VIBRACIONES Y ONDAS - FISICA III, Guías, Proyectos, Investigaciones de Física

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capítulo 3

Oscilaciones forzadas

y resonancia

oscilador se ha acoplado con la frecuencia de la fuerza externa ), depende no sólo de la amplitud

de la fuerza externa impulsora sino también de su frecuencia. Tomemos como ejemplo un sistema

masa-resorte cuya frecuencia de vibración natural es 𝜔

0

𝑘

𝑚

, recuerde que la frecuencia natural

es la frecuencia que tendría el sistema si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema

impulsor. Si la frecuencia impulsora es igual o aproximadamente igual, a la frecuencia natural del

sistema, este oscilará con una amplitud mucho mayor que la propia amplitud de la fuerza impulsora,

este fenómeno se denomina resonancia. Una fuerza del mismo valor aproximadamente, con una

frecuencia mucho mayor o mucho menor que la frecuencia de resonancia es mucho menos eficaz:

la amplitud producida sigue siendo pequeña. Empecemos considerando el caso sencillo, aunque

físicamente no real, de un oscilador en el que sea totalmente despreciable el efecto del

amortiguamiento.

3 .1 Oscilador no amortiguado con impulsión armónica

Consideremos un sistema formado por una masa m situada en un resorte de constante k e

imaginemos la aplicación de una fuerza impulsora sinusoidal F=F o

cos  F

t. El valor √

𝑘

𝑚

, que

representa la frecuencia angular natural del sistema, se designará por  o

; la ecuación de

movimiento, es:

2

2

𝑜

𝐹

o bien,

𝑑

2

𝑥

𝑑𝑡

2

𝑜

𝐹

Antes de estudiar en detalle esta ecuación diferencial de movimiento consideremos

cualitativamente la situación. Si el oscilador se ve impulsado a partir de la posición de equilibrio y

se le deja oscilar por sí mismo, oscilará con su frecuencia natural,  o

. Una fuerza impulsora

periódica, sin embargo, intentará imponer su propia frecuencia  al oscilador. Por lo tanto, es de

esperar que el movimiento real, en este caso, se deba a la superposición de oscilaciones

correspondientes a las dos frecuencias 𝜔

𝐹

y 𝜔

0

. La etapa inicial, en que los dos tipos de

movimiento son importantes, se denomina transitoria. Sin embargo, después de un tiempo

suficientemente largo el único movimiento presente es el debido a la fuerza impulsora, que

continuará sin disminuir con la frecuencia 𝜔 𝐹

, cuando se alcanza esta condición tenemos lo que se

denomina movimiento estacionario del oscilador impulsado.

La solución matemática completa de la ecuación (3.1) es una superposición o combinación de dos

soluciones, es decir, es una suma simple de dos soluciones:

ℎ

0

𝑒

𝐹

dónde, x

h

0

) es la solución homogénea y x

e

𝐹

) es la solución estacionaria (o particular). La

solución homogénea se encuentra cuando no hay presencia de una fuerza impulsora, o sea en la

ecuación (3.1) el término F

0

= 0, es decir:

𝑚

𝑑

2

𝑥

𝑑𝑡

2

• 𝑘𝑥 = 0

cuya solución corresponde a un M.A.S., esto es:

ℎ

0

0

Que se puede escribir de la forma

ℎ

0

donde 𝐶 = √𝐴

2

2

y 𝑡𝑎𝑛 𝜑 =

𝐵

𝐴

. Analicemos ahora la forma que tiene la solución estacionaria,

en este caso F 0

es diferente de cero. Se ha observado que cuando ha transcurrido un tiempo

suficientemente grande después de haber iniciado el movimiento, la fuerza impulsora F impondrá

su frecuencia al oscilador, así el sistema se moverá periódicamente con la misma frecuencia de la

fuerza externa ω. Además, la amplitud de la oscilación depende de la frecuencia de la fuerza externa

que se hace máxima para un valor de frecuencia igual a la frecuencia de resonancia. Aumentando

aún más la frecuencia, la amplitud disminuye y cuando ω es muy grande la amplitud es muy

pequeña. Este comportamiento sugiere que la solución estacionaria tiene la forma:

