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Modelagem da casca cilíndrica
As cascas cilíndricas podem ser definidas como um corpo cuja distância de qualquer ponto interno deste corpo a uma superfície de referência (usualmente a superfície média da casca) é pequena se comparada com as dimensões que definem a superfície de referência. Assumindo que a espessura da casca é bem menor que as demais dimensões, as teorias de casca reduzem o problema tridimensional a um problema bidimensional. Para isso, descrevem-se os deslocamentos de um ponto qualquer da casca em função dos deslocamentos da superfície média. Há diversas teorias não-lineares na literatura para descrever os deslocamentos da casca cilíndrica, por exemplo, Donnell (1934), Donnell-Mushtari-Vlasov (Donnell, 1976), Koiter (1959) e Budiansky-Sanders (1963). Neste trabalho, as equações não-lineares de movimento são obtidas considerando o campo de deformações proposto na teoria não-linear de Donnell para cascas abatidas. Pela sua simplicidade e precisão essa teoria é a mais utilizada para o estudo de problemas não-lineares. A precisão da teoria não- linear de Donnell para cascas esbeltas, isto é com espessura h muito inferior ao raio R ( h << R ), é satisfeita para modos com um grande número de ondas circunferenciais n , onde a relação 1/ n^2 << 1 deve ser satisfeita. Para garantir uma boa precisão deve-se considerar n > 5. Nesta teoria, os principais termos não-lineares são obtidos, mas outros efeitos de segunda ordem, como a não-linearidade na mudança de curvatura, são negligenciados, pois se desconsideram as rotações em torno da normal à superfície média e os efeitos das deformações axiais e circunferenciais na rotação da tangente à superfície média são descartados.
Campo de deformações
Considera-se uma casca cilíndrica de raio R , espessura h e comprimento L , de material elástico linear com módulo de elasticidade E , coeficiente de
Poisson ν e densidade ρ. A geometria e o campo de deslocamentos estão
ilustrados na Figura 2.1.
Figura 2.1 – Geometria e campo de deslocamentos da casca cilíndrica.
As deformações específicas de um ponto da superfície média da casca, segundo a teoria não-linear de Donnell para cascas abatidas, são dadas por:
( )
θ^ (^ θ θ )
θ θ θ
, , , ,
,^2 , 2
, ,^2
u w w R
v
w R
v w R
u w
x x x
x x x
(2.1)
onde ε x , ε θ e γ x θ são as deformações específicas de um elemento da
superfície média e u , v e w são as componentes dos deslocamentos axiais, circunferenciais e radiais. As mudanças de curvatura, segundo a mesma teoria, são dadas por:
θ θ
θ θθ
x x
x xx
R^ w
w R
w
,
2 ,
,
(2.2)
Definem-se as deformações específicas de um ponto qualquer da casca, ( ε (^) x ,ε (^) θ ,γ x θ), localizado a uma distância z da superfície média, ( − h 2 ≤ z ≤ h 2 ),
por:
− − −
− − −
= = =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 h
h
x x
h
h
h
h
x x
h
h
x x
h
h
h
h
x x
M z dz M z dz M z dz
N dz N dz N dz
θ θ θ θ
θ θ θ θ
σ σ τ
σ σ τ (2.6)
onde Nx , N θ e Nx θ são os esforços de membrana e Mx , M θ e Mx θ são os esforços de flexão.
Funcionais de energia da casca cilíndrica
Para a formulação das equações não-lineares de movimento da casca cilíndrica, descrita na Figura 2.1, foi considerada que a mesma é perfeita, que suas extremidades estão simplesmente apoiadas, que há um fluido não-viscoso e incompressível em seu interior que gera uma a pressão hidrodinâmica ( PH ) sobre as paredes da casca e que ela está submetida a um carregamento axial periódico uniformemente distribuído ao longo da borda, P, e uma pressão lateral, p. A Figura 2.3 ilustra o carregamento atuante na casca cilíndrica.
P
p
PH
P
p
PH
Figura 2.3 – Representação do carregamento aplicado à casca.
As equações não-lineares de movimento são obtidas partindo dos funcionais de energia do sistema e, posteriormente, aplicando-se o princípio de Hamilton. A energia interna de deformação ( UI ) para uma casca cilíndrica pode ser escrita, em função das tensões e das deformações em um ponto qualquer ao longo da espessura da casca, da seguinte forma (Brush e Almroth, 1975):
U I = R 2 ∫ ∫ ∫ ( σ x ε x +σθεθ+τ x θγ x θ) dxd θ dz (2.7)
Substituindo as equações (2.1)-(2.5) em (2.7), observa-se que a energia interna de deformação é descrita como uma soma de duas parcelas de energias. Uma delas é a energia de membrana ( UB ) que reúne apenas os termos de deformação da superfície média casca e a outra é a energia de flexão ( UF ) que apresenta apenas os termos de mudança de curvatura da mesma superfície média. Após a substituição indicada, a parcela relativa à energia de deformação de membrana é dada por:
= ^ ε +ε + υε ε + −υγ θ
θ θ θ dxd
U KR
M x^22 x 2 x^2
(2.8)
sendo K = Eh ( 1 − υ^2 ) a rigidez de membrana. A parcela relativa à energia de
flexão é dada por:
U F = DR ∫∫ ( χ x^2 +χθ^2 + 2 υχ x χθ+ 2 ( 1 −υ)χ x^2 θ ) dxd θ
(2.9)
onde D = Eh^312 ( 1 − υ^2 )é a rigidez a flexão.
