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USO DE LAS TIC'S
EJERCICIOS TEMA 4
INTEGRANTES DE EQUIPO:
1.- DE JESUS HERNANDEZ ANDREA
2.- GARCIA BAUTISTA SELENA
3.- MORALES MARTINEZ LILIANA AIDE
4.- SANCHEZ MONTALVO ALONDRA YAZMIN
5.- VAZQUEZ RODRIGUEZ OZIEL ALEJANDRO
INGENIERIA INDUSTRIAL 1ER SEMESTRE GRUPO I
ENTREGO: MORALES MARTINEZ LILIANA AIDE
PROBLEMA 1.- Halle la derivada mediante el significado geometrico y limite de:
f ( x ) = √ 2 x + 1
In [2]: diff(sqrt( 2 *x+ 1 ),x) In [4]: f= 1 /sqrt( 2 x + 1 ) f.show() Out[2]: 1/sqrt(2x + 1) 1
√^2 x^ +^1
Problema 2. Encuentre el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa a ) derar + ∆ rpulgadas , b ) de 2 a 3 pulgadas. Volumen de una esfera V = 4 3 πr^3. TIP: Usando fórmula formal o geométrica. Comenzamos con el inciso a) Para obtener el incremento del volumen debemos usar V 2 − V 1 Volumen 1 V = 4 3 πr 3 Volumen 2 V = 4 3 π ( r^ +^ △ r ) 3 Ahora los restamos 4 3 π ( r^ +^ △ r )
3 πr 3 4 π ( r + △ r )^3 − 4 πr^3 3 Desarrollamos la expresión al cubo , y factorizamos 4π 4 π ( r^3 + 3 r^2 △ r + 3 r △ r^2 + △ r^3 − r^3 ) 3 4 π ( 3 r^2 △ r + 3 r △ r^2 + △ r^3 ) 3 Ahora lo factorizamos en factor común 4 π ∗ △ r ( 3 r^2 + 3 r △ r + △ r^2 ) 3 In [41]: diff( 4 / 3 pix^ 3 ,x) In [42]: f= 4 pix^ 2 f.show() Out[41]: (^) 4pix^ 4 πx^2
In [11]: f=x/(sqrt(x^ 2 + 1 )*( 2 *x + 1 )) - 2 *sqrt(x^ 2 + 1 )/( 2 *x + 1 )^ 2 f.show() Simplificando tenemos: f ( x ) = x − 2
(√ x^2 + 1 )( 2 x + 1 )^2
Problema 4.- Hallar la derivada implicita de x^3 + y^3 = 8 xy In [27]: var("y") diff(x^ 3 +y^ 3 == 8 xy,y) In [34]: f= 3 *y^ 2 == 8 *x f.show() In [29]: var("y") diff(x^ 3 +y^ 3 == 8 xy,x) In [30]: f= 3 *x^ 2 == 8 *y f.show() x
√ x
(^2) + 1 ( 2 x + 1 )
2 √ x^2 + 1
( 2 x + 1 )^2 Out[27]: (^) 3y^2 == 8x 3 y^2 = 8 x Out[29]: (^) 3x^2 == 8y 3 x^2 = 8 y
dy dx = y ′ p ∗ s ′^ + s ∗ p ′ x^3 + y^3 = 8 xy 3 x^2 + 3 y^2 y ′^ = 8 xy ′^ + 8 y 3 y^2 y ′^ − 8 xy ′^ = 8 y − 3 x^2 y ′^ ( 3 y^2 − 8 x ) = 8 y − 3 x^2 y ′^ = 8 y − 3 x^2 3 y^2 − 8 x Problema 5.- Un error positivo de 0.01cm se comete al medir el radio de una esfera de 12cm. ¿Qué error se produce al calcular el volumen de la esfera?. Obten una respuesta exacta y una aproximada empleando diferenciales. Forma exacta: Volumen Calculado: V + △ V =
π ( r + △ r )^3 Sustituimos Valores en la formula: 4 3 π (0.01 + 12 )^3 =
π (12.01)^3 = 7 , 256.34 cm^3 Este seria el volumen erroneo Siendo el volumen «verdadero» el siguiente: 4 3 π ( 12 )^3 = 7 , 238.22 cm^3 Ahora restamos el volumen erroneo con el volumen verdadero: V = 7 , 256.34 cm^3 − 7 , 238.22 cm^3 = 18.12 cm^3
In [64]: diff(x^ 2 ,x) Derivamos Vx = 2 π ∗ x ∗ H Ahora hacemos una diferencia de volumenes, para obtener el volumen del tubo Vx − Vx − h ≈ h ∗ V ′^ x △ V ≈ 0.25 pulgadas ∗ 2 π ( 2 pulgadas ) ∗ 10 pies △ V ≈ 0.218 pie^3 Como 1 pie^3 pesa 450 lb , entonces 0 , 218 pie^3 pesa 98,1 lb Out[64]: (^) 2*x