𝑒

𝐹

donde B es la amplitud, siempre positiva, que depende de la frecuencia de vibración y  es el ángulo

entre la fuerza impulsadora y el desplazamiento, tiene un signo menos debido a que el

desplazamiento está atrasado con respecto a la fuerza impulsadora. Se espera que su valor sea igual

a cero para bajas frecuencias y  para altas frecuencias (cuando las direcciones de la fuerza y el

desplazamiento son contrarias). Los valores de B y  se encuentran al sustituir 𝑥 𝑒

y 𝑥̈

𝑒

en la

ecuación de movimiento (3.1) que toma la forma:

𝑚[−𝜔

2

𝐹

𝑡 − 𝛿)] + 𝑘

[

𝐹

]

0

𝐹

𝐹

2

𝐹

0

𝐹

𝐹

2

𝐹

𝐹

0

𝐹

De la expresión anterior se obtiene:

𝐹

2

0

𝐹

2

Dividiendo las expresiones anteriores entre la masa se obtiene

𝐹

2

0

2

𝐹

0

𝑚

(3.4a)

𝐹

2

0

2

)𝐵𝑠𝑒𝑛𝛿 = 0 (3.4b)

Dividiendo las expresiones (3.4) se encuentra que:

De la ecuación (3.4a) y cuando  = 0, se obtiene

𝐹

𝐹

0

𝑚(𝜔

0

2

−𝜔

𝐹

2

)

Con  < 

0

; cuando

 = , se obtiene

𝐹

𝐹

0

𝑚(𝜔

𝐹

2

−𝜔

0

2

)

Con  > 

0

. La solución de la ecuación de movimiento (3.1) tendrá la forma:

0

𝐹

0

𝑚(𝜔

0

2

−𝜔

𝐹

2

)

𝐹

En la figura 3.2a se muestra el comportamiento de B (𝜔 𝐹

) en función de ; cuando 𝜔

𝐹

= 0 , el valor

de la amplitud 𝐵( 0 ) =

𝐹

0

𝑘

, esta es una amplitud impuesta por la aplicación de una fuerza externa

que tiene amplitud constante. Al aumentar el valor de 𝜔

𝐹

𝐹

) aumenta, este comportamiento

Figura 3. 3 (a) representación compleja de la fuerza impulsora sinusoidal; (b) representación compleja del vector

desplazamiento en la oscilación forzada.

La ecuación diferencial (3.1) toma la forma:

𝑑

2

𝑧

𝑑𝑡

2

0

𝑗𝜔

𝐹

𝑡

Supongamos la solución 𝑧 = 𝐴𝑒

𝑗(𝜔 𝐹

𝑡+α)

, con 𝑥(𝑡) = 𝑅𝑒

, sustituyendo el valor de z en (3.8)

tenemos:

𝐹

2

𝑗(𝜔

𝐹

𝑡−𝛿)

0

𝑗𝜔

𝐹

𝑡

𝐹

2

𝑗𝜔

𝐹

𝑡

−𝑗𝛿

0

𝑗𝜔

𝐹

𝑡

Dividiendo entre m :

𝐹

2

0

2

0

𝑗𝛿

Que se puede escribir como

( ω

0

2

𝐹

2

0

𝑗𝛿

ω

0

2

𝐹

2

𝐹

0

𝑚

𝐹

0

𝑚

En esta expresión se deben cumplir dos condiciones, que corresponden a la parte imaginaria y real

de ambos miembros de la ecuación, así:

( ω

0

2

𝐹

2

𝐹

0

𝑚

𝐹

0

𝑚

De la expresión (3.4) se obtiene el valor de la amplitud:

𝐹

0

𝑚( ω

0

2

−𝜔

𝐹

2

)

Para que la amplitud A sea positiva, vemos que de la expresión (3. 12 ) que 𝛿 debe tomar los valores:

𝛿 = 0 en el rango 0 < 𝜔

𝐹

0

y 𝛿 = 𝜋 cuando 𝜔

𝐹

0

; estas soluciones están representadas

en los dos gráficos de la figura ( 3. 2 ); los valores de la fase inicial y de la amplitud son idénticas a

las obtenidas por el método convencional.

