1- Calculo Numerico - Erro, Slides de Cálculo

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Cálculo Numérico

Engenharia - FTEC

Aula 1 Erro

Plano de

Ensino

Grau A: Atividades = 15% Lista = 15% Prova = 70% __________Data: 20/ Grau B: Atividades = 15% Lista = 15% Prova = 70% __________Data: 15/ Grau C: 22 de dezembro

Cálculo Numérico, do que trata?

FENÔMENO (^) EXPERIMENTAÇÃO EQUAÇÃO SIMULAÇÃO DO FENÔMENO

Importantes Modelos

• Curva Normal 𝑓 𝑥 = 1 2𝜋𝜎^2 𝑒 − 𝑥−𝜇 2 2 𝜎^2
• Equação de Navier – Stokes 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 0 𝜌 𝜕𝑢 𝜕𝑡

• 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥
• 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑃 𝜕𝑥
• 𝜇 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2

𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 𝜌 𝜕𝑣 𝜕𝑡

• 𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥
• 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑃 𝜕𝑦
• 𝜇 𝜕 2 𝑣 𝜕𝑥 2

𝜕 2 𝑣 𝜕𝑦 2

Erros

• Incerteza de dados: equipamentos de medição possuem precisão finita, acarretando erros nas medidas físicas.
• Erros de Arredondamento : são aqueles relacionados com as limitações que existem na forma representar números de máquina.
• Erros de Truncamento : surgem quando aproximamos um procedimento formado por uma sequência infinita de passos através de um procedimento finito. Por exemplo, a definição de integral é dada por uma soma infinita e a aproximamos por um soma finita. O erro de truncamento deve ser analisado para cada método empregado.

Erro de Máquina

• Em computadores, é usual representarmos números usando uma quantidade de dígitos finita.
• A quantidade a ser usada normalmente depende da precisão com que as computações estão sendo feitas.
• Ocorre, que quando restringimos a representação a um número finito de dígitos, muitos números não podem ser representado de forma exata.

Representação do Número Real: Ponto Flutuante

• O sistema de ponto flutuante não possui quantidade fixa de dígitos para as partes inteira e fracionária do número.
• Seja o número real 𝑥 = ±𝑑 × 10 𝑒 a representação no sistema 𝐹( 10 , 𝑡, 𝑚, 𝑀) deve satisfazer as seguintes condições: 𝑑 = 0 , 𝑑 1 𝑑 2 … 𝑑𝑡 𝑚 ≤ 𝑒 ≤ 𝑀; d = mantissa

Representação do Número Real

Regras de Arredondamento

• IBGE e ABNT http://w3.ufsm.br/engproducao/wp-content/uploads/16- arredondamento.pdf

Quantificação do Erro

• Seja 𝑥 um número real e 𝑥ҧ uma aproximação →Erro absoluto 𝑒 𝑎 = 𝑥 − 𝑥ҧ →Erro Relativo 𝑒𝑟 =

𝑎 𝑥

× 100%

Número de dígitos significativos

• A aproximação 𝑥ҧ de um número 𝑥 tem 𝑠 dígitos significativos corretos quando 𝑥 − 𝑥ҧ |𝑥|

< 5 × 10

−𝑠 → Verifique se a aproximação de 𝑥 = 0 , 33333 por 𝑥ҧ = 0 , 333 tem 3 dígitos significativos corretos.

Exercício

• Sejam as aproximações 𝑥 1 = 0 , 666 e 𝑥 2 = 0 , 667 de 𝑥 = 0 , 666888. Determine a quantidade de dígitos significativos em cada caso.

Aproximação Linear

• Na vizinhança de 𝑥 = 𝑥 0 uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) pode ser aproximada por uma reta tangente no ponto 𝑥 0 , 𝑓 𝑥 0.
• Equação da Reta Tangente 𝑦 = 𝑓 𝑥 0 + 𝑓 ′ 𝑥 0 𝑥 − 𝑥 0

Aproximação Linear

• Obter a aproximação linear da função 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 na vizinhança de 𝑥 0 = 0.
• Obter a aproximação linear da função 𝑓 𝑥 = ln(𝑥) na vizinhança de 𝑥 0