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2. Conceitos básicos da Mecânica da Fratura
No presente capítulo serão apresentadas algumas definições relacionadas à Mecânica da Fratura. Também serão definidos e discutidos conceitos como: ductilidade, tenacidade, estado de tensões e deformações, entre outros, os quais serão utilizados no desenvolvimento do trabalho.
2.1. Mecânica da Fratura
A Mecânica da Fratura trata do comportamento à fratura de componentes contendo defeitos ou trincas sob condições semelhantes às encontradas na prática. Os conceitos tradicionais de resistência dos materiais baseados em propriedades como resistência ao escoamento ou resistência à ruptura não levam em conta a tenacidade à fratura do material, a qual é definida pela mecânica da fratura como a propriedade que quantifica a resistência à propagação de uma trinca. Sob certas condições de serviço, um defeito, mesmo de dimensões muito pequenas, pode levar a falhas catastróficas. Tais defeitos são inevitáveis nas estruturas. Por mais controlada que seja a fabricação dos componentes, defeitos aparecem de formas variadas, adicionalmente àqueles inerentes ao próprio material. As dimensões críticas de defeitos, que dependendo da sua posição provocam rupturas catastróficas sob as condições de tensões, são determinadas em função da tenacidade do material.
Na Figura 2.1 o chamado triângulo da Mecânica da Fratura mostra como deve ser avaliada uma estrutura no tocante à fratura. Em um dos vértices estão as tensões atuantes no componente, obtidas através da análise estrutural executada a partir dos carregamentos a serem aplicados na estrutura. No segundo vértice aparecem as propriedades à fratura do material, obtidas experimentalmente. No ultimo vértice são considerados os defeitos existentes na estrutura. A partir do conhecimento destes três vértices, é possível avaliar a resistência do material à fratura e a força motriz de crescimento de trinca.
Propriedade
Tensão Tamanho defeito
Figura 2.1 – Triangulo da Mecânica da Fratura.
A Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE) resolve as limitações dos conceitos tradicionais de resistência dos materiais quanto à presença de descontinuidades tipo trinca em estruturas relativamente frágeis. A Mecânica da Fratura Elasto-Plástica (MFEP) estende a aplicação dos critérios da MFLE para materiais dúcteis, nos quais uma zona plástica de tamanho significativo em relação às dimensões da peça invalida as considerações de tensões elásticas na ponta da trinca controlando o processo de fratura. Na Figura 2.2 mostram-se as duas considerações.
Figura 2.2 – Limite de aplicação da MFLE[22].
Os principais objetivos da Mecânica da Fratura são: − Que tamanho de trinca pode ser tolerado para uma esperada carga de serviço? − Que tamanho pode ser permitido para uma falha preexistente no começo da vida útil de uma estrutura? − Com que frequência a estrutura deve ser inspecionada?
Figura 2.4 – Fratura Frágil[23].
2.1.2. Tenacidade à Fratura
Tenacidade é definida como a capacidade de um material de absorver energia até a ruptura. A tenacidade cresce com a área total sob a curva tensão vs. deformação, a qual é uma indicação da quantidade de trabalho por unidade de volume que pode ser realizado no material sem causar a fratura.