Ahora vamos a analizar la solución de la ecuación de movimiento, en el caso de que la frecuencia

de la fuerza externa sea igual a la frecuencia natural del sistema, vimos gráficamente que se

presenta una divergencia en el valor de la amplitud, ya que el valor de ésta, dada por las expresiones

(3.6), (3.7) y (3.12) se indetermina para 𝜔 𝐹

0

, para este valor de 𝜔

𝐹

la ecuación de movimiento

(3.1) dividida entre la masa, toma la forma:

𝑑

2

𝑥

𝑑𝑡

2

0

2

𝐹

𝑜

𝑚

𝑐𝑜𝑠 ω

0

La solución de la ecuación (3.13) será la suma de la solución de la ecuación homogénea y de la

particular o estacionaria. La solución a la ecuación homogénea tendrá la forma 𝑥

ℎ

0

0

𝑡, que puede ser escrita de forma idéntica a la ecuación (3.2). La ecuación

particular o estacionaria, no podrá tener la forma 𝑥 𝑒

0

0

𝑡, ya que tiene la

forma de la solución de la ecuación homogénea; de acuerdo con el Método de Coeficientes

Indeterminados (anexo al final del capítulo), tenemos que modificar la forma de la solución que

estará representada por:

𝑒

0

0

Sustituyendo la ecuación (3.14) y su segunda derivada en la expresión (3.13) se obtiene

0

0

0

0

0

2

0

0

0

2

0

0

𝐹

0

𝑚

0

𝑡De donde se obtiene que:

𝐹

0

2 𝑚𝜔

0

y 𝐷 = 0

Así la solución particular o estacionaria será:

𝑒

𝐹

0

2 𝑚𝜔

0

0

y la ecuación de movimiento cuando la frecuencia de la fuerza externa es igual a la frecuencia

natural del sistema estará dada por:

0

𝐹 0

2 𝑚𝜔 0

0

Las ecuaciones (3.15) y (3.16) nos dicen que, cuando la fuerza externa tiene una frecuencia igual

a la frecuencia natural del sistema, la amplitud aumenta lineal con el tiempo.

x ( t )

t

Figura 3. 4 representación de la solución dada por la ecuación (3.16)

Este es un resultado extraordinariamente importante cuando se quiere usar o prevenir la resonancia:

aunque la amplitud de nuestro sistema se está acercando al infinito, ahora sabemos que su

dependencia del tiempo es lineal. Después de dos oscilaciones, la amplitud se duplicará, después

de diez aumentará en un factor de diez, y así sucesivamente. En el caso de que usemos resonancia

para aumentar una amplitud voluntariamente, esto nos da una estimación de la frecuencia con la

que tenemos que "alimentar" el sistema.

3.2 Oscilaciones forzadas con amortiguamiento

Consideremos un sistema masa-resorte como en la sección anterior, sobre el cual además de actuar

una fuerza impulsora, actúa una fuerza resistiva proporcional a la velocidad y una fuerza elástica

restauradora que tiende a llevar el bloque a su posición de equilibrio. El sistema se mueve sobre

una superficie horizontal y el desplazamiento del bloque se mide respecto de su posición de

equilibro, donde x = 0, sobre el bloque actúa una fuerza impulsora de la forma 𝐹 𝑜

cos ω 𝑡, donde 

es la frecuencia angular de la fuerza externa; aplicando la segunda ley de Newton, obtenemos:

2

2

𝑜

cos𝜔

𝐹

o bien

2

2

𝑜

cos𝜔

𝐹

llamemos

dibujemos otro vector de longitud 2 γ 𝜔 𝐹

𝐴. El segundo miembro nos dice que dibujemos un vector

de longitud

𝐹

𝑜

𝑚

formando un ángulo  con el eje real. La ecuación exige que estas dos operaciones

nos lleven al mismo punto, de modo que los vectores formen un triángulo cerrado, como se ve en

la figura 3.4(a).

