações [5]:
𝑑 𝑑𝑡 x^ =^ 𝒜x^ +^ ℬe^ (3.20) Onde x = v j𝐿𝑡𝐶𝑡
e = v i𝐽𝐸
𝒜 = 𝐂 0 − 1 𝐋^0 − 1 − 𝒢𝒴 −ℋ𝒵
ℬ = 𝐂 0 − 1 𝐋^0 − 1 − 𝒢𝒴 −ℋ𝒵
𝒴 = 𝑄𝐶𝑅 𝐑−^1 𝑄′𝐶𝑅
𝒵 = 𝑄′𝑅𝐿 𝐆−^1 𝑄𝑅𝐿
ℋ = −𝑄𝐶𝐿 + 𝑄𝐶𝑅 𝐑−^1 𝑄′ 𝑅𝑅 𝐑𝑡 𝑄𝑅𝐿
𝒢 = 𝑄′𝐶𝐿 − 𝑄′𝑅𝐿 𝐆−^1 𝑄𝑅𝑅 𝐆𝑙 𝑄′𝐶𝑅
𝒴 = 𝑄𝐶𝑅 𝐑−^1 𝑄′𝐸𝑅
𝒵 = 𝑄′𝑅𝐿 𝐆−^1 𝑄𝑅𝐽
ℋ = −𝑄𝐶𝐽 + 𝑄𝐶𝑅 𝐑−^1 𝑄′ 𝑅𝑅 𝐑𝑡 𝑄𝑅𝐽
𝒢 = 𝑄′𝐸𝐿 − 𝑄′𝑅𝐿 𝐆−^1 𝑄𝑅𝑅 𝐆𝑙 𝑄′𝐸𝑅
𝐑 = 𝐑𝑙 + 𝑄𝑅𝑅^ ′^ 𝐑𝑡 𝑄𝑅𝑅
𝐆 = 𝐆𝑡 + 𝑄𝑅𝑅 𝐆𝑙 𝑄𝑅𝑅^ ′^
onde 𝐂 é uma matriz diagonal cujos valores representam as capacitâncias dos ramos, na ordem. 𝐋 é a matriz das indutâncias, incluindo possíveis indutâncias
𝒜 =
− (^) 𝐶^11 𝐺 4 + (^) 𝑅 5 𝐺𝐺 33 + 1 𝐶^11 𝑅 5 𝐺^ 𝐺 33 + 1 − (^) 𝐶^11 𝑅 5 𝑅𝐺^53 𝐺 +^3 1 1 𝐶 2
𝐺 3 𝑅 5 𝐺 3 + 1 −^
1 𝐶 2
𝐺 3 𝑅 5 𝐺 3 + 1
𝑅 5 𝐺 3 𝑅 5 𝐺 3 + 1 −^
1 𝐶 2 1 𝐿 6
𝑅 5 𝐺 3 𝑅 5 𝐺 3 + 1 −^
1 𝐿 6
𝑅 5 𝐺 3 𝑅 5 𝐺 3 + 1 −^
1 𝐿 6
𝑅 5 𝑅 5 𝐺 3 + 1 0 (^0) 𝐿^170
Caso exemplo
Para exemplificar a técnica de simulação apresentada neste capítulo, foi feita novamente a simulação da rede da Figura (2.11). Os valores encontrados após a simulação encontram-se na Tabela (3.1), coincidindo com os já conhecidos.
Barra Tensão (^1) 𝑣 = 1 , 026 ∠ − 2 , 2 ° 2 𝑣 = 1 , 0258 ∠ 3 , 7474 ° 3 𝑣 = 1 , 0324 ∠ 2 , 005 ° 5 𝑣 = 0 , 99588 ∠ − 3 , 9836 ° 6 𝑣 = 1 , 0131 ∠ − 3 , 6974 ° (^8) 𝑣 = 1 , 0161 ∠ 0 , 7293 ° Tabela 3.1– Tensões nas barras
Figura 3.4– Rede do caso exemplo
Os valores das fontes encontram-se na Tabela (3.2). Comparando os resultados, comprova-se a validade da simulação. Na Figura (3.5) encontra-se o gráfico da tensão da barra 1 ao longo do tempo.
Fonte Valor I1 𝑗 = 18 , 0556 ∠ − 90 ° I2 𝑗 = 16 , 4 ∠ − 80 , 7 ° I3 𝑗 = 17 , 4915 ∠ − 85 , 3 ° Tabela 3.2 – Valores das fontes
j 0,0625^ j 0,
0,0085 j 0,072^ 0,0119 j 0,
0,
j 0,
0,01 j 0,088^ 0, j 0,
0,
j 0,
4
7
9
10
11
12
13
14
15
j 0,
-j 4,
-j 5,
-j 5, -j3 ,
-j 4,151^ -j 3,
0, j 0,
j 0,2707 (^) j 0,
0,683 (^) SWING 1,
I 1
I 2 I 3
Depois, foi apresentado um método para a formulação sistemática das equações de estado, utilizando a partição da matriz de corte fundamental. Finalmente, foi apresentado um caso exemplo, validando o método. No próximo capítulo, a formulação aqui apresentada será estendida para rede não-lineares.