Na Mecânica da Fratura a tenacidade à fratura é definida como sendo a capacidade do material resistir à propagação de uma trinca, medida pelo trabalho necessário para fazê-la crescer, e.g. em J/m^2 [24]. A tenacidade também pode ser abordada sob os seguintes aspectos:
− Advertência : tolerância a trincas relativamente grandes e ocorrência de uma deformação apreciável através da propagação estável da trinca antes da fratura. Em materiais tenazes é possível detectar uma trinca com ultrasom, por exemplo, e evitar a fratura. Isto se deve ao fato de que em materiais tenazes a trinca possui um crescimento estável. − Crescimento estável da trinca : devido à capacidade do material tenaz de imobilizar a propagação da trinca, a região em torno da ponta da trinca terá uma intensa deformação plástica. Pode-se concluir então que a ruptura de materiais tenazes inclui uma fase de crescimento estável de trinca, que tende a evitar falhas catastróficas. − Estado e tipo de material : para um material tenaz em estado irradiado ou em baixa temperatura, a tensão normal crítica praticamente não é alterada, mas a
tensão crítica de cisalhamento é aumentada. Isto significa que a resistência do material pode ser maior, mas ocorre uma variação do comportamento do material no sentido de tenaz para frágil. Tal fragilização é devida a mudanças estruturais no material, baixas temperaturas ou altas velocidades de aplicação de carga. − Estado de tensões : um material pode mudar completamente seu comportamento à fratura mediante o estado de tensões que lhe é aplicado. Na Figura 2.5 é mostrado um estado de tração pura. Observa-se que a adição de uma segunda tensão σ 2 (parte b) não altera a tensão máxima de cisalhamento, o que significa que a resistência do material à deformação fica inalterada. A adição de uma terceira tensão de tração σ 3 implica em uma diminuição de τmax(parte c) e eventualmente, se σ 1 = σ 2 = σ 3 (estado hidrostático de tensões) os círculos de
Mohr confundem-se em um ponto e τmax é nulo. Neste caso não ocorreria nenhuma deformação plástica. Isto implica em dizer “fragilização por tensões”. A diminuição do nível das tensões cisalhantes leva a um decréscimo considerável na tenacidade do material, uma vez que a deformação plástica é produzida por estas tensões cisalhantes. Assim, a fratura frágil está associada com tensões triaxiais desenvolvidas em um entalhe ou concentrador de tensões. A fragilização devido a um estado triaxial de tensões é mostrada na Figura 2.6.
2.2.Mecânica da Linear Elástica (MFLE)
De uma forma geral, a Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE) avalia os mecanismos de fratura dos materiais frágeis ou quase-frágeis, através dos conceitos da teoria da elasticidade linear. Embora todo corpo trincado sob carga apresente uma região sujeita à deformação plástica na ponta da trinca, pode-se sob certas condições negligenciar a existência desta zona plástica e estudar o fenômeno do fraturamento pela teoria da MFLE. Tais condições que viabilizam a aplicação da MFLE referem-se aos casos em que o volume de deformação plástica é pequeno quando comparado às dimensões da peça.
τC σC
Uniaxial Triaxial
Figura 2.6 – Fragilização por estado triaxial de tensões[24].
2.2.1. Fator de concentração de tensões (Kt)
As trincas são entalhes afiados cujo raio da ponta ρ → 0, muito comuns em estruturas, nas quais elas podem ser geradas durante a fabricação do material, na fabricação ou na montagem da peça, por dano ou por características operacionais [22]. Analisando uma placa infinita com um furo elíptico, como mostrado na Figura 2.7, Charles Edward Inglis demonstrou que o fator de concentração de tensões cresce à medida que o raio ρ da ponta do entalhe diminui e que a maior tensão que atua na borda do furo elíptico é dada por:
t^ max n
K = σ^ =1+2 a^ =1+2 a σ b ρ (2.1)
onde σmáx é a tensão máxima na extremidade do eixo maior da elipse.
2b
y
x
2a
ρ ρ
σn
σn
Figura 2.7 – A placa de Inglis[28].
O fator de concentração de tensões Kt quantifica o efeito da geometria do entalhe nas tensões lineares elásticas que atuam na sua ponta. Em uma primeira análise, significa que os entalhes, se presentes, devem ser mantidos com o menor tamanho possível e que, quanto maior o raio de curvatura, menor a severidade
relativa da concentração de tensões. Como Kt cresce com 1 ρ^ , as trincas ideais
(de raio ρ → 0) teriam Kt → ∞, logo gerariam tensões lineares elásticas singulares nas suas pontas. Desta forma, a análise de tensões tradicional não pode prever bem o efeito das tensões na ponta das trincas, as quais seriam sempre singulares para qualquer tensão nominal não nula, e assim não poderiam ser comparadas à resistência dos materiais. Logo o efeito estrutural das trincas deve ser tratado por uma mecânica própria como a chamada Mecânica da Fratura [22].
