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Matemática Básica
Donde los puntos críticos son reales y diferentes 𝑥𝑥 = − 𝑥𝑥 = 1 𝑥𝑥 = 4
Ahora aplicamos el caso I del método de los puntos críticos, obtenemos:
𝐶𝐶𝐶𝐶 = [−1,1] ∪ [4, +∞[
Ejercicios
Resolver las siguientes inecuaciones polinómicas
1. 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 ≤ 4𝑥𝑥 + 4 2. 𝑥𝑥 4 − 4𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 2 + 14𝑥𝑥 − 8 ≥ 0 3. (𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 9)(𝑥𝑥 − 2) 3 < 0 4. 2𝑥𝑥 3 + 7𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 < 0 5. (𝑥𝑥 − 2 + 𝑥𝑥^2 )(𝑥𝑥^2 + 2𝑥𝑥 − 8) < 0 6. 4𝑥𝑥 4 + 4𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 3 ≤ 0 7. 𝑥𝑥 4 − 4𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 + 16𝑥𝑥 − 12 > 0 8. (4 − 𝑥𝑥 2 )(8 − 𝑥𝑥 3 ) ≤ 0 9. 1 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 3 ≤ 0 10. (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3 )(1 − 𝑥𝑥) < 0
1.7 Valor Absoluto |𝑎𝑎| = { −𝑎𝑎,𝑎𝑎,^ 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 ≥ 0𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 < 0
Se lee como: el valor absoluto de número real "𝑎𝑎" es igual al mismo número "𝑎𝑎", si 𝑎𝑎 es positivo o cero, o es igual a " − 𝑎𝑎", si 𝑎𝑎 es negativo.
Propiedades
1. ∀𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 |𝑎𝑎| ≥ 0
Matemática Básica
8. |𝑎𝑎 + 𝑎𝑎| ≤ |𝑎𝑎| + |𝑎𝑎|^ ( Desigualdad triangular ) 9. |𝑎𝑎| = 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ≥ 0 ⇔ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∨ 𝑎𝑎 = −𝑎𝑎 10. |𝑎𝑎| = |𝑎𝑎| ⟺ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∨ 𝑎𝑎 = −𝑎𝑎 11. |𝑎𝑎| ≤ 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ≥ 0 ⇔ −𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎 12. |𝑎𝑎| ≥ 𝑎𝑎, ∀𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 ⟺ 𝑎𝑎 ≥ 𝑎𝑎 ∨ 𝑎𝑎 ≤ −𝑎𝑎 13. |𝑎𝑎| < |𝑎𝑎| ⇒ 𝑎𝑎^2 < 𝑎𝑎^2
Desigualdad Triangular
|𝑎𝑎 + 𝑎𝑎| ≤ |𝑎𝑎| + |𝑎𝑎|
Prueba
|𝑎𝑎 + 𝑎𝑎| 2 = (𝑎𝑎 + 𝑎𝑎)^2 propiedad 5
(𝑎𝑎 + 𝑎𝑎) 2 = 𝑎𝑎 2 +2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎^2 binomio al cuadrado
𝑎𝑎 2 +2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎^2 = |𝑎𝑎|^2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + |𝑎𝑎|^2 propiedad 5
|𝑎𝑎| (^2) + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + |𝑎𝑎| (^2) ≤ |𝑎𝑎| (^2) + 2|𝑎𝑎||𝑎𝑎| + |𝑎𝑎|^2 propiedad 7
|𝑎𝑎| (^2) + 2|𝑎𝑎||𝑎𝑎| + |𝑎𝑎| (^2) = (|𝑎𝑎| + |𝑎𝑎|)^2 Trinomio cuadrado perfecto
|𝑎𝑎 + 𝑎𝑎| 2 ≤ (|𝑎𝑎| + |𝑎𝑎|)^2 axioma de transitividad
|𝑎𝑎 + 𝑎𝑎| ≤ |𝑎𝑎| + |𝑎𝑎| propiedad 30 de numeros reales.
