3- Calculo Numerico - Determinação de Raízes de equações - Método da Bissecção, Slides de Cálculo

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Cálculo Numérico

Engenharia - FTEC

Aula 3 Determinação de Raízes de equações Método da Bissecção

Raiz de uma equação

• Na sentença 2𝑥 − 4 = 0 qual o valor de x para que a igualdade seja verdadeira?

Raiz de Equação

 - − sin 𝑥 = 𝑥 

• →Para 𝑥 ∈ 0 ; 1 , 5 e Δ𝑥 = 0 , - Dx= 0. - 0 - x f - 0.1 -0. - 0.2 -0. - 0.3 -0. - 0.4 -0. - 0.5 -0. - 0.6 -0. - 0.7 -0. - 0.8 -0. - 0.9 -0. - 1 -0. - 1.1 0. - 1.2 0. - 1.3 0. - 1.4 1. - 1.5 1.
  • -1, - -
  • -0,
    • 0,
    • 1, - 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,

• Para Δ𝑥 = 0 , 1 a solução da equação está entre 1 e 1,1; 𝑥 ∗ =

Então 𝑒 1 , 05 − 𝑠𝑒𝑛 1 , 05 − 2 = − 0 , 0097721

Método da Bisseção

• A solução da equação é avaliada no meio da intervalo que satisfaz o Teorema de Bolzano;
• Vamos investigar a solução da equação 𝑥 − 3 2 − 2 cos 𝑥 − 2 = 0 no intervalo [1,2]. 𝑥 = 1 → 1 − 3 2 − 2 cos 1 − 2 = 2 , 9194 𝑥 = 2 → 2 − 3 2 − 2 cos 2 − 2 = − 1 Portanto, existe uma solução entre 1 e 2; 𝑥 ∗ = 1 + 2 2

2 − 2 cos 1 , 5 − 2 =0,

Existe uma solução entre 1,5 e 2 𝑥 ∗ = 1 , 5 + 2 2 = 1 , 75 → 1 , 75 − 3 2 − 2 cos 1 , 75 − 2 = − 0 , 4375 Existe uma solução entre 1,5 e 1, 𝑥 ∗ = 1 , 5 + 1 , 75 2 = 1 , 625 → 1 , 625 − 3 2 − 2 cos 1 , 625 − 2 = − 0 , 1093 Existe uma solução entre 1,5 e 1, … … … Excel: função SE SE(teste_logico; valor verdadeiro; valor Falso)

Critério de parada

• Cada zero depois da vírgula corresponde a um dígito em f(VM) correte na solução VM;
• Erro relativo: 𝑒 𝑟 = 𝑉𝑀𝑛+ 1 −𝑉𝑀𝑛 𝑉𝑀𝑛+ 1 × 100%
• Quanto maior o número de iteração menor será o erro lim 𝑛→∞ 𝑉𝑀 𝑛+ 1 − 𝑉𝑀 𝑛 𝑉𝑀 𝑛+ 1 = 0
• Aproxime a solução da equação 𝑥 − 3 2 − 2 cos 𝑥 − 2 = 0 no intervalo [3; 4] com quatro dígitos corretos. Determine o erro relativo.

Método da Bisseção

• Aproxime todas as soluções da equação 𝑒 𝑥 (^2) + 𝑥 2 − 3 = 0 com um erro de 0 ,01%; →Conclusão: Pelo método _______________ a solução aproximada da equação é _______ com um erro relativo de ______ com ____ iterações.

Problema

• Uma viga uniforme sujeita a uma carga distribuída de forma linear crescente. A equação para a curva elástica resultante é 𝑦 =

0 120 𝐸𝐼𝐿

5

• 2 𝐿 2 𝑥 3 − 𝐿 4 𝑥 Determine o ponto de deflexão máximo 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0. Assuma que 𝐿 = 600 𝑐𝑚, 𝐸 = 50000 𝑘𝑁/𝑐𝑚 2 , 𝐼 = 30000 𝑐𝑚 4 .