Solución de Ecuaciones Diferenciales: Verificación de la Solidez - Prof. POPO, Apuntes de Cálculo Avanzado

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ECUACIONES DIFERENCIALES-S 4 A

Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales

Solución: 𝑦 = 𝑐 1 x cos ln x + 𝑐 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥 ) + 𝑥 ln 𝑥 Ecuación diferencial: 𝑥 2

2 𝑦 𝑑𝑥 2

• 2 y= x ln x 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (𝑐 1 - 𝑐 2 ) 𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥) + 𝑐 1 + 𝑐 2 cos ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 𝑑^2 𝑦 𝑑𝑥^2

𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥) 𝑥

cos(ln 𝑥) 𝑥

1 𝑥 Derivamos la solución dos veces debido que la ecuación es de 2 do orden. Sustituimos 𝑥 2 (- 𝑐 2 + 𝑐 1 𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥) 𝑥

cos(ln 𝑥) 𝑥

1 𝑥 ) − 𝑥((𝑐 1 − 𝑐 2 ) 𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥) + 𝑐 1 + 𝑐 2 cos ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 )

• 2 (𝑐 1 x cos ln x + 𝑐 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥 ) + 𝑥 ln 𝑥) − 𝑥 ln 𝑥 = 0 Simplificamos: 0 = 0 Obtenemos que la ecuación se satisface por lo que por lo que la solución es verdadera

Ecuación diferencial 𝑑^3 𝑥 𝑑𝑡^3

• 2 𝑑^2 𝑥 𝑑𝑡^2 − 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − 2 𝑥 = 0 Solución 𝑥 = 𝑐 1 𝑒 𝑡
• 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡
• 𝑐 4 𝑒 − (^2) 𝑡 Derivamos la solución 3 veces, debido a que la ecuación es de 3 re orden 𝑥′^ = 𝑐 1 𝑒𝑡^ − 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡 − 2 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡 𝑥′′^ = 𝑐 1 𝑒𝑡^ + 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡
• 4 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡 𝑥′′′^ = 𝑐 1 𝑒𝑡^ − 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡 − 8 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡 Sustituimos en la ecuación diferencial 𝑑^3 𝑥 𝑑𝑡^3
• 2 𝑑^2 𝑥 𝑑𝑡^2 − 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − 2 𝑥 = 0 𝑐 1 𝑒𝑡^ − 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡 − 8 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡
• 2 𝑐 1 𝑒𝑡^ + 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡
• 4 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡 − 𝑐 1 𝑒𝑡^ − 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡 − 2 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡 − 2 𝑐 1 𝑒𝑡^ + 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡
• 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡 = 0 Simplificamos 𝑐 1 𝑒𝑡^ − 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡 − 8 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡
• 2 𝑐 1 𝑒𝑡^ + 2 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡
• 8 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡
• −𝑐 1 𝑒𝑡^ + 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡
• 2 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡
• − 2 𝑐 1 𝑒𝑡^ − 2 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡 − 2 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡 = 0 𝑐 1 𝑒𝑡^ − 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡 − 8 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡
• 2 𝑐 1 𝑒𝑡^ + 2 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡
• 8 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡
• −𝑐 1 𝑒𝑡^ + 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡
• 2 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡
• − 2 𝑐 1 𝑒𝑡^ − 2 𝑐 2 𝑒 − (^) 𝑡 − 2 𝑐 3 𝑒 − (^2) 𝑡 = 0 Y FINALMENTE SE HACE LA ELIMINACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES, EL RESULTADO ES “ 0 = 0 ”, POR LO TANTO LA SOLUCIÓN QUE SE NOS PRESENTO AL INICIO SI ES LA CORRECTA YA QUE SATISFACE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PROBLEMA NUMERO 4

Ecuación diferencial: 𝑑 2 𝑠 𝑑𝑡 2

Solución :

𝑠 = 𝑐 1 cos( 2 t+ 𝑐 2 ) Debemos obtener las derivar 2 veces la solución debido que la ecuación diferencial es de 2 do

orden.

𝑠 = 𝑐 1 cos( 2 t+ 𝑐 2 ) 𝑠 ′ = − 2 𝑐 1 sen( 2 t+ 𝑐 2 ) 𝑠 ´´= − 4 𝑐 1 cos( 2 t+ 𝑐 2 ) − 4 𝑐 1 cos( 2 t+ 𝑐 2 ) + 4 𝑐 1 cos( 2 t+ 𝑐 2 )= 0

• Procedemos a sustituir en la formula original. 𝑑 2 𝑠 𝑑𝑡^2

Simplificamos − 4 𝑐 1 cos( 2 t+ 𝑐 2 ) + 4 𝑐 1 cos( 2 t+ 𝑐 2 )= 0 0 = 0 Por lo tanto: La solución es correcta y satisface a la ecuación