Figura 3.4 Representación geométrica de la ecuación (3. 20 )

Igualando los términos reales e imaginarios de la ecuación (3. 20 ), se obtiene

ω

𝑜

2

𝐹

2

𝐹

𝑜

𝑚

𝑐𝑜𝑠 δ (3. 2 1)

2 γ 𝜔

𝐹

𝐹

𝑜

𝑚

𝑠𝑒𝑛 δ | (3. 2 2)

Elevando al cuadrado las ecuaciones (3. 2 1) y (3. 2 2) y sumando, se puede obtener la amplitud:

𝐴( ω ) =

𝐹 𝑜

𝑚

[( ω

𝑜

2

−𝜔

𝐹

2

)

2

+( 2 γ 𝜔

𝐹

)

2

]

1 / 2

Dividiendo la ecuación (3. 2 2) entre la ecuación ((3. 2 1) se puede calcular el valor del ángulo .

𝑡𝑔 δ ( ω ) =

2 γ 𝜔

𝐹

ω

𝑜

2

−𝜔

𝐹

2

En la figura 3. 5 se puede observar la relación que existe entre la amplitud A y el ángulo de fase 

respecto a la frecuencia 𝜔 𝐹

en el caso de un valor constante de F o

. Estas curvas tienen un aspecto

general claro muy parecido al de la figura 3. 2 para el caso del oscilador no amortiguado. En la

figura 3.5(a) vemos el comportamiento de la amplitud en función de la frecuencia de la fuerza

impulsora, cuando 𝜔 𝐹

=0 el valor de la amplitud será

𝐹

𝑜

𝑘

; al aumentar 𝜔

𝐹

, pero manteniéndose en el

rango 𝜔

𝐹

m

, el denominador se hace cada vez más pequeño y el valor de la amplitud aumenta;

cuando  sigue aumentando pero considerando ahora el rango donde 𝜔 𝐹

m

el valor del

denominador de la ecuación (3.13) aumenta haciendo que la amplitud disminuya; al seguir

aumentando el valor de la frecuencia de la fuerza externa la amplitud tiende a cero. Cuando  =

m

m

0

) la amplitud es máxima; sin embargo, a diferencia de un sistema forzado sin

amortiguamiento ya no se observa una divergencia en la amplitud para esta frecuencia de

resonancia debido a que ahora tuvimos en cuenta la fuerza amortiguadora. Podemos resumir el

comportamiento de la amplitud para los diferentes valores de la frecuencia de la fuerza impulsora

𝐹

𝐹

𝐹

𝑜

𝑘

𝐹

m

𝐹

𝑚𝑎𝑥

𝐹

0

𝐹

𝐹

𝑜

2 𝑚𝛾𝜔

0

𝐹

𝐹

En la figura 3.5(b) podemos observar el comportamiento de la contante de fase  que varía

suavemente entre 0 y , no aparece la discontinuidad observada en el caso del oscilador forzado

sin amortiguamiento, debido a que tuvimos en cuenta la fuerza amortiguadora; para entender el

comportamiento de la constante de fase analicemos la ecuación (3.24) en ella observamos que

cuando 𝜔 𝐹

=0, el valor tan  = 0 y por tanto la constante de fase vale cero, cuando la frecuencia de

la fuerza impulsora aumenta el valor de la tan  también aumenta ya que el valor del denominador

se hace pequeño. Cuando 𝜔 𝐹

se aproxima a 

0

, el valor de tan  →  y en consecuencia 𝛿 =

𝜋

2

cuando 𝜔 𝐹

se hace mayor que 

0

el valor de la tangente de la constante de fase se hace negativa y

cuando el valor de la frecuencia de la fuerza impulsora se hace muy grande decimos que 𝑡𝑎𝑛 𝛿 →