Problema 7.- Se tiene un reloj de arena de 3cm de radio y de 6cm de altura. Se pasa la arena a un solo lado y se voltea para que la arena comience a fluir a razón de 2 cm^3 / s. Suponga que la arena en la parte inferior forma un tronco de cono. ¿Cuál es la velocidad de aumento de h para una altura dada? Tenemos que dV dt =^ dV dh ∗^ dh dt Como conocemos dV dh = 2 cm 3 s se necesita obtener el valor de dV dh por ello necesitamos una formula que los relacione entre si. Y esta se obtiene de la diferencia que se obtiene de la formula que da el volumen de los dos conos truncados como diferencia del volumen de los dos conos: V =
π ( 3 )^26 −
πr^2 ( 6 − h ) V esta relacionada con r y h; por tanto, se requiere otra relación que de el volumen unicamente en funcion de h. Por semenjanza de triangulos se obtiene: r =
( 6 − h ) ⟺ r = 6 − h 2 Por lo tanto,el volumen esta dado por V = 18 π − 1 3 π^ ( 6 − h )^2 4 (^6 −^ h )^ = = 18 π − 1 12 π (^6 −^ h ) 3 dV dh =^0 −^ 1 12 π [^3 (^6 −^ h )
2 ( − 1 )] = 1
4 π (^6 −^ h ) 2 dV dt
1 4 π ( 6 − h )^2 dh dt Reemplazando los datos se obtiene dh dt
π ( 6 − h )^2 cm / s Problema 8.- Halle las ecuaciones de tangente y normal de y = 2 x^3 + 3 x^2 + 1 en el punto ( − 2 , − 3 ) Comenzamos buscando nuestra pendiente, derivando la funcion inicial y ′^ = 6 x^2 + 6 x y ( − 2 ) = 6 ( − 2 )^2 + 6 ( − 2 ) = 6 ( 4 ) − 12 = 24 − 12 = (^12) M t Ahora aplicamos la formula para obtener las ecuaciones de la tangente
Ahora aplicamos la formula para obtener las ecuaciones de la tangente y − y 1 = m ( x − x 1 ) y − ( − 3 ) = 12 ( x − ( − 2 )) y + 3 = 12 x + 24 y + 3 − 12 x − 24 = 0 − 12 x + y − 21 = 0 ( − 1 ) Esta seria nuestra Ecuacion General de la Recta Tangente 12 x − y + 21 = 0 Ahora buscamos nuestra Ecuacion Ordinaria de la Recta Tangente − y = − 21 − 12 x y = 12 x + 21 Procedemos a buscar nuestra segunda pendiente m 2 = − 1 m 1 m 2 = − 1 12 Realizamos el mismo procedimiento solo que con la pendiente 2 y − ( − 3 ) = − 1 12 ( x^ −^ (^ −^2 )) y + 3 = − 1 12 ( x^ +^2 ) 12 ( y + 3 ) = − 1 ( x + 2 ) 12 y + 36 = − x − 2 Ahora ya tenemos nuestra Ecuacion General de la Recta Normal x + 12 y + 38 = 0 Solo despejamos para obtener la Ecuacion Ordinario de la Recta Normal 12 y = − x − 38 y = − x − 38 12 y = − x 12 −^3 1 6
Problema 9.- Hallar por diferenciales 3
√^28
f ′^ ( x ± △ x ) = f ( x ) ± f ′^ x ∗ dx
- Ubicamos una raiz cubica exacta que este mas proxima f ( x ) = 3
√^27
2)Encontramos x y △ x 3
√^27
△ x = 1 3)Calculamos f'(x) f ( x ) = 3
√ x
f ′^ ( x ) = ( x ) 1 3 = 1 3 ( x )^ − 2 3 = 1 3 3
√ x
2 In [56]: diff((x)^( 1 / 3 ),x) In [58]: f= 1 / 3 /x^( 2 / 3 ) f.show() 4)Ahora realizamos la aproximación f ′^ ( x ± △ x ) = f ( x ) ± f ′^ x ∗ dx f ( x ) = 3
√^27 +^ =^
3
√^27
2
Out[56]: 1/3/x^(2/3) 1 3 x 2 3
