2- Calculo Numerico - Aproximação Linear e polinomio de Taylor, Slides de Cálculo

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Cálculo Numérico

Engenharia - FTEC

Aula 2 Aproximação Linear e Polinômio de Taylor

Aproximação Linear

• Obter a aproximação linear para a função 𝑦 = 𝑥 + 3 em 𝑥 0

Aproximação Linear

• 𝑃𝑆 = Δ𝑥 = 𝑒𝑥.
• 𝑆𝑄 ≈ 𝑆𝑅 = 𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥 0 = Δ𝑦
• Equação da Reta Tangente 𝑦 = 𝑓 𝑥 0 + 𝑓 ′ 𝑥 0 𝑥 − 𝑥 0 𝑒𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑒𝑥

Aproximação Linear

A medida do raio de uma circunferência é de 10 cm com erro de +0,01cm, qual a medida de erro esperado para a área dessa circunferência?

Aproximação Linear

Aproximação Linear – duas variáveis

• Para uma 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), na vizinhança do ponto (𝑥, 𝑦) a superfície é aproximada pelo plano tangente. Seguindo a mesma lógica, o erro absoluto da variável z, 𝑒 𝑎𝑧 , é determinado por: 𝑒 𝑎𝑧

𝑎𝑥

𝑎𝑦

Aproximação Linear – duas variáveis

• Considere um triângulo retângulo onde a hipotenusa mede 𝑥 = 3 ± 0 , 01 e um cateto mede 𝑦 = 2 ± 0 , 01. Determine o erro absoluto na determinação a medida do outro cateto

Polinômio de Taylor

• A função 𝑦 = 𝑒 𝑥 em 𝑥 0

0 tem por aproximação linear 𝑦 = 1 + 𝑥 e por aproximação quadrática 𝑦 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 2

→ Compare o valore de 𝑒 0 , 1 pelas aproximações linear, quadrática e a calculadora.

Polinômio de Taylor para 𝑥

= 0

Polinômio de Taylor

• Para a função cos(𝑥) escrever os polinômios de 4°, 6° e 8° graus para 𝑥 0 = 0.

Polinômio de Taylor

• Escreva um polinômio para sin 3 𝑥 2 com cinco parcelas.
• Determine uma aproximação para න 0 1 sin( 3 𝑥 2 ) 𝑑𝑥