1

∞

y 𝛿 = 𝜋; el análisis anterior lo podemos resumir como:

𝐹

𝐹

0

𝜋

2

0

1

∞

Analizando los dos comportamientos, observamos que en la región donde  < 

0

,  es pequeño y

podemos decir que la fuerza impulsora está en fase con el desplazamiento (tienen la misma

dirección). Para

𝐹

0

la constante de fase

𝜋

2

, o sea que el desplazamiento está atrasado

𝜋

2

con respecto a la fuerza impulsora y para 𝜔

𝐹

0

se tiene que 𝛿 = 𝜋, es decir, la fuerza impulsora

está desfasada un ángulo  con el desplazamiento (tienen direcciones opuestas).





0



m

A()

F

0

/ k

0







0



Figura 3.5. (a) Relación entre la amplitud y la frecuencia impulsora en el caso de oscilaciones forzadas con

amortiguamiento. (b) Fase de1 desplazamiento respecto a 1a fuerza impulsora en función de 1a frecuencia

impulsora.

Teniendo en cuenta la ecuación (3. 23 ) donde vemos claramente que el valor de la amplitud depende

de , podemos calcular para que valor de la frecuencia de la fuerza impulsora el valor de A (𝜔 𝐹

será máximo, esto se da, cuando su denominador:

𝐹

) = √( ω

𝑜

2

𝐹

2

2

• 4 γ

2

𝐹

2

sea mínimo, lo que requiere que

3.3. Potencia absorbida por un oscilador impulsado

Con frecuencia tendrá importancia e interés conocer a qué ritmo debe suministrarse energía a un

oscilador impulsado y amortiguado para mantener sus oscilaciones a una amplitud fija. Como en

cualquier otro fenómeno dinámico, podemos calcular la potencia instantánea P en función del

producto de la fuerza impulsora por la velocidad:

Tenemos que para el oscilador forzado con amortiguamiento, x ( t ) está dada por 𝑥 = 𝑅𝑒( 𝑍), con

𝑗(𝜔𝑡−𝛿)

y por tanto 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠( ω 𝑡 − 𝛿)

que se puede escribir en la forma

𝑜

en donde 𝑣

0

= 𝐴𝜔 , es el valor máximo de v para valores cualesquiera de F o

y . Tomando el valor

de A de la ecuación (3. 23 ) se tiene

𝑜

( ω ) =

𝑜

[(

ω

𝑜

2

− ω

2

)

2

• 4 γ

2

ω

2

]

1 / 2

La expresión anterior se puede modificar, pasando la frecuencia como denominador del

denominador, así:

𝑜

( ω ) =

𝐹 𝑜

𝑚

[

( ω

𝑜

2

− ω

2

)

2

ω

2

• 4 γ

2

]

1 / 2

El valor de v o

pasa por un máximo para = o

exactamente, fenómeno que podemos denominar

resonancia de velocidad, para este valor de frecuencia la expresión anterior se convierte en:

𝑜

𝑚 á 𝑥

𝐹

𝑜

2 𝑚 γ

Consideremos ahora el trabajo y la potencia necesaria para mantener las oscilaciones forzadas. Se

tiene que, la fuerza impulsora F= F o

cos  t cuando hace que el sistema realice un desplazamiento

dx, realiza un trabajo

dW = F o

cos  t dx

En un ciclo completo el trabajo realizado será

𝑜

1 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜

ω 𝑡𝑑𝑥 = ∫ 𝐹

𝑜

𝑐𝑜𝑠 ω 𝑡

2 π

ω

0

Hallamos

𝑑𝑥

𝑑𝑡

derivando la ecuación , con A dada por la ecuación (3. 23 ), y

reemplazamos en la ecuación anterior, obteniendo

𝑜

𝑐𝑜𝑠 ω𝑡𝑣(𝑡)𝑑𝑡

2π

ω

0

𝑜

𝑐𝑜𝑠 ω 𝑡

[

]