Ejemplos
Para resolver ejercicios y/o problemas con valor absoluto aplicamos la definición y/o propiedades
Matemática Básica
Resolución |3𝑥𝑥 − 1| = |5𝑥𝑥 − 15| Aplicamos la propiedad 10: |𝑎𝑎| = |𝑏𝑏| ⟺ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ∨ 𝑎𝑎 = −𝑏𝑏 3𝑥𝑥 − 1 = 5𝑥𝑥 − 15 ∨ 3𝑥𝑥 − 1 = −(5𝑥𝑥 − 15) 2𝑥𝑥 = 14 ∨ 3𝑥𝑥 − 1 = −5𝑥𝑥 + 15 𝑥𝑥 = 7 ∨ 8𝑥𝑥 = 16 𝑥𝑥 = 7 ∨ 𝑥𝑥 = 2 𝐶𝐶𝐶𝐶 = {2, 7}
4. |2𝑥𝑥 − 3| + 2 = |𝑥𝑥 − 6|
Resolución |2𝑥𝑥 − 3| + 2 = |𝑥𝑥 − 6| Para resolver ecuaciones con 2 o mas valores absolutos, lo haremos con el método de los puntos críitcos. Igualamos cada valor absoluto a cero para encontrar los puntos críticos.
|2𝑥𝑥 − 3| = 0 ⇒ 𝑥𝑥 =^3 2 |𝑥𝑥 − 6| = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 6 Colocamos los puntos críticos en la recta real, que lo dividirá en intervalos.
Matemática Básica
Luego resolveremos la ecuación en cada intervalo, para saber la respuesta de cada valor absoluto tomaremos cualquier valor del intevalo:
Por tanto tenemos que 𝐶𝐶𝐶𝐶 = {−1, 73 }
Resolución
|𝑥𝑥 − 2| < 4 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥
Aplicamos la propiedad 11: |𝑎𝑎| < 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 > 0 ⇔ −𝑏𝑏 < 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏
Primero determinamos el universo (𝑏𝑏 > 0)
4−𝑥𝑥 𝑥𝑥 > 0 ⟺^
𝑥𝑥− 𝑥𝑥 < 0
Matemática Básica
Interceptando se obtiene:
Ahora este resultado falta interceptar con el universo, para llegar a la respuesta final.
Resolución
|3𝑥𝑥 + 1| > 𝑥𝑥 + 2 Aplicamos la propiedad 12: |𝑎𝑎| > 𝑏𝑏, ∀𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 ⟺ 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 ∨ 𝑎𝑎 < −𝑏𝑏 3𝑥𝑥 + 1 > 𝑥𝑥 + 2 ∨ 3𝑥𝑥 + 1 < −(𝑥𝑥 + 2) 2𝑥𝑥 > 1 ∨ 3𝑥𝑥 + 1 < −𝑥𝑥 − 2
𝑥𝑥 >
2 ∨^ 4𝑥𝑥 < −
𝐶𝐶𝐶𝐶 = 〈−∞, − 34 〉 ∪ 〈^12 , +∞〉
Resolución |𝑥𝑥 − 2| + |𝑥𝑥 + 5| < 3𝑥𝑥 + 2 En este caso aplicaremos el método de los puntos críitcos. Igualamos cada valor absoluto a cero para encontrar los puntos críticos. |𝑥𝑥 − 2| = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 2 |𝑥𝑥 + 5| = 0 ⟹ 𝑥𝑥 = −
Matemática Básica
Colocamos los puntos críticos en la recta real, que lo dividirá en intervalos
Por tanto, tenemos: 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝜙𝜙 ∪ 〈 53 , 2〉 ∪ [2, +∞[
𝐶𝐶𝐶𝐶 = 〈
Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto:
1. |𝑥𝑥 2 − 4| = 4 − 2𝑥𝑥 2. |2𝑥𝑥 + 9| = 𝑥𝑥 − 1 3. |3𝑥𝑥 − 1| = 7 − 𝑥𝑥 4. |2𝑥𝑥 − 6| = |4 − 5𝑥𝑥| 5. |3𝑥𝑥 − 1| − |𝑥𝑥 + 2| = 1 6. |2𝑥𝑥 − 3| − 1 = |𝑥𝑥 − 3| 7. |𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 8| ≤ 𝑥𝑥 − 4 8. |𝑥𝑥−2𝑥𝑥−1 | < 𝑥𝑥 − 1 9. |2𝑥𝑥 + 1| < 2𝑥𝑥 − 1 10. |𝑥𝑥 − 3| > 2