Para o carregamento considerado, Figura 2.3, o trabalho das forças externas ( VE ) é dado por:
V E =− R ∫ ∫ ( PH + p ) wdxd θ − P 2 R ∫ u , xd θ (2.10)
sendo a primeira parcela referente ao fluido interno e à pressão lateral aplicada e a segunda parcela à carga axial. A energia cinética para uma casca cilíndrica é definida como (Kraus, 1967):
T = ρ hR ∫∫ ( u^2 + v^2 + w^2 ) dxd θ
Neste trabalho não se considera a inércia relativa às velocidades axial ( u &^ ) e circunferencial ( v &^ ). Essa consideração não insere erros significativos, pois a vibração no sentido radial da casca é bem superior às demais. Por último, o trabalho das forças de dissipação ( RE ) é escrito da seguinte forma (Popov et al. 1998):
RE = β 1 R ∫∫ w^2 dxd θ β 2 R ∫∫ ( ∇^2 w )^2 dxd θ
O primeiro termo da equação (2.12) representa o amortecimento viscoso que considera a dissipação uniformemente distribuída entre os modos naturais
com um coeficiente β 1. O segundo termo segue o modelo de amortecimento de
Voigt que representa o amortecimento viscoelástico do material com um
coeficiente de amortecimento β 2. A combinação linear desses dois tipos de
( )
( )
,
Fx F x F
xF
F
xF x
E h
p PR R
w
Eh u P pR
θ θ
θ
θ
χ χ χ
γ
ε υ
ε υ
(2.17)
onde o índice F refere-se à configuração fundamental de equilíbrio. O efeito da pressão hidrostática é desprezado tendo por hipótese que sua magnitude é pequena quando comparada à pressão hidrodinâmica e à parcela constante da pressão lateral. Ao substituir o campo de deformação fundamental, equação (2.17), na equação (2.5), obtêm-se as tensões para o estado fundamental. Essas tensões fundamentais ao serem integradas, equações (2.6), fornecem as resultantes dos esforços de membrana e de flexão no estado fundamental de equilíbrio, a saber:
Fx Fx F x F
F
Fx
N M M M
N pR
N P
θ θ θ
θ (2.18)
Assim, as tensões resultantes de membrana e de flexão, bem como as componentes do campo de deslocamento, atuantes na casca cilíndrica em sua configuração final de deformação podem ser escritas da seguinte maneira (Brush e Almroth, 1975):
x Fx Ix x Fx x^ I
F I F I
x xF Ix x Fx xI
N N N M M M
N N N M M M
N N N M M M
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ = + = +
(2.19)
o índice I refere-se à configuração incremental de equilíbrio. Substituindo as equações (2.18) e (2.19) no sistema de equações (2.16), chega-se, finalmente, ao sistema de equações não-lineares de movimento a ser utilizado neste trabalho, a saber:
( ) ( ) 1 2 w 0
, , , x
, , , 2 1 2 4
, ,
, ,
+ − + + ^ −
θ θθ θ θ
θ θ θθθ
θ θθ
θθ
β β
Ix xx I Ix
I I H Ix^ xx x x
I I x x
I Ix xx
R N P w N p wR N
R
RM M M
R
phw w w P
R
N N
R
N N
(2.20)
onde^4 ,^22 , θθ 14 w , θθθθ R
w R
∇ w &^ = w & xxxx + & xx + & é o operador bi harmônico.
O problema proposto deve satisfazer:
- A condição de antimetria do campo de deslocamentos axiais: u ( L 2 , θ) = (^0) (2.21)
- A condição de continuidade dos deslocamentos circunferenciais: v ( x , 0 ) = v ( x , 2 π) (2.22) Além das seguintes condições de contorno:
- Deslocamentos circunferenciais nulos nas extremidades da casca: v ( 0 , θ ) = v ( L , θ) = (^0) (2.23)
- Deslocamentos radiais nulos nas bordas da casca: w ( 0 ,θ ) = w ( L , θ) = (^0) (2.24)
- Momento axial incremental nulo nas extremidades da casca: M (^) xI ( 0 , θ ) = MIx ( L , θ) = 0 (2.25)
- Esforço axial incremental nulo nas bordas da casca: N Ix ( 0 ,θ ) = NIx ( L , θ) = 0 (2.26) A condição de contorno (2.26) é escrita em termos dos deslocamentos da seguinte forma:
= 2 , ,^2 , ,^2
1 θ^ θ
υ υ
w R
v w R
N Ix Eh ux wx (2.27)
que constitui um condição de contorno não-linear. O sistema de equações não-lineares, (2.20), permite a análise dinâmica não-linear de cascas cilíndricas submetidas inicialmente a um estado de tensões iniciais. Esta análise pode ser feita tanto no domínio do tempo quanto no domínio da freqüência. Na literatura é comum substituírem-se os esforços de membrana da casca por uma função de tensão ( f ) que obedece às relações:
N Ix = f ,θθ N θ I = R^2 f , xx NIx θ=− Rf , x θ (2.28) A equação (2.28) atende as duas primeiras equações do sistema não- linear (2.20) e o reduz à seguinte equação:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( )
2 (^ )^ [^ (^1 ) ]^ (^13 )^0
2 , ,^2 , ,^2 , ,
(^2) , , , , , (^2) , , 2
, , , , , ,^4
, , , , , , ,^2 ,^2
02 , 1 0 ,^2404 ,
2 2
+ + − −^ =
− ^ − + + − − +
θθ ξ ξξ θ ξξ θθ
ξθ ξ θ ξξ ξ θθ θ
θθ ξξ θθ θ ξ θ ξ
ξθ θ ξ ξξ ξ θ θ ξ
ττ τ τ
W W W W W W p
W W W W W W W
W W W W V U W V U W
W U V W U V W W
h
W P
R
R (^) Eh h W W H
(2.34)
onde∇ 4 W = W ,ξξξξ + 2 W ,ξξθθ+ W , θθθθ.