2 π

ω

0

x = A cos( t − )

𝑜

𝑐𝑜𝑠 ω 𝑡 (−

𝑜

ω

) (𝑠𝑒𝑛 ω 𝑡 𝑐𝑜𝑠 δ − 𝑠𝑒𝑛 δ 𝑐𝑜𝑠 ω 𝑡)

2 π

ω

0

𝑜

𝐹

𝑜

ω

𝑚𝑦

𝑐𝑜𝑠 δ 𝑠𝑒𝑛 ω 𝑡 𝑐𝑜𝑠 ω 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 δ 𝑐𝑜𝑠

2

ω 𝑡

2 π

ω

0

donde y está dada por (3. 25 ); teniendo en cuenta el gráfico (3.6) que es una representación

geométrica para y , tenemos:

𝑐𝑜𝑠 δ =

ω 𝑜

2

−ω

2

𝑦

y 𝑠𝑒𝑛 δ =

2 ωγ

𝑦

Figura 3.6. Ayuda geométrica para definir las funciones trigonómetricas correspondientes al ángulo  que forma la

fuerza impulsora con el eje real

La ecuación (3. 31 ) toma la forma

𝑜

2

ω

[

( ω

ο

2

− ω

2

∫ 𝑠𝑒𝑛 ω 𝑡 𝑐𝑜𝑠 ω 𝑡𝑑𝑡 −

2 ωγ

2 π

ω

0

2

ω 𝑡𝑑𝑡

2 π

ω

0

]

𝐹

𝑜

2

ω

𝑚𝑦

[

( ω ο

2

− ω

2

)

𝑦

]

𝑠𝑒𝑛 ω 𝑡 𝑐𝑜𝑠 ω 𝑡𝑑𝑡 +

𝐹

𝑜

2

ω

𝑚𝑦

2 ωγ

𝑦

2 π

ω

0

2

ω 𝑡𝑑𝑡

2 π

ω

0

Para realizar la primera integral podemos usar la identidad 𝑠𝑒𝑛 ω 𝑡 𝑐𝑜𝑠 ω 𝑡 =

1

2

𝑠𝑒𝑛 2 𝜔𝑡, así:

∫ 𝑠𝑒𝑛 ω 𝑡 𝑐𝑜𝑠 ω 𝑡𝑑𝑡 =

2 π

ω

0

∫ 𝑠𝑒𝑛 2 ω 𝑡𝑑𝑡

2 π

ω

0

4 𝜋

0

[

0

4 𝜋

]

Para realizar la segunda integral podemos usar la identidad 𝑐𝑜𝑠

2

ω 𝑡 =

1

2

, así:

2

ω 𝑡𝑑𝑡

2 π

ω

0

1 + 𝑐𝑜𝑠 2 ω 𝑡

2 π

ω

0

𝑐𝑜𝑠 2 ω 𝑡

2 π

ω

0

2 π

ω

0

2

ω 𝑡𝑑𝑡

2 π

ω

0

= [

0

2 𝜋

𝜔

] +

4 𝜋

0

[

− 0 ] +

[

0

4 𝜋

]

Es posible escribir una forma aproximada de la ecuación para 𝑃

() basada en el siguiente cálculo

elemental:

ω

ο

ω

ω

ω

ο

ω

ο

2

−ω

2

ωω

ο

ω

ο

ω

ω

ω

ο

( ω

ο

• ω )( ω

ο

− ω )

ωω

ο

De aquí que, si    o

. podemos poner

ω

ο

ω

ω

ω

ο

2 ω

ο

ω

ο

− ω

ω

ο

2

ω

ο

− ω

ω

ο

Sustituyendo este valor en el denominador de la ecuación (3.2 6 ) se tiene

( ω ) =

𝑜

2

𝑜

[

ω

ο

− ω

2

ω

ο

2

2

]