2.2.2.Balanço de energia de Griffith
Em 1920, Griffith desenvolveu a primeira análise bem sucedida do comportamento à fratura de componentes trincados. Griffith realizou experiências em vidro, assumindo que a fratura ocorre em um material frágil ideal, com uma trinca de tamanho 2a no interior de uma placa.
Segundo Griffith, em materiais idealmente frágeis, a trinca se propagaria de maneira instável caso a energia de deformação liberada fosse maior que a energia requerida para formar uma nova superfície de trinca, quando a trinca avançasse de um comprimento infinitesimal. Considerando uma placa infinita, com uma trinca de comprimento 2a sujeita a uma tensão uniforme aplicada no infinito, o balanço energético de Griffith para um incremento de área de trinca dA, sob condições de equilíbrio, pode ser expresso como:
dE (^) T (^) = dEP (^) + dW s = dA dA dA (2.2)
ET é a energia total do sistema, EP é a energia potencial na placa e Ws é a energia de formação das superfícies da trinca. Griffith, usando a análise desenvolvida por Inglis, mostrou que
taxa de liberação da energia potencial armazenada no sistema por unidade de área de trinca. G é obtida da derivada do potencial total e é dada por:
G= -^ dEdAp (2.8)
Para a placa infinita da seção anterior, a taxa de liberação é dada por:
G= πσ 2 a
Para um valor crítico de (^) G = c 2Wf. G é uma propriedade do material.
2.2.4.Fator de intensidade de tensões (K)
O campo de tensões em torno da ponta da trinca para o modo I (abertura) de carregamento.Considerando os eixos de coordenadas polares como a origem na ponta da trinca, vide Figura 2.8, e assegurando um corpo trincado com características linear-elásticas, pode-se mostrar que o campo de tensões em torno da trinca é dado por:
σ (^) ij = k f (^) ij ( θ)
r
θ
w
x
y
a
r
σ y τxyσ^ x
Figura 2.8 – Campo de tensões em torno da ponta da trinca.
onde σ ij^ é o tensor de tensões, k é uma constante e fij^ é uma função adimensional
de θ. Os termos de ordem mais elevada dependem da geometria, mas a solução
para uma configuração específica contém um termo que é proporcional a 1 r.
Assim, quando r → 0, a equação gera tensões singulares na ponta da trinca.
Quando r → 0, o termo 1 r → ∞ e os demais termos permanecem finitos ou
próximos de zero, As tensões em torno da trinca variam com 1 r , independente
da configuração tratada. Cada modo de carregamento produz uma singularidade
1 r na ponta da trinca. Desta maneira, as constantes k e fij dependem do modo
de carregamento. É definido então o fator de intensidade de tensão K, onde
K = k 2 π. O fator de intensidade de tensão depende dos modos de
carregamento. Define-se KI como o fator de intensidade de tensão em modo I. Então, o campo de tensões à frente da ponta da trinca será descrito como:
σy = K^ I cos θ^ 1+sen θ^ sen^3 θ 2 πr^2 2
σx = K^ I cos θ^ 1-sen θ^ sen^3 θ 2 πr^2 2
τxy = K^ I^ cos θ^ sen θ^ cos^3 θ 2 πr 2 2 2 (2.13)
A espessura do CP definirá o estado de tensões na ponta da trinca. Se a
chapa é fina, tal que a tensão na direção da espessura seja nula, isto é, σ (^) z=0 , tem-
se um estado plano de tensão. Se a chapa tem uma espessura considerável, em que a tensão transversal não é desprezível, haverá uma restrição à deformação ao longo da espessura. No limite, tem-se a condição de estado plano de deformação:
σz =ν σ ( x +σ y) (2.14)
Na Figura 2.9 mostra-se um esquema de σy, onde são representadas as tensões normais ao plano de trincas vs. a distância da ponta da trinca. As equações
2 y^ I ys
=^1 K
r (^) 2 π σ
Na Figura 2.10 nota-se que a aproximação da zona plástica não é muito exata, pela desconsideração da distribuição de tensões acima de σys. O próprio Irwin sugeriu, que dada a plasticidade na ponta, que a trinca se comporta como se fosse mais profunda, tendo um comprimento efetivo aef. Assim, uma nova avaliação foi realizada considerando um tamanho efetivo da trinca dado por :
a ef =a+δ (2.17)
onde a é o comprimento real e δ é uma correção da zona plástica. Deste modo, o tamanho real da zona plástica rp passa a ser:
r =r + p y δ (2.18)
trinca
rp^ r
σys
σy
Figura 2.10 – Tamanho da zona plástica de Irwin[28].
