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10- Momentos de Inércia
Momento de inércia de área: medida da resistência à flexão de uma viga. Momento de inércia de massa: medida da inércia (resistência) ao movimento de rotação de um corpo sólido.
10.1- Definição de Momentos de Inércia de Área
Considere uma figura plana de área A e um sistema de eixos ortogonais com origem em O:
Figura 10. 1
Momento de inércia de área em relação ao eixo x: (Equação 10.1)
Momento de inércia de área em relação ao eixo y: (Equação 10.2)
Momento polar de inércia: (Equação 10.3)
Observe que os três, são sempre positivos.
10.2- Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área.
Considere uma figura plana de área A e dois sistemas de eixos ortogonais paralelos entre si, um centrado no centróide da figura e outro num ponto O qualquer:
Figura 10. 2
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(Equação 10.4) Analogamente: (Equação 10.5)
Somando (1) e (2) obtém-se o momento de inércia polar em relação a O. (Equação 10.6) De (1), (2) e (3) observam-se que o menor momento de inércia ocorre quando os eixos x, y ou o ponto O coincidem com o centróide da figura. Situação de mínima inércia de área.
10.3- Raio de Giração de Uma Área.
Define-se o raio de giração de forma genérica como:
(Equação 10.7)
Assim:
; ;
10.4- Momentos de Inércia de uma Área por Integração.
Exemplos 10.1 – 10.4, páginas 425 – 429.
10.5- Momentos de Inércia de Áreas Compostas.
Propriedades da adição: Considere uma figura plana formada por “n” partes.
Figura 10. 3
Por definição: (Equação 10.8)
Analogamente: (Equação 10.9) (Equação 10.10)
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Propriedade de Simetria: Se uma figura tem ao menos um eixo de simetria, por exemplo y, então o produto de inércia é nulo.
Figura 10. 6
Da propriedade da adição: (Equação 10.13)
Teorema dos Eixos Paralelos. Considere uma figura plana de área A e dois sistemas de eixos ortogonais paralelos entre si, um centrado no centróide da figura e outro num ponto O qualquer:
Figura 10. 7
Da definição de produto de inércia relativamente a x e y :
(Equação 10.14)
Exemplos 10.7 – 10.8, paginas 439 – 441
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10.7- Momentos de Inércia de Área em Relação a Eixos Inclinados.
Considere a figura plana abaixo e os sistemas de eixos com origem em O.
Figura 10. 8
Transformação de coordenadas: (Equação 10.15) (Equação 10.16) Da definição do momento de inércia:
Ou
(Equação 10.17) Da definição do produto de inércia:
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Exemplo 10.9, páginas 443 – 444
10.9- Momento de Inércia de Massa
Considere o corpo sólido e o sistema de eixos ortogonais centrado em O.
Figura 10. 10
O momento de inércia em relação a um eixo (por exemplo o eixo Z) é por definição: (1) (Equação 10.25) Observe que JZ > 0 Analogamente: (1) (Equação 10.26) (2) (Equação 10.27)
Dimensão e unidades de momento de inércia de massa
Sistema internacional ( S.I.) Sistema americano ( FPS) Exemplos 10.11-12 , páginas 453 - 454
Teorema dos eixos paralelos
Figura 10. 11
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(Equação 10.28)
(Equação 10.29)
Onde „e a distancia de G
Obs : e
Logo: (Equação 10.30)
Analogamente: (Equação 10.31) (Equação 10.32)
Raio de giração Por definição o raio de giração de massa em relação a um eixo r:
(Equação 10.32)
(Equação 10.33)
(Equação 10.34)
Dimensão: [L] O raio de giração de uma massa relativamente a um eixo pode ser entendido como a concentração de massa m num ponto no qual o momento de inércia de massa relativamente ao eixo é o mesmo.
Figura 10. 12 Figura 10.^13