Multiplicando y dividiendo por 𝜔 0

( ω ) =

𝑜

2

ω

ο

0

2

[

ω

ο

− ω

2

0

2

2

]

( ω ) =

𝐹

𝑜

2

ω

ο

2 𝑚𝑄

1

[ 4

( ω

ο

− ω

)

2

• 4 γ

2

]

Las frecuencias  o

 , para las cuales 𝑃

() desciende a la mitad del valor máximo ( o

), dada

por (3. 38 ) se definen por

Δω

2

= 4 γ

2

Δω

2

= γ

2

Es decir,

2 Δω ≈

ω

𝑜

𝑄

Así pues, la anchura de la curva de resonancia para el oscilador impulsado, medida por la potencia

de entrada (figura 3.7), es igual al recíproco del tiempo necesario para que las oscilaciones libres

disminuyan a 1/ e de su energía inicial.

0

1/2 P

max



0

 +1/2

0

• 1/2

P

max

Anchura de la curva de resonancia

de potencia a la mitad de su altura

o muy proxima a 

0

/Q

Potencia media de entrada

Figura 3.7 “Agudeza” de la curva de resonancia determinada en función de la curva de potencia.

En la figura 3 .8 se muestra la relación existente entre y  para diversos valores de Q ; vemos que

la potencia de entrada tiende a cero para frecuencias muy bajas y muy altas, y que excepto para

valores bajos de Q las curvas son casi simétricas alrededor del máximo. Es conveniente definir una

P

P

anchura para estas curvas de resonancia de potencia, tomando la diferencia entre aquellos valores

de  para los cuales la potencia de entrada es la mitad del valor máximo. Esto puede hacerse de un

modo particularmente claro y útil si Q es grande (como sucede en la mayoría de los casos de

interés). Esto significa que  de resonancia está efectivamente contenida dentro de una banda

estrecha de frecuencias próximas a  o

Q =

Q =

Q =

Q =

Q =

P ()



Potencia absorbida por un oscilador impulsado

Q =

Figura 3 .8 Potencia media absorbida por un oscilador forzado en función de la frecuencia para diversos valore de Q

Podemos predecir que si un sistema tiene una respuesta de resonancia muy estrecha (medida bien

por la amplitud o por la absorción de potencia), la disminución de sus oscilaciones libres será muy

lenta e inversamente, como es natural, si las oscilaciones libres disminuyen rápida o lentamente la

respuesta del oscilador amortiguado es respectivamente ancha o estrecha. De las ecuaciones (3. 38 )

y (3. 39 ) podemos decir que la resonancia es estrecha si la anchura es solamente una pequeña

fracción de la frecuencia de resonancia, es decir,

2 Δω

ω

ο

3.4 Analogías eléctricas

Los sistemas mecánicos pueden representarse y estudiarse por medio de sus circuitos eléctricos

equivalentes, los cuales se construyen más fácilmente que los modelos de los correspondientes

sistemas mecánicos; de aquí que sea más conveniente tomar los resultados experimentales de los

circuitos eléctricos equivalentes, que de los propios modelos mecánicos. Los circuitos eléctricos

equivalentes se obtienen comparando las ecuaciones de movimiento de los dos sistemas. Un

sistema mecánico y uno eléctrico son análogos (tabla 3.2) si sus ecuaciones diferenciales de

movimiento son matemáticamente iguales. Cuando esto ocurre, los términos correspondientes de

las dos ecuaciones diferenciales de movimiento también son análogos. Los circuitos eléctricos

equivalentes se pueden construir utilizando las leyes de Kirchhoff.

3.4.1 Leyes de Kirchhoff

✓ Ley de Kirchhoff de la tensión. En cualquier red, la suma algebraica de todas las tensiones

alrededor de un circuito cerrado cualquiera es igual a cero.

Masa ( m ) Inductancia ( L )

Constante de fuerza viscosa (b) Resistencia ( R )

Constante del resorte ( k ) Capacitancia (1/ C )

Fuerza impulsora ( F ) Diferencia de Potencial Impulsor ( V )

Frecuencia de resonancia (

√ 𝑘 𝑚

⁄ )

Frecuencia de resonancia (

1

√

𝐿𝐶

)

Energía potencial (½ k x

2

) Energía de carga estática (½ q

2

/C)

Energía cinética (½ mv

2

)

Energía electromagnética de la

carga móvil (½ L C

2

)

Potencia absorbida en la resonancia ( F 0

2

/2 b ) Potencia absorbida en la resonancia (V 0

2

/2R)

Uno de los sistemas resonantes más familiares e importantes es el sistema eléctrico compuesto por

un condensador y una bobina. El análisis de este sistema tiene gran semejanza con los sistemas

mecánicos vistos hasta ahora. Consideremos primero las oscilaciones libres ignorando cualquier

proceso disipativo.

3.4. 2 Circuito LC

Para el estudio de este sistema, se examinará un circuito en serie, que consiste de un inductor L

(figura 3.9(c)) y un capacitor C , como se muestra en la figura 3.10. En este caso, la suma de todas

las diferencias de potencial alrededor del circuito cerrado debe ser cero, por lo que puede escribirse:

𝐿

𝐶

𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑞

𝐶

Se puede obtener una ecuación que sólo contenga la carga, resulta entonces:

𝑑

2

𝑞

𝑑𝑡

2

1

𝐶

Esta expresión es totalmente semejante a la ecuación diferencial básica del movimiento armónico

simple para un sistema masa-resorte, donde q desempeña el papel de x , L el de m y

1

𝐶

el de k ; de lo

anterior podemos admitir la existencia de oscilaciones eléctricas libres tales que

0

Figura 3.10. Circuito LC

3.4. 3 Circuito RLC

Ahora se considera un circuito como el representado en la figura 3.11, en el que se ha agregado

una resistencia R (figura 3.9(b)). Una resistencia es un elemento del circuito que siempre disipa

energía eléctrica como calor, por lo que es muy distinto de un capacitor o una bobina, que son

elementos que pueden almacenar energía.

Figura 3.11 Circuito RLC

La presencia de la resistencia origina un término adicional en la ecuación (3. 44 ) que expresa una

diferencia de potencial IR entre sus terminales. Por lo tanto, de la ley de Kirchoff,

𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑞

𝐶

ó

𝑑

2

𝑞

𝑑𝑡

2

𝑑𝑞

𝑑𝑡

1

𝐶

Como se ve esta ecuación tiene la forma de un movimiento oscilatorio amortiguado que resulta

cuando se somete un oscilador armónico simple a una fuerza disipativa que es directamente

proporcional a la velocidad.

𝑑

2

𝑞

𝑑𝑡

2

𝑅

𝐿

𝑑𝑞

𝑑𝑡

1

𝐿𝐶

Comparando con

2

2

• 2 γ

• ω

𝑜

2

Para escribir la solución de la ecuación (3. 48 ), es cuestión de remplazar todos los símbolos en la

ecuación general del movimiento del movimiento amortiguado, obteniéndose así:

− γ 𝑡

√ γ

2

− ω

𝑜

2

𝑡

−√ γ

2

− ω

𝑜

2

𝑡

en el caso en queγ

2

− ω

𝑜

2

< 0 , o sea γ

2

< ω

𝑜

2

. Las raíces de la ecuación diferencial son diferentes

complejos conjugados y la solución general de la ecuación (3. 48 ) es

− γ 𝑡

1

𝑐𝑜𝑠 √ ω

𝑜

2

− γ

2

2

𝑠𝑒𝑛√ ω

𝑜

2

− γ

2

donde c 1

y c 2

son constantes arbitrarias. Esta ecuación se puede escribir de la siguiente forma

− γ 𝑡

𝑐𝑜𝑠 (√ ω

𝑜

2

− γ

2

𝑡 + φ )

−

𝑅

2 𝐿

𝑡

ω

𝑜

2

𝑅

2

4 𝐿

2

𝑡 + φ ) (3. 50 )