A redistribuição das tensões que estavam acima de σys é representada pela
correção δ. A Figura 2.11 mostra esta nova estimativa.
r
σy
σys
a^ aef ry (^) rpδ
Figura 2.11 – Segunda estimativa da zona plástica de Irwin[28].
Partindo das igualdades das áreas A e B , da Figura 2.11, temos (numa
segunda estimativa) :
δ=r y (2.19)
Portanto, rp = 2ry. Assim, o tamanho da zona plástica na segunda estimativa é o dobro do tamanho encontrado pela primeira. Portanto, substituindo-se “a” por (a + ry) nas equações dos campos de tensões, tem-se um ajuste necessário para considerar a plasticidade na ponta da trinca em condições de escoamento, numa pequena escala [29].
Dugdale & Barenblatt propuseram um outro modelo para o tamanho da zona plástica. Através de seus estudos conclui-se que toda a deformação plástica ocorre numa faixa à frente da trinca. A zona plástica é introduzida novamente a partir de um tamanho de trinca efetivo dado por [29]:
a ef =a+ρ (2.20)
onde ρ é o comprimento da zona plástica, onde atua uma tensão igual ao limite de escoamento σys, sendo aplicada nas duas pontas da trinca, tendendo a fechá-la. Esse modelo é mostrado na Figura 2.12.
2.2.6. Restrição à deformação plástica
À frente da ponta de uma trinca existe uma restrição à deformação plástica, que aumenta com o aumento da espessura do espécime. Essa restrição pode ser descrita como uma inibição do escoamento devido ao estado triaxial de tensões que lá atua. O grau de inibição é diretamente relacionado ao grau de triaxialidade, isto é, a quanto as tensões σx e σz aproximam-se do valor da tensão σy. Se as três tensões de referencia forem iguais, teremos a restrição absoluta, de modo que não haverá escoamento. Essa condição não é atingida porque o sistema de tensões resulta em um valor maior para σy, e por isso o escoamento flui na direção de carregamento.
Na Figura 2.14 é mostrado que a introdução de um entalhe causa uma elevação de escoamento devido à triaxialidade de tensões e na Figura 2.15 mostr- se o efeito do aumento da espessura, que causa um aumento de triaxialidade devido a um aumento nas tensões de reação na direção z. Pode-se dizer, então, que um aumento no tamanho da frente da trinca causa um aumento na restrição ao escoamento plástico [30].
σ y
σ y
σ y
Deformação σ^ y
Tensão
Escoamento livre
Elevação dacurva de escoamento
Restrito
Tensão deReação
Plástico
Elástico
Deformação
σ y σ z σ^ x
Barra Lisa
ESCOAMENTOLIVRE
Barra Entalhada
ESCOAMENTORESTRITO
Figura 2.14 – Origem do efeito da restrição plástica[30].
σ z
σ x
σ y
σ y σ x σ z
Tensão
Deformação
σ y σ x σ z
Restrição (aumento de t)
Deformação y Contração z
Elevação das curvas de escoamento
Baixo
Alto
Figura 2.15 – Condições de restrição em trincas[30].
Um modelo mais generalizado de defeitos de tamanho de frente de trinca para trincas vazantes é apresentado na Figura 2.16.
Tensão
Deformação
t grande
max.
max.^ t pequeno
Maior restrição devido ao aumento no tamanho da trinca
max.
max. Grande seção Pequena seção
Tamanho de trinca
Restrição
Figura 2.16 – Capacidade máxima de restrição para uma trinca[30].
É indicado que existe um aumento no nível da curva de escoamento (e portanto restrição) até um nível limite que representa a capacidade máxima de restrição de uma trinca. Esse limite é atingido quando as dimensões da trinca são aproximadamente duas vezes a espessura da peça. Isso explica o uso de CPs com trincas profundas, já que estes são projetados para medir a resistência de um material, com uma determinada espessura, à propagação de uma trinca, sob condições de máxima restrição. A razão é que o grau mínimo de comportamento dúctil que pode ser obtido para um material é aquele relacionado com a máxima
2.2.7. O Parâmetro KIc
Considerando que a falha de um material está associada a uma combinação de tensões e deformações, pode-se esperar que a propagação da trinca ocorra quando K atingir ou exceder um valor crítico.
Em condições de estado plano de tensão, este valor crítico recebe a denominação de Kc. Ele corresponde ao valor máximo do fator de intensidade de tensão, em função da espessura do material. Na medida em que se aumenta a espessura do material, atinge-se o estado plano de deformação, e o valor de Kc torna-se constante. Nesse ponto, o valor de Kc pode ser considerado uma propriedade do material. Como os testes estão relacionados ao modo I, o valor crítico de Kc denomina-se KIc. Assim, KIc representa a resistência inerente do material à falha, na presença de uma trinca. Na Figura 2.18 é mostrada a relação entre Kc e a espessura do material.
Espessura
Kc
KIc
t=2.5 (K σσσσ Icys )
2
Tensão Plana Deformação Plana
Figura 2.18 – Relação KI vs. espessura – Adaptado de [31].
Por definição, KI e KIc referem-se à condição de deformação plana. Como o estado de tensões influencia as condições de escoamento, esse efeito de tamanho está intimamente relacionado com as restrições de plasticidade já mencionadas. A MFLE se aplica às trincas ideais com uma ponta de raio nulo. Isso significa que todos os defeitos possíveis no componente são tratados como trincas agudas.
Além disso, possuir uma trinca aguda é um dos requisitos para um CP ser adequado para determinação de KIc. Outra limitação provém da consideração de comportamento linear elástico das tensões, inclusive na região em torno da ponta da trinca. Dessa forma, a análise de tensões é precisa na medida em que a zona plástica permanece pequena e é circundada por uma grande região elástica. De acordo com a norma ASTM E1820 [3], a determinação de KIc deve obedecer aos seguintes critérios:
2 Ic ys
a,B,(W-a) 2,5 K σ
≥ ^
onde B é a espessura do material, a é o tamanho da trinca e (W − a) é o ligamento do CP. Assegura-se através dessa equação que o tamanho da zona plástica deva ser menor ou igual a 1/50 vezes as dimensões dos corpos de prova. Procura-se assim garantir a condição de deformação plana e, conseqüentemente, um valor de KIc independente da espessura.
2.3. Mecânica da Fratura Elasto-Plástica (MFEP)
Na prática, em um número bastante grande de aplicações, os conceitos da MFLE não podem ser aplicados, devido ao comportamento elastoplástico dos materiais usados. A MFLE tem resultados satisfatórios e coerentes quando a deformação não linear de um material é confinada em uma pequena região plástica em torno da ponta da trinca. Entretanto, quando esta região torna-se significativa em relação à espessura do corpo, a MFLE não deve ser aplicada. Para esse caso, deve-se considerar a Mecânica da Fratura Elasto-plástica (MFEP), que reconhece o comportamento não linear do material. A Figura 2.19 mostra um esquema da aplicação da Mecânica da Fratura em diversos casos considerando o tamanho da zona plástica.
