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Álgebra Lineal 2024-II
Laboratorio: vectores en R^2 yR^3
Nombre: "^ "
Documento: "^ "
Laura Vanessa Carbal Navarro
Mostrar código
Importar bibliotecas
import random import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt
^ Generación de datos para los ejercicios
Ejecuta la siguiente celda para conocer los vectores que debes usar en cada ejercicio. No modi ques el código.
Inicialización del generador de números pseudoaleatorios
random.seed(documento)
Generación de vectores para el ejercicio 1
u_x = random.randint( 5 , 10 ); u_y = random.randint(-10, 0 ) v_x = random.randint( 0 , 5 ); v_y = random.randint( 5 , 10 )
u = np.array([u_x, u_y]) v = np.array([v_x, v_y])
Generación de vectores para el ejercicio 2
u2_x = 0 ; u2_y = random.randint( 5 , 10 ); u2_z = random.randint(-1, 1 ) v2_x = random.randint(-10, -5); v2_y = 0 ; v2_z = random.randint(-1, 1 ) w2_x = 0 ; w2_y = random.randint( 5 , 10 ); w2_z = random.randint( 5 , 10 )
u2 = np.array([u2_x, u2_y, u2_z]) v2 = np.array([v2_x, v2_y, v2_z]) w2 = np.array([w2_x, w2_y, w2_z])
Presentación de resultados
print("\n¡Gracias {}! Usa los siguientes vectores para el ejercicio 1:".format(nombre)) print("-> u = [{}, {}]".format(u_x, u_y)) print("-> v = [{}, {}]".format(v_x, v_y)) print("\nY para el ejercicio 2:") print("-> u2 = [{}, {}, {}]".format(u2_x, u2_y, u2_z)) print("-> v2 = [{}, {}, {}]".format(v2_x, v2_y, v2_z)) print("-> w2 = [{}, {}, {}]".format(w2_x, w2_y, w2_z))
¡Gracias Laura! Usa los siguientes vectores para el ejercicio 1: -> u = [7, -1] -> v = [4, 7]
Y para el ejercicio 2: -> u2 = [0, 10, -1] -> v2 = [-8, 0, -1] -> w2 = [0, 9, 7]
Ejercicio 1. Vectores en R
2
a) Calcula la proyección de u sobre usando la siguiente expresión. Registra el procedimiento paso a paso.
v
pro yvu =
u ⋅ → v →
| v → | 2
v
→
Solución:
u = [ 7 , − 1 ] v = [ 4 , 7 ]
Calcular
Calcular
Multiplicar esos resultados por el vector
u ⋅ v =
u ⋅ v = 7 ⋅ 4 + (− 1 ) ⋅ 7 = 21
⃒ v ⃒ =
42 + 72 = 65
v =
→
( 4 , 7 ) = ( , )
21 65
84 65
147 65
≈ (1.29230769, 2.26153846)
b) Usa la biblioteca numpy para comprobar el resultado del literal anterior.
Cálculo de la proyección del vector u sobre el vector v
proyeccion = (np.dot(u, v)/ np.linalg.norm(v)** 2 )*v print("Proyección = ", proyeccion)
Proyección = [1.29230769 2.26153846]
c) Traza la grá ca de los vectores u , y de la proyección vectorial de sobre , en el plano cartesiano, usando Matplotlib.
→ v
→ u
→ v
→
Configurar ejes
fig, ax = plt.subplots() ax.grid() ax.set_xlim(-1, 10 ), ax.set_ylim(-4, 10 ) ax.set_xlabel("x"), ax.set_ylabel("y") ax.set_title("Figura 1. Representación vectores ejercicio 1")
Señalar el origen
ax.scatter( 0 , 0 , color="k")
Trazar ejes
plt.axvline( 0 , color = "black", linewidth = 1 , linestyle = "dashed"); plt.axhline( 0 , color = "black", linewidth = 1 , linestyle = "dashed");
Gráficar los vectores
Vector u
ax.quiver(u[ 0 ], u[ 1 ], angles="xy", scale_units="xy", scale= 1 , color="g") ax.text(u[ 0 ] + 0.2, u[ 1 ], "$\overrightarrow{u}$")
Vector v
ax.quiver(v[ 0 ], v[ 1 ], angles="xy", scale_units="xy", scale= 1 , color="b") ax.text(v[ 0 ] + 0.2, v[ 1 ], "$\overrightarrow{v}$")
Vector proyección de u sobre v
ax.quiver(proyeccion[ 0 ], proyeccion[ 1 ], angles="xy", scale_units="xy", scale= 1 , color="r") ax.text(proyeccion[ 0 ] + 0.2, proyeccion[ 1 ], "$proy_vu$")
Mostrar la gráfica
plt.show()
V = det
∣
∣
∣ ∣ ∣
⎛
⎝
⎜
⎡
⎣
⎢
ux
vx
wx
uy
vy
wy
uz
vz
wz
⎤
⎦
⎥
⎞
⎠
⎟
∣
∣
∣ ∣ ∣
Solución:
El determinante se calcula expandiendo por cofactores a lo largo de la primera la. Cabe destacar que, ya sea que, se use el
método anterior o este, para conocer el volumen del paralelipípedo, los dos deben coincidir en el mismo resultado.
⎡
⎣
⎢
0 − 8 0
10 0 9
− 1 − 1 7
⎤
⎦
⎥ ⟶^ det^^0 [^ ]
0 9
− 1 7
, det − 10 [ ]
− 8 0
− 1 7
, det + (− 1 ) [ ]
− 8 0
0 9
[ ]
0
9
− 1
7
= ( 0 ⋅ 7 ) − ( 9 ⋅ (− 1 )) = 9
[ ]
− 8 0
− 1 7
= (− 8 ⋅ 7 ) − ( 0 ⋅ (− 1 )) = − 56
[ ]
− 8
0
0
9
= (− 8 ⋅ 9 ) − ( 0 ⋅ 0 ) = − 72
det ( M ) = 0 ( 9 ) − 10 (− 56 ) + (− 1 )(− 72 )
det ( M ) = 0 − (− 560 ) + (− 72 ) = ⃒ − 632 ⃒ = 632
^ Conclusiones
Redacta tres conclusiones sobre el laboratorio. Considera los ejercicios propuestos y el uso de Python, LAT^ EX y Google Colaboratory.
Conclusión 1: Considero que estos ejercicios son un ejemplo perfecto que resalta la importacia y la conexión entre las
mátematicas y las aplicaciones prácticas en la ingeniería y otros campos.
Conclusión 2: Además, gracias al uso de herramientas computacionales, lenguajes de programción, etc, para este tipo de
trabajos, somos capaces de desarrollar habilidades necesarias para el campo de estudio en el cual nos encontramos.
