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1 a^ Lista de Matemática- Trigonometria- 2 o^ Mecânica
Thiago Grando
10 de fevereiro de 2017
- (ITA 1992 ) A equação da reta bissetriz do ângulo agudo que a reta y = mx, m > 0 , forma com o eixo dos x é:
R: y = −1 +^
1 + m^2 m
x.
- (ITA 1992 ) Sabendo-se que x e y são ângulos do primeiro quadrante tais que cos(x) =^56 e
cos(y) =^4 5
. Sendo α = x − y e T =
1 − tg^2 (α) 1 + tg^2 (α)
- sen^2 (α), determine em qual quadrante α pertence e o valor de T.
R: α está no 4 o^ quadrante e T =^23 +
- (ITA 1992 ) Seja α =^1 2 . log 2 log 2 − log 3 . Determine o conjunto solução da desigualdade
2 senx^ ≤
)α no intervalo [0, 2 π).
R:
[
π 6
]
[
5 π 6 ,^2 π
- (ITA 1993 ) Num triângulo ABC que é retângulo em A, seja D a projeção de A sobre BC. Sabendo-se que o segmento BD mede ` cm e que o ângulo DÂC mede θ graus, quanto vale a área do triângulo ABC?
R: a área vale `
2 2
sec^2 (θ) tg(θ) cm^2.
- (ITA 1993 ) Determine o conjunto solução da equação sen(5x) = cos(3x).
R: S =
{ (^) π 4 + 2kπ, k^ ∈^ Z
- (ITA 1993 ) A diagonal menor de um paralelogramo divide um dos ângulos internos em dois outros, um α e outro 2 α. Qual a razão entre o lado menor e o lado maior do paralelogramo? R: (^) 2 cos(^1 α).
- (ITA 1994 ) Um triângulo ABC, retângulo em A, possui área S. Se x = A BCˆ e r é o raio da circunferência circunscrita a este triângulo, quanto vale S? R: S = r^2 sen(2x).
- (ITA 1994 ) Seja x ∈
]
0 , π 2
[
tal que x 6 = π 4. Mostre que
1 (cos^2 (x) − sen^2 (x))^2
− 4 tg(x) (1 − tg^2 (x))^2
- (ITA 1995 ) Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo θ ∈
0 , π 4
, atinge a torre a uma altura h. Se o segundo, disparado sob um ângulo 2 θ, atinge-a a uma altura H, qual a relação entre h e H?
R: H = 2 hd
2 d^2 − h^2.
- (ITA 1995 ) Sendo 0 < θ < π, mostre que (^) 1 + cos(sen(θ)θ) = tg
θ 2
- (ITA 1995 ) Considere C uma circunferência centrada em O e raio 2 r, e t a reta tangente a C num ponto T. Considere também A um ponto de C tal que A OTˆ = θ é um ângulo agudo. Sendo B o ponto de t tal que o segmento AB é paralelo ao segmento OT , qual a área do trapézio OABT? R: r^2 (4 sen(θ) − sen(2θ)) u.a.
- (ITA 1995 ) Seja a função f : R → R definida por
f (x) =
a
x + π 2
se x < π π^2 2 −^
a x sen(x)^ se^ x^ ≥^
π 2 ,
onde a > 0 é uma constante. Considere K = {y ∈ R : f (y) = 0}. Qual o valor de a, sabendo- se que f
( (^) π 2
∈ K?
R: a = π 22
- (ITA 1995 ) Seja A =
(−1)n n
n!π 6
: n ∈ N
. Qual conjunto abaixo é tal que sua intersecção com A dá o próprio A? a) (−∞, −2] ∪ [2, ∞) b) (−∞, −2] c) [− 2 , 2] d) [− 2 , 0] e) [0, 2) R: c
- (ITA 1996 ) Seja α ∈
[
0 , π 2
]
, tal que sen(α) + cos(α) = m. Mostre que
sen(2α) sen^3 (α) + cos^3 (α) =
2(m^2 − 1) m(3 − m^2 ) .
- (ITA 1996 ) Seja α um número real tal que α > 2(1+
- e considere a equação x^2 −αx+α+1 =
Sabendo que as raízes reais dessa equação são as cotangentes de dois dos ângulos internos de um triângulo, quanto vale o terceiro ângulo interno desse triângulo? R: 135 o.
(ITA 1996 ) Seja a ∈
[
−π 4
, π 4
]
um número real dado. A solução (x 0 , y 0 ) do sistema de equações { ( sen(a))x − (cos(a))y = − tg(a) (cos(a))x − ( sen(a))y = − 1
- (ITA 2000 ) Num triângulo retângulo ABC, o lado oposto ao ângulo Aˆ mede 5 cm. Sabendo
que Aˆ = arccos^3 5
e Cˆ = arcsin √^2 5
, calcule a área do triângulo ABC.
R: 252 cm^2.
- (ITA 2000 ) Sabe-se que x é um número real pertencente ao intervalo ]0, 2 π[ e que o triplo de sua secante, somado ao dobro da sua tangente, é igual a 3. Quanto vale cos(x)?
R:
- (ITA 2000 ) Considere f : R −→ R definida por f (x) = 2 sen(3x) − cos
x − π 2
. Sobre f podemos afirmar que: a) é uma função par. b) é uma função ímpar e pariódica de período fundamental 4 π. c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 43 π. d) é uma função periódica de período fundamental 2 π. e) não é par, não é ímpar e não é periódica.
- (ITA 2001 ) Considere as funções f (x) = 5 + 7
x 4
, g(x) =^5 −^7
x 4
e h(x) = arctan(x). Se a é tal que h(f (a)) + h(g(a)) =
π 4 , então quanto vale^ f^ (a)^ −^ g(a)? R:
- (ITA 2001 ) Sendo α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que sen^2 (2β)− 2 cos(2β) = 0, quanto vale sen(α)?
R:
- (ITA 2001 ) O número complexo z =
1 − cos(a) sen(a). cos(a) +^ i^
1 − 2 cos(a) + 2 sen(a) sen(2a) ,^ a^ ∈
[
π 2
]
tem
argumento π 4
. Quanto vale a?
R:
π
(ITA 2002 ) Se x, y e z são ângulos internos de um triângulo ABC e sen(x) = sen(y) +^ sen(z) cos(y) + cos(z)
mostre que o triângulo ABC é retângulo.
- (ITA 2002 ) O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado medindo
π cm, cujo ângulo oposto é de 15 o. Determine o comprimento da circunferência em cm. R: 20
3)cm.
- (ITA 2002 ) Seja f : R → P(R) dada por f (x) = {y ∈ R : sen(y) < x} e A é tal que f (A) = R. Determine o conjunto A. R: A = [t, ∞), t > 1.
- (ITA 2003 ) Encontre os valores de a ∈
]
− π 2
, π 2
[
para os quais a equação na variável real x,
arctan
2 − 1 + e
x 2
2 − 1 − e
x 2
= a,
admite solução. R:
]
π 4
[
- (ITA[ 2003 ) Considere os contradomínios das funções arco-seno e arco-cosseno como sendo − π 2
, π 2
]
e [0, π], respectivamente. Com respeito a função
f : [− 1 , 1] →
[
π 2 ,^
3 π 2
]
, f (x) = arcsin(x) + arccos(x),
temos que: a) f é não-crescente e ímpar. b) f não é par nem ímpar. c) f é sobrejetora. d) f é injetora. e) f é constante. R: e.
- (ITA 2003 ) Para todo x ∈ R, determine o valor da expressão [cos(2x)]^2 [ sen(2x)]^2 sen(x).
R: 2 −^4 [2 sen(x) + sen(7x) − sen(9x)].
- (ITA 2004 ) Prove que, se os ângulos internos α, β e γ de um triângulo satisfazem a equação sen(3α) + sen(3β) + sen(3γ) = 0, então, pelo menos, um dos três ângulos α, β ou γ é igual a 60 o.
- (ITA 2004 ) Determine o conjunto de todos os valores α, α ∈
]
π 2 ,
π 2
[
, tais que as soluções da equação(em x), x^4 − 4
48 x^2 + tg(α) = 0 são todas reais. R:
[
π 3
]
- (ITA 2004 ) Considerando as funções arcsin : [− 1 , 1] →
[
− π 2
, π 2
]
e arccos : [− 1 , 1] → [0, π],
determine o valor de cos
arcsin
R: 7
- (ITA 2005 ) Obtenha todos os pares (x, y), com x, y ∈ [0, 2 π], tais que
sen(x + y) + sen(x − y) =
sen(x) + cos(y) = 1
R: S =
π 6
, π 3
π 6
, 5 π 3
5 π 6
, π 3
5 π 6
, 5 π 3
- (ITA 2005 )Determine o intervalo I ⊂ R que contém todas as soluções da inequação
arctan
1 + x 2
1 − x 2
≥ π 6
- (ITA 2005 ) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a medida geométrica das medidas dos catetos. Qual o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo?
